高文龍

【摘要】許多面臨高考的學生，都會由于數(shù)學思想的抽象性而對這門學科產(chǎn)生望而生畏的心態(tài)，十分不利于其在考場上的高水平發(fā)揮.而在實際的教學過程之中，許多教師都會將數(shù)形結(jié)合作為一種化解數(shù)學抽象性難題，提高其直觀度的有效手段，并以此來幫助學生不斷提高解答數(shù)學客觀題的能力.這一數(shù)形結(jié)合思想在解決函數(shù)等問題的時候效果尤其顯著.因此，以這一思想在高考數(shù)學客觀題解答過程中的應用為出發(fā)點進行深刻探究，以期為高中生數(shù)學解題能力的提升貢獻一分力量.

【關鍵詞】數(shù)形結(jié)合思想;高考數(shù)學;客觀題;三角函數(shù);畫圖

數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)，是借助于圖像這一直觀的方式，來對抽象性較強的數(shù)學知識進行直觀化的轉(zhuǎn)變[1].尤其是在高考數(shù)學的客觀題當中，有許多題干知識所給出的信息都較為抽象，不符合人腦的思考特征，需要借助圖像對其進行從抽象到具象的轉(zhuǎn)化，才能夠幫助學生更好地在復雜的信息中尋求最優(yōu)化的解決策略.

本文以這一有效方法在高考客觀題解答過程中的應用展開生動的案例分析.

一、淺析數(shù)形結(jié)合思想在解答高考數(shù)學客觀題當中的作用

只要對歷年的高考數(shù)學真題進行分析，我們就能夠發(fā)現(xiàn)，其各類題型都在不同程度上滲透著數(shù)形結(jié)合的思想[1].而這類題目就其出題意圖來看，往往旨在于對學生的空間想象力以及邏輯推理等能力進行深入的考查，以此來評估學生的綜合數(shù)學水平.因此，解決此類問題最佳的途徑，就是通過畫圖這一形式，將抽象的數(shù)學信息轉(zhuǎn)化為可直觀感受的圖形，并在數(shù)字與圖案的交互過程中，進一步激發(fā)學生解題靈感的出現(xiàn)，提高其在考場上的綜合應變水平.但是在這一數(shù)形結(jié)合思想的應用過程當中，也有許多因素的重要性不容忽視，那就是圖像的規(guī)范性及其特殊輔助線、輔助點的選取是否有效等內(nèi)容.只有對以上內(nèi)容進行有效把控，最終才能突破數(shù)形結(jié)合思想應用的局限，使其真正在高考考場上發(fā)揮應有的價值.以下通過具體的案例分析，來探究這一數(shù)形結(jié)合思想的應用方式[1].

二、數(shù)形結(jié)合思想在高考數(shù)學客觀題解題過程當中的應用案例

（一）在解答函數(shù)圖形問題當中的應用

函數(shù)圖形問題是歷年高考數(shù)學的必出題目，而一般來說，如果僅僅通過題干的信息及對數(shù)學公式的運算，我們很難將抽象知識轉(zhuǎn)化為容易理解的直觀形象，從而輕松地找到題目的正確解.而若能夠在這一過程中恰當?shù)匾霐?shù)形結(jié)合的解題技巧，就能夠使考生應對這一類題目的能力獲得不容小覷的提升[1].

案例1 已知條件：f（x）=|x-2|+1，與此同時g（x）=ax.如果f（x）=g（x）這一方程式能夠解出兩個數(shù)值不相等的實根，那么此時實數(shù)a該如何取值？

圖1

解答過程如下：根據(jù)上述已知信息，我們可以作出如圖1所示的圖形.接下來，再根據(jù)圖像當中顯示的這兩大函數(shù)的斜率，來推斷其實根的范圍是：小于1且大于12的實數(shù).

（二）在解答方程根數(shù)問題過程中的應用

案例2 函數(shù)f（x）的方程式為f（x）=x3+ax2+bx+c的前提下，已知這一函數(shù)有兩個極值點，分別是x1和x2.與此同時，還知道f（x1）的值就等于x1本身，且x2大于x1.此時，要求3（f（x））2+2af（x）+b=0這一方程所擁有的實根的個數(shù).

圖2

解答過程如下：根據(jù)方程的已知條件，我們可以作出如圖2所示的圖形.接下來，再借助令t等于f（x）這一操作，來將上述第二個方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)更為簡單的3t2+2at+b=0這一方程.接下來，再根據(jù)這一方程的信息，推演出t分別等于x1和x2這一結(jié)果.最終根據(jù)圖像當中的交點及相關的已知信息，判斷其最終的實根數(shù)量為三個[2].

（三）在含參數(shù)不等式當中的應用

案例3 在a屬于實數(shù)集R的前提下，如果當x大于零的時候，不等式[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0一直成立，那么此時a的值為多少？

圖3

解答過程如下：根據(jù)上述的已知條件，我們可以將不等式拆分為兩個函數(shù)，一個是f（x）=x2-ax-1，另一個是f（x）=（a-1）x-1.然后在此基礎上作出如圖3所示的函數(shù)圖，畫出兩個函數(shù)的交叉圖像.從圖像的內(nèi)容我們可以得知諸多信息.首先，兩個函數(shù)都必然經(jīng)過同一個點，這個點的坐標為（0，-1）.其次，為了滿足題干當中提出的前提條件，這兩大函數(shù)的另一個交點位置，必然處于x軸之上[3].此時，將y=0代入到y(tǒng)=（a-1）x-1這一方程當中，我們就可以得知這一交點坐標的表現(xiàn)形式，為1a-1，0，此時其中的a值大于1.再將這一坐標的數(shù)值代入到上述的另一個方程中，我們就可以得出a=32.

三、結(jié)束語

根據(jù)上述的討論，我們可以得知，在高中數(shù)學當中解答不同類型的客觀題的時候，都會在不同程度上需要應用到這一精妙的數(shù)形結(jié)合思想.這一思想的普及為高中生破解抽象性較強的數(shù)學題提供了一條光明大道，使其能夠在不斷加深對這一思想的應用水平的過程中，逐步提高其解答數(shù)學題的效率[3].

【參考文獻】

[1]陳俊斌.巧用數(shù)形結(jié)合思想，妙解高考數(shù)學客觀題[J].數(shù)學教學，2015（10）：43-46.

[2]廖雷，王濤.巧用數(shù)形結(jié)合思想提升中學生的解題能力[J].農(nóng)家參謀，2018（17）：183.

[3]陳德前.數(shù)形結(jié)合妙解生輝——談數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應用[J].中學生數(shù)理化，2016（7）：14-16.