張建軍

[摘? 要] 在問題解決過程中所培養(yǎng)的能力，體現(xiàn)為解決問題的綜合能力. 解決問題的能力具有綜合性，涵蓋數(shù)學(xué)分析、計(jì)算、思維、求解等諸多內(nèi)容，同時(shí)，解決問題的過程對(duì)學(xué)生的洞察力、思維力、計(jì)算能力、想象力也提出更高要求. 一般認(rèn)為，問題解決能力屬于核心素養(yǎng)中的關(guān)鍵能力，因此問題解決的過程就是核心素養(yǎng)培育的過程.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);問題解決;核心素養(yǎng)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，問題解決是重要任務(wù). 問題解決的過程，主要就是圍繞數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，延伸相關(guān)聯(lián)的問題，讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想方法去解決問題的過程. 在問題解決過程中所培養(yǎng)的能力，體現(xiàn)為解決問題的綜合能力. 研究表明，解決問題的能力具有綜合性，涵蓋數(shù)學(xué)分析、計(jì)算、思維、求解等諸多內(nèi)容，同時(shí)，解決問題的過程對(duì)學(xué)生的洞察力、思維力、計(jì)算能力、想象力也提出更高要求. 一般認(rèn)為，問題解決能力屬于核心素養(yǎng)中的關(guān)鍵能力，因此問題解決的過程就是核心素養(yǎng)培育的過程.

從問題解決中發(fā)展解決問題的能力，進(jìn)而培養(yǎng)核心素養(yǎng)，對(duì)此筆者提出這樣幾點(diǎn)建議.

■挖掘問題中的“黃金信息”，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)

邏輯推理是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分，問題解決離不開邏輯推理. 問題解決主要是針對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)掌握與運(yùn)用而進(jìn)行的，強(qiáng)調(diào)學(xué)生從練習(xí)中來增進(jìn)理解，并使邏輯推理能力得到培養(yǎng). 基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)在表現(xiàn)上形式多樣，內(nèi)容廣泛，對(duì)于問題教學(xué)，教師要注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的梳理，要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到解決問題能力不是一味地推理甚至是計(jì)算，關(guān)鍵應(yīng)當(dāng)在于通過邏輯推理，來增進(jìn)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握程度. 同時(shí)，問題解決教學(xué)中教師要著重知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生厘清解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)解決問題的規(guī)律.

如概念型問題，不同題型的問題解決. 這些問題組合，可以深化學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，借助問題解決，由簡到繁、由易到難來滲透邏輯推理方法，突出學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維及創(chuàng)新意識(shí)的形成.

例如，某△ABC中，角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，且A=60°，a=7，cosC=■，求邊b. 對(duì)于該題，在求解思路上，有學(xué)生這樣求解. 先通過cosC=■，推導(dǎo)出sinC=■，根據(jù)正弦定理■=■，推導(dǎo)出c=8. 再根據(jù)余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA，得出b2-8b+15=0，求解后得到b=3或b=5兩種情況.

從解法上看，該法較為簡便，但細(xì)細(xì)觀察卻發(fā)現(xiàn)解法有錯(cuò). 根據(jù)題意，三角形兩個(gè)角、一邊已知，三角形就已確定，因此該題應(yīng)該只有一個(gè)解. 分析該題的解法，深化學(xué)生對(duì)余弦定理的運(yùn)用. 從該題條件來看，已知兩邊與一邊對(duì)角，很多學(xué)生忽視了角C也為已知，從而影響解決問題的思維.

如此，通過挖掘問題解決中的易錯(cuò)點(diǎn)，讓學(xué)生全方位認(rèn)識(shí)解決問題的關(guān)鍵所在，把握解決問題的思想和方法，在推理過程中培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力，這直指數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的邏輯推理要素.

■注重問題變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

在平時(shí)的問題解決中，強(qiáng)調(diào)“題海戰(zhàn)術(shù)”顯然是不可取的. 由于教學(xué)時(shí)間有限，對(duì)于題型的變化，很難做到面面俱到. 因此，教師要善于整合數(shù)學(xué)資源，圍繞問題解決，展開“一題多變”訓(xùn)練，讓學(xué)生從解決問題中找到規(guī)律，能夠從變式訓(xùn)練中理解數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，真正掌握解決問題的奧妙. 如可通過變換題型的條件、結(jié)論或者其他內(nèi)容等，以此創(chuàng)設(shè)不同的問題類型，增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，這有助于賦予學(xué)生巨大的思維空間，從而促進(jìn)學(xué)生通過建模過程來強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí).

例如這樣一個(gè)問題：方程mx2-（2m+1）x+m=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，問m為何值？對(duì)于該題，方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，則推斷出Δ>0，即（2m+1）2-4m2>0，且滿足m≠0. 如果我們對(duì)該題稍加變換，就可以實(shí)現(xiàn)一題多變，便于學(xué)生從不同變式訓(xùn)練中強(qiáng)化對(duì)細(xì)節(jié)問題的思考與把握. 如：當(dāng)m為何值時(shí)，方程mx2-（2m+1）·x+m=0有實(shí)數(shù)解？由此，對(duì)于該方程，需要分析二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)，運(yùn)用分類討論思想，辨析該方程為一元二次方程還是一元一次方程. 同樣，可將該方程轉(zhuǎn)換為不等式，當(dāng)m為何值時(shí)，不等式mx2-（2m+1）x+m>0恒成立？或者不等式mx2-（2m+1）x+m<0恒成立？

實(shí)踐表明，對(duì)于不等式問題，結(jié)合分類討論、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等思想，探析不同的解決問題方法. 這種一題多變訓(xùn)練，實(shí)際上是結(jié)合條件、結(jié)論、題型內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)變換，來發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，來深化對(duì)不同數(shù)學(xué)本質(zhì)問題的理解和應(yīng)用. 一旦達(dá)到這樣的程度，意味著學(xué)生大腦中的數(shù)學(xué)模型不斷豐滿，從而也就起到了培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力的作用.

■梳理一題多解方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)

在數(shù)學(xué)問題解決中，一些試題在設(shè)計(jì)上存在多種解法的情況. 教師要善于梳理這些“一題多解”的問題類型，尋找不同的解決問題方法，并在不同解法運(yùn)用中關(guān)注學(xué)生的問題反思，總結(jié)求解規(guī)律. 通常，一題多解問題，反映出學(xué)生能否熟練做到融會(huì)貫通，這是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)的重要途徑.

例如“正弦定理”是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在求證“正弦定理”時(shí)，我們可以引導(dǎo)學(xué)生選擇向量法、外接圓法等來證明“正弦定理”，還可以利用三角形的高、三角形的面積公式等來證明. 如S△ABC=■absinC=■acsinB=■bcsinA. 分析這些不同解法，我們有如下啟發(fā)：雖然能從不同角度來證明“正弦定理”，但梳理其共同點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，這些方法都建立在“直角三角形”的基礎(chǔ)上. 分析一題多解，教師要引領(lǐng)學(xué)生把握解決問題的重心，探析不同問題解決的教學(xué)價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成反思習(xí)慣. 如在△ABC中，角A，B的對(duì)應(yīng)邊為a，b，且A=60°，a=■，b=2，求角B. 對(duì)該題的解法一，可以直接利用正弦定理，■=■，推導(dǎo)出sinB=■，即角B為45°或135°. 考慮到三角形內(nèi)角和為180°，顯然，角B=135°不符合題意，故角B為45°. 該解法更符合學(xué)生認(rèn)知習(xí)慣. 除此之外，還可以根據(jù)題設(shè)，a>b，得出A>B，即B為銳角. 該解法突破了常規(guī)思維，巧妙地利用幾何知識(shí)，先判斷角的大小關(guān)系，再運(yùn)用正弦定理求解. 由此，通過學(xué)習(xí)反思，增進(jìn)學(xué)生深入了解數(shù)學(xué)原理，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維的內(nèi)化，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)，發(fā)展了關(guān)鍵能力，核心素養(yǎng)也得到了培養(yǎng).

總之，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，問題解決的成效是決定學(xué)生數(shù)學(xué)成績的關(guān)鍵. 教師要依托問題解決，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并在此過程中著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).