王發(fā)成 魏元洪

【摘要】概念教學(xué)是在認(rèn)真分析學(xué)生年齡特點及其認(rèn)知規(guī)律的基礎(chǔ)上，全面提高其知識與技能，掌握過程與方法，訓(xùn)練思維與表達，提升反思與交流的能力（其中包括學(xué)生個體自我組織、規(guī)劃數(shù)學(xué)活動的能力以及對學(xué)習(xí)過程與結(jié)果進行自主監(jiān)督、控制的能力等）的一種重要課型.本文以“數(shù)列的概念”的教學(xué)為例，簡單談?wù)勅绾位谡n程標(biāo)準(zhǔn)，注重目標(biāo)導(dǎo)向，科學(xué)合理地、有目的地、有計劃地組織好教與學(xué)的過程，如何幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)容做完整性與合理性的審視、評價與構(gòu)建，以期提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力、分析與解決問題的能力等.

【關(guān)鍵詞】數(shù)列;概念教學(xué);課程標(biāo)準(zhǔn);目標(biāo)導(dǎo)向

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思想與方法的重要載體，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容.概念教學(xué)應(yīng)基于課程標(biāo)準(zhǔn)，注重目標(biāo)導(dǎo)向，科學(xué)合理地、有目的地、有計劃地組織好概念教學(xué)過程.本文以“數(shù)列的概念”的教學(xué)為例，簡單談?wù)勅绾螏椭鷮W(xué)生對數(shù)學(xué)概念做完整性與合理性的審視、評價與構(gòu)建，以期提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力、分析與解決問題的能力等，供同行們參考.

數(shù)列是人類歷史上認(rèn)識最早的數(shù)學(xué)對象之一，早在古巴比倫時代，就有與數(shù)列相關(guān)知識的記載，數(shù)列與人類文化有著千絲萬縷的聯(lián)系，也是和人們?nèi)粘Ｉ蠲芮邢嚓P(guān)的數(shù)學(xué)知識之一.

一、解析課標(biāo)，確立教學(xué)目標(biāo)

依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的相關(guān)要求，按照安斯沃斯從技術(shù)層面上提出的課標(biāo)解析法，筆者制訂的目標(biāo)是：

（1）了解數(shù)列的概念.通過日常生活中的實例，引入數(shù)列的概念，理解數(shù)列的順序性，感受數(shù)列是反映自然規(guī)律的基本模型，了解數(shù)列的幾種分類方法.

（2）了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù).了解數(shù)列是一類離散函數(shù)，體會數(shù)列之間的變量依賴關(guān)系，了解數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)系.發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律，找出數(shù)列可能的通項公式.

（3）了解數(shù)列的簡單表示法.探索并掌握數(shù)列的幾種簡單表示法（通項公式、列表法、圖像法和遞推公式法）.探求和發(fā)現(xiàn)數(shù)列各項之間的關(guān)系及其規(guī)律，并用合適的表示法表示這種規(guī)律.

（4）會用恰當(dāng)?shù)姆椒枋鲆粋€具體數(shù)列的對應(yīng)關(guān)系.

（5）在抽象概括數(shù)列概念的過程中（從描述性概念到用函數(shù)觀點定義），經(jīng)歷從直觀到抽象、從感性到理性、從特殊到一般的認(rèn)知過程，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，感悟蘊含其中的分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，進一步發(fā)展數(shù)學(xué)思維意識和能力.

（6）讓學(xué)生感受解決問題的樂趣和成功的喜悅，體會數(shù)學(xué)的理性與簡約及“數(shù)、式、圖、形”的和諧統(tǒng)一美，展現(xiàn)數(shù)列模型的實用價值.

重點：了解數(shù)列的概念，體會數(shù)列是反映自然規(guī)律的數(shù)學(xué)模型.

難點：將數(shù)列看作是一種特殊函數(shù)去認(rèn)識，了解數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)系.

二、解讀教材，設(shè)計教學(xué)流程

教材中的實際問題貫穿始終，學(xué)習(xí)素材的呈現(xiàn)采用“問題情境→建立數(shù)學(xué)模型→解釋、應(yīng)用與拓展”模式.數(shù)列概念形成過程的核心是概括，概念核心是“順序性”，需要從具體實例中抽象概括其本質(zhì)屬性.

從內(nèi)容編排角度看，教材主要介紹了數(shù)列的概念和分類.首先，通過“三角形數(shù)”“正方形數(shù)”等實例引入數(shù)列的描述性定義;然后，從函數(shù)的角度再定義數(shù)列，用an=f（n）表示數(shù)列，讓學(xué)生體會數(shù)列的函數(shù)背景.這即符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又體現(xiàn)出數(shù)列概念的形成過程.

從蘊涵的數(shù)學(xué)思想和方法角度看，一方面，教材通過“觀察”欄目，鞏固加深學(xué)生對數(shù)列概念及其分類的理解.另一方面，將數(shù)列與函數(shù)聯(lián)系起來，要求學(xué)生認(rèn)真體會“數(shù)列”中蘊含的“變化與對應(yīng)關(guān)系”的思想.首先，讓學(xué)生體會數(shù)列中各項與序號的對應(yīng)關(guān)系;然后，說明數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型;最后，強調(diào)用函數(shù)背景和研究方法來認(rèn)識和研究數(shù)列.

三、開發(fā)工具，進行學(xué)習(xí)評價

美國評價專家斯蒂金斯認(rèn)為：“任何課堂教學(xué)的質(zhì)量最終都取決于該課堂所運用的評價的質(zhì)量，如果評價能夠在課堂層面得到良好的運用，那么學(xué)習(xí)將會得到極大的改善.”他還認(rèn)為：“為了確保學(xué)生最終實現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)，教師在教學(xué)前就應(yīng)該清楚學(xué)生達成學(xué)習(xí)目標(biāo)后的表現(xiàn)是怎樣的.”因此，評價不僅僅是對教學(xué)、對學(xué)習(xí)的判斷，更是促進教學(xué)和學(xué)習(xí)的工具.

1.通過開放性提問，讓學(xué)生對概念進行分析和判斷.例如，問題“除了教材上的數(shù)列，請你再列舉一些有代表性的數(shù)列，并判斷它屬于何種類型.”我們通過觀察學(xué)生“舉例、分類、用定義解釋”的全過程，來判斷學(xué)生是否主動建構(gòu)了“數(shù)列”，進而評判學(xué)生對概念的理解及以相關(guān)知識的鞏固程度.

2.實施表現(xiàn)性評價.例如，針對數(shù)列概念的學(xué)習(xí)（真實性），我們要觀察學(xué)生從描述性定義到函數(shù)定義的全過程（過程性），為此要制訂評價的規(guī)則（標(biāo)準(zhǔn)性），明確達到某種程度的學(xué)生，可以得多少分，并根據(jù)該學(xué)生在“舉例—說明”中運用定義解釋的情況（建構(gòu)性）來加以評判.

評價標(biāo)準(zhǔn)（滿分10分）：

（1）能夠舉出正確的數(shù)列實例2分

（2）舉例代表性強且有一定的實際背景4分

（3）能用自己的語言解釋，概括出“數(shù)列是由‘?dāng)?shù)組成，按一定的次序排列，具有順序性”6分

（4）能按不同的標(biāo)準(zhǔn)正確分類8分

（5）能歸納出“數(shù)列中的項具有確定性，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)”等性質(zhì)10分

3.布置實踐性作業(yè).課后讓學(xué)生閱讀并思考教材第32頁中的“斐波那契數(shù)列”，通過互聯(lián)網(wǎng)或查閱相關(guān)書籍搜集資料，寫一篇關(guān)于“斐波那契數(shù)列”的小論文.或者寫一篇關(guān)于“完全數(shù)”的說明文.

選擇什么方式來評價學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，最基本的一條原則就是看它能否直接評價學(xué)習(xí)目標(biāo)中反映的學(xué)習(xí)結(jié)果.

四、課前——布置任務(wù)，自主學(xué)習(xí)

閱讀教材第28頁第一、二自然段和“觀察”欄目，自學(xué)數(shù)列的概念及其分類.學(xué)習(xí)目標(biāo)：

（1）了解數(shù)列的概念（包括項、首項等），能舉例說明.

（2）了解分類的幾種方法，能夠?qū)⒔o定的數(shù)列正確分類.

（3）觀察下圖，理解數(shù)列的一般形式，體會對應(yīng)關(guān)系.

任務(wù)一：解決下列問題，理解數(shù)列概念（描述性概念）

問題1 讓學(xué)生觀察下列各例，看它們有何共同特征.

（1）完全數(shù)：6，28，496，8 128，33 550 336，…，26 972 592（26 972 593-1），….

（2）三角形數(shù)：1，3，6，10，…，n（n+1）2，….

（3）正方形數(shù)：1，4，9，16，…，n2，….

問題2 除了教材上的數(shù)列，請你再列舉一些有代表性的數(shù)列，并判斷它屬于什么類型.

問題3 數(shù)列1，2，3，4，5與數(shù)列5，4，3，2，1是相同的數(shù)列嗎？為什么？

任務(wù)二：利用函數(shù)觀點，理解數(shù)列概念

問題4 下面是某運動員在一次訓(xùn)練中射擊序號與中靶環(huán)數(shù)的對應(yīng)表：

環(huán)數(shù)是關(guān)于序號的函數(shù)嗎？

問題5 觀察“正方形數(shù)”組成的數(shù)列：1，4，…，n2，…，看看它是否符合函數(shù)的定義.

（1）正方形數(shù)列{n2}除了列舉各項表示以外，還可以怎樣表示？

（2）從圖像上看，數(shù)列an=n2，n∈N+與函數(shù)y=x2之間有什么關(guān)系？

思考：函數(shù)y=2x+1與y=2x，當(dāng)x依次取1，2，3，…，n時，其函數(shù)值構(gòu)成的數(shù)列各有什么特點？

下面，要求學(xué)生先閱讀教材第29頁的內(nèi)容，再總結(jié)歸納出一般性結(jié)論.學(xué)習(xí)目標(biāo)是：

（1）了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù).

借助你前面舉的例子，體會數(shù)列“序號”與“項”這兩個變量之間的依賴關(guān)系，能用函數(shù)的觀點解釋數(shù)列.了解數(shù)列是一類離散函數(shù)，了解數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)系.

（2）了解通項公式的概念.

問題6 下面是某水庫存水量與水深的對應(yīng)值表.

問：上述表格表示的是數(shù)列嗎？為什么？

任務(wù)三：完成下列作業(yè)：P31練習(xí)4，習(xí)題2.1中1，2，3，5題.

說明：每個問題均錄制有微課，即教師以視頻為主要載體，圍繞該問題重點、難點進行精講，供學(xué)生自主學(xué)習(xí)使用.

五、課中——辨析研討，合作學(xué)習(xí)

環(huán)節(jié)一：合作交流，暢談收獲.通過學(xué)生交流微課學(xué)習(xí)過程中的收獲，再次將課前學(xué)習(xí)的微課內(nèi)容內(nèi)化到學(xué)生自己的知識系統(tǒng)中.

環(huán)節(jié)二：提出問題，辨析研討.首先收集學(xué)生課前學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的困惑及發(fā)現(xiàn)的問題，然后通過小組協(xié)作，探討問題;師生辨析，解決問題;鞏固方法，拓展思維.

環(huán)節(jié)三：當(dāng)堂檢測，即時評價.布置適量題目，當(dāng)堂檢測，檢驗學(xué)習(xí)效果.

六、課后——歸納總結(jié)，知識拓展

1.從知識、能力、思維方式等不同層面，借助思維導(dǎo)圖或其他形式，總結(jié)歸納本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容和典型問題.同時，針對作業(yè)和檢測中的錯題，從補充練習(xí)中尋找類題再進行練習(xí)，查漏補缺.

2.讓學(xué)生閱讀并思考教材第32頁中的“斐波那契數(shù)列”，通過互聯(lián)網(wǎng)或查閱相關(guān)書籍搜集資料，寫一篇關(guān)于“斐波那契數(shù)列”的小論文.或者寫一篇關(guān)于完全數(shù)的說明文.

七、關(guān)于數(shù)列概念教與學(xué)的思考

這是一篇智慧課堂教學(xué)公開課設(shè)計稿，受篇幅影響，課中部分做了大量刪減，闡述的較為簡練，主要是貫徹“先學(xué)后教”“以學(xué)定教”等理念，靈活運用“自主、合作、探究”等符合時代精神的教學(xué)方式.

關(guān)于數(shù)列概念教學(xué)，首先，應(yīng)重視概念的引入（提供豐富、典型的實例）、概念的形成（抽象、概括其本質(zhì)屬性）、概念的明確（用圖形、表格和式子等準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述概念）、概念的解釋與應(yīng)用（以實例為載體，辨析數(shù)列的內(nèi)涵和外延，應(yīng)用數(shù)列的概念做出判斷并解決一些簡單的實際問題）.其次，是要凸顯數(shù)列概念本質(zhì)屬性，分析學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)，更好地把握教學(xué)規(guī)律，以“問題串”為線索的進行教學(xué)過程設(shè)計（尤其是例子的選擇和提出的相關(guān)問題），一定要注重學(xué)生的思維參與和感悟.

總之，“基于課程標(biāo)準(zhǔn)，注重目標(biāo)導(dǎo)向”的概念教學(xué)的具體體現(xiàn)主要有三個方面：一是，教學(xué)目標(biāo)源于課程標(biāo)準(zhǔn);二是，教學(xué)評價設(shè)計先于教學(xué)過程設(shè)計;三是，課程標(biāo)準(zhǔn)、課堂教學(xué)、教學(xué)評價具有高度一致性.教師在課堂教學(xué)中，一定要注意處理好“教學(xué)設(shè)計”與“具體操作”的關(guān)系.“教學(xué)設(shè)計”實際上是理想狀態(tài)中的教學(xué)，而“具體操作”是現(xiàn)實的、動態(tài)的、體現(xiàn)生命價值的教學(xué).尤其是在“實際操作”偏離了“事先規(guī)劃”的軌道時，我們應(yīng)該放棄“既定方案”，按照課堂中新“生成”的思路調(diào)整自己的思緒，讓課堂教學(xué)在自然狀態(tài)中發(fā)展下去.

【參考文獻】

[1]王發(fā)成，張強.智慧課堂教學(xué)模式分析[J].教育實踐與研究，2018（6）：6-9.

[2]（新西蘭）約翰·哈蒂（John Hattie）.可見的學(xué)習(xí)：對800多項關(guān)于學(xué)業(yè)成就的元分析的綜合報告[M].彭正梅，鄧?yán)?，等，譯.北京：北京教育科學(xué)出版社，2015.