張嘯

[摘? 要] 概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的一環(huán)，只有將學(xué)生的概念教學(xué)引向深入，才是有效的數(shù)學(xué)概念教學(xué). 文章以“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)過(guò)程為例，提出以下新課程改革理念下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略：以情境促感知;以直觀促生成;以訓(xùn)練促鞏固;以體驗(yàn)促深化.

[關(guān)鍵詞] 概念教學(xué);函數(shù)的單調(diào)性;創(chuàng)設(shè)情境;生成

長(zhǎng)期以來(lái)，由于受到應(yīng)試教育的影響，一些數(shù)學(xué)教師輕概念、重解題，從而造成數(shù)學(xué)概念與解題嚴(yán)重脫節(jié)的后果. 新的《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)基本概念和基本思想的理解，一些核心概念和基本思想需貫穿于教學(xué)的始終，幫助學(xué)生加深理解. 由此可見(jiàn)，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的一環(huán)，只有將學(xué)生的概念教學(xué)引向深入，才是有效的數(shù)學(xué)概念教學(xué). 筆者近期觀摩了青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課評(píng)比活動(dòng)，其中一位教師執(zhí)教的“函數(shù)的單調(diào)性”一課給了筆者較大的啟發(fā)，下面將結(jié)合教學(xué)片段談?wù)剬?duì)概念教學(xué)的一點(diǎn)拙見(jiàn).

■教學(xué)片段實(shí)錄與分析

教學(xué)片段1：創(chuàng)設(shè)情境——導(dǎo)入概念

問(wèn)題1：試著作出以下函數(shù)的圖像，并指出圖像的變化趨勢(shì)：

（1）y=x+1;

（2）y=-2x+2;

（3）y=x2;

（4）y=■.

（學(xué)生獨(dú)立思考，很快完成作圖，并正確指出其變化趨勢(shì)）

問(wèn)題2：請(qǐng)清晰闡釋“圖像呈現(xiàn)逐漸上升趨勢(shì)”的意思. 此時(shí)的x與函數(shù)值y是如何相互影響的？

生：隨著x值的增大，y值也隨之增大，圖像呈現(xiàn)上升的趨勢(shì);隨著x值的增大，y值反而減小，則圖像呈現(xiàn)下降的趨勢(shì).

師：這種形式是多種函數(shù)都具有的，今天這節(jié)課我們就以此為主題，對(duì)這種性質(zhì)做更進(jìn)一步的探究和討論. （PPT揭示課題：函數(shù)的單調(diào)性）

評(píng)析：以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為背景，設(shè)計(jì)教學(xué)情境，點(diǎn)燃學(xué)生的求知欲. “作圖，并正確指出變化趨勢(shì)”以及“闡釋‘圖像呈現(xiàn)逐漸上升趨勢(shì)的意思”這兩個(gè)主問(wèn)題，不僅為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)搭建了“腳手架”，逐步揭示了本節(jié)課的課題. 同時(shí)又具有一定的開(kāi)放性，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究的愿望，讓學(xué)生運(yùn)用已學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，通過(guò)思考、觀察、探究、分析、猜測(cè)和歸納等過(guò)程，喚醒舊知，明確探究方向，具有一定的創(chuàng)新性. 同時(shí)使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，感受到數(shù)學(xué)是有用的.

教學(xué)片段2：抽象概括——生成概念

師：請(qǐng)大家思考并討論下列問(wèn)題：對(duì)于某函數(shù)，若在區(qū)間（0，+∞）上，

（1）當(dāng)x=1時(shí)，有y=1;當(dāng)x=2時(shí)，有y=3，則“在區(qū)間（0，+∞）上，y隨著x的增大而增大”是否正確？

（2）當(dāng)x=1，2，3，4時(shí)，相應(yīng)地，y=1，3， 4，6，則“在區(qū)間（0，+∞）上，y隨著x的增大而增大”是否正確？

（3）若有x■

（學(xué)生思考后展開(kāi)火熱的討論，并很快得出結(jié)論）

生：不能，且均可以通過(guò)舉例的方法加以說(shuō)明.

問(wèn)題3：誰(shuí)能以數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)呢？現(xiàn)在能出示準(zhǔn)確定義嗎？請(qǐng)?jiān)囍米约旱恼Z(yǔ)言表述，并以小組為單位互相交流，待生成集體意見(jiàn)后進(jìn)行展示. （學(xué)生展開(kāi)討論）

師：下面請(qǐng)小組代表展示.

生：第一步：當(dāng)x■

第二步：當(dāng)x■

第三步：借助個(gè)別數(shù)值說(shuō)明單調(diào)性：如函數(shù)y=x2（x∈R），當(dāng)x=-1，2，3，4，…，對(duì)應(yīng)地，y=1，4，9，16，…，是否可說(shuō)y隨著x的增大而增大？

對(duì)于區(qū)間I上有限個(gè)或無(wú)限個(gè)自變量，均滿足x■

第四步：x■，x■“任意”中也有“不任意”，由于單調(diào)性描述的是函數(shù)的基本性質(zhì)，還需鏈接其區(qū)間，著重強(qiáng)調(diào)定義中的x■，x■∈I. 對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意x■，x■，當(dāng)x■

最后得出函數(shù)單調(diào)性的定義......

評(píng)析：引導(dǎo)學(xué)生親歷數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過(guò)程，并通過(guò)以下兩個(gè)關(guān)鍵性過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)建構(gòu)：①通過(guò)自然語(yǔ)言去描述函數(shù)圖像的特征，進(jìn)而建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的意義. 教師以函數(shù)圖像為指引，引導(dǎo)學(xué)生去觀察、去發(fā)現(xiàn)，初步建立函數(shù)單調(diào)性的意義. 學(xué)生有多次圖像觀察的經(jīng)驗(yàn)，此過(guò)程對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)相對(duì)簡(jiǎn)單. ②以數(shù)學(xué)符號(hào)表示意義，此過(guò)程相對(duì)抽象，學(xué)生建構(gòu)難度較大. 片段中教師找尋學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，通過(guò)多個(gè)循序漸進(jìn)的問(wèn)題串的呈現(xiàn)，觸及概念的底部與本質(zhì)，有效突破了“用符號(hào)語(yǔ)言刻畫動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)對(duì)象”這一難點(diǎn)，提升了學(xué)生的理性思維. 而“以數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)”，不僅打開(kāi)了學(xué)生的思維寬度，也為定義的落地進(jìn)行了鋪墊，整個(gè)建構(gòu)過(guò)程流暢而自然，一氣呵成.

教學(xué)片段3：學(xué)以致用——深化概念

問(wèn)題4：判斷：以下說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由（舉例或畫圖），

（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閇a，+∞），若對(duì)于任意x>a，都有f（x）>f（a），則y=f（x）在區(qū)間[a，+∞）上遞增;

（2）設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，若對(duì)于任意x■，x■∈[a，+∞），且x■>x■，都有f（x■）>f（x■），則y=f（x）是遞增的;

（3）反比例函數(shù)f（x）=■的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）∪（0，+∞）.

問(wèn)題5：判斷并證明函數(shù)f（x）=0.001x+1的單調(diào)性.

問(wèn)題6：證明函數(shù)f（x）=x+■（x>0）的單調(diào)性，

（1）在（0，1）上遞減;（2）在（1，+∞）上遞增.

問(wèn)題7：物理學(xué)中的玻意耳定律P=■（k為正常數(shù)）中，有對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)P增大，試著用函數(shù)單調(diào)性予以證明.

評(píng)析：教師通過(guò)對(duì)教材具有深度的理解設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生站在較高的角度探究概念本質(zhì)，在內(nèi)化中進(jìn)一步優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu). 問(wèn)題7聯(lián)系其他學(xué)科的數(shù)學(xué)知識(shí)，逐步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力，有了之前一系列問(wèn)題作為鋪墊，學(xué)生比較順利地解決了這個(gè)具有一定難度的應(yīng)用問(wèn)題. 在這個(gè)過(guò)程中，教師沒(méi)有輕易放過(guò)任何一個(gè)完善對(duì)函數(shù)單調(diào)性理解的機(jī)會(huì)，珍惜每一個(gè)引導(dǎo)學(xué)生深度思考的機(jī)會(huì)，深化對(duì)概念本質(zhì)的理解.

■概念教學(xué)的策略

1. 以情境促感知

數(shù)學(xué)概念的形成是由具體到抽象的過(guò)程，一些較難理解的數(shù)學(xué)概念，在教學(xué)時(shí)，切不可生硬地拋出，讓學(xué)生去記、去背. 而應(yīng)從學(xué)生的具體實(shí)際出發(fā)，有針對(duì)性地創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，提出問(wèn)題，以直觀性較強(qiáng)、具有一定關(guān)聯(lián)性的例子，去幫助學(xué)生感知概念，促進(jìn)感性認(rèn)識(shí)的形成[1]■.

2. 以直觀促生成

在概念學(xué)習(xí)中，學(xué)生不僅需通過(guò)多感官去感知，還需反復(fù)觀察文字符號(hào)，去聽(tīng)取教師的言語(yǔ)說(shuō)明，去實(shí)踐操作，更進(jìn)一步地進(jìn)行初步概括，形成表象. 這一過(guò)程，為理解和掌握概念提供了較好的感性基礎(chǔ). 因此，教師需運(yùn)用好教具、多媒體等強(qiáng)化直觀教學(xué)，并用直觀的圖像讓抽象的概念變得直觀和形象，成為“看得見(jiàn)、摸得著”的事物. 例如，以上教學(xué)過(guò)程中，為使學(xué)生深度掌握概念本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生以圖像和符號(hào)去描述，有助于學(xué)生的理解和認(rèn)識(shí).

3. 以訓(xùn)練促鞏固

概念教學(xué)的最高層次就是實(shí)現(xiàn)應(yīng)用，在應(yīng)用中使得理解和鞏固的概念得以發(fā)展和深化，也是將抽象知識(shí)化為行動(dòng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程. 以上案例中，教師從發(fā)展的角度設(shè)計(jì)練習(xí)，以一些情境復(fù)雜的問(wèn)題促使學(xué)生提煉和概括，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和深刻性，使學(xué)生從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)所學(xué)概念[2]■.

4. 以體驗(yàn)促深化

張奠宙先生曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性在于對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握、揭示和體驗(yàn). ”因此，在教學(xué)系統(tǒng)化概念的過(guò)程中，需引導(dǎo)學(xué)生感悟隱含于概念形成過(guò)程中的思想方法，需在應(yīng)用與推廣中自然而然地滲透思想方法，這才是促進(jìn)概念深化的核心■[3].

總之，提高概念教學(xué)水平是一項(xiàng)艱巨而復(fù)雜的工程，同時(shí)也是每個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)工作者必須深思的問(wèn)題，我們只有加強(qiáng)研究與交流，融合理論與實(shí)踐，才是可行之道. 我們需要轉(zhuǎn)型教學(xué)方式，從知識(shí)的重現(xiàn)轉(zhuǎn)變?yōu)橹R(shí)的重演，促進(jìn)學(xué)生的有效建構(gòu)，將數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)教育落到實(shí)處，真正實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)教育. 當(dāng)然，概念教學(xué)的探究之路漫長(zhǎng)而又艱巨，需要廣大數(shù)學(xué)教師持之以恒地研究下去、行走下去，這個(gè)話題永遠(yuǎn)不老！

參考文獻(xiàn)：

[1]? 吳敏，何嘉駒. 基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)探析——以人教版必修二《直線的傾斜角與斜率》為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2018（20）.

[2]? 匡繼昌. 如何理解和掌握數(shù)學(xué)概念的教學(xué)實(shí)踐與研究[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（6）.

[3]? 盧娟，孫道斌. 在深度對(duì)話中讓數(shù)學(xué)概念課教學(xué)走向本真——“§5.1定義與命題”教學(xué)實(shí)錄與點(diǎn)評(píng)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017（10）.