李同天

摘要：文章對初中數(shù)學(xué)開放題的類型與特點(diǎn)進(jìn)行分析，并通過教學(xué)實(shí)例，重點(diǎn)闡述結(jié)論開放型習(xí)題的解題方法，主要包括由因?qū)Ч媹D解法、大膽猜測等方式，使學(xué)生的發(fā)散思維與解題能力得到顯著提升。最后，還提出了科學(xué)有效的教學(xué)策略，力求通過堅(jiān)持教學(xué)開放、貼近實(shí)際生活、注重學(xué)生情緒等方式，在開放題教學(xué)中貫徹落實(shí)陶行知教育理念，使學(xué)生能夠真正理解知識，并做到靈活運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) 開放探究題 解題策略

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，開放探究題屬于重要題型之一，是指命題中缺少一定條件或未給出明確結(jié)論，需要學(xué)生通過猜想、推斷、證明的問題。開放探究題具有內(nèi)容豐富、形式多樣、創(chuàng)新性強(qiáng)等特點(diǎn)，對學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與解題能力具有較高要求。對此，教師應(yīng)注重解題策略與技巧的傳授，堅(jiān)持開放式教學(xué)，貼合學(xué)生實(shí)際生活，幫助學(xué)生克服畏懼心理，掌握多種解題方法，又快又準(zhǔn)地完成習(xí)題解答。

一、初中數(shù)學(xué)開放題概述

1.習(xí)題類型

開放探究題的類型多種多樣，具有代表性的類型如下。一是條件開放。此種題目一般是根據(jù)所給的結(jié)論，反思應(yīng)具備的條件，并且此類條件并不具備唯一性。例如，若AB與DB相等，∠1與∠2相等，請?zhí)顚戇m當(dāng)?shù)臈l件，使△ABC與△DBE全等，則需要填寫的條件應(yīng)為（ ）。此類題目便是條件開放式習(xí)題。二是結(jié)論開放，在相關(guān)條件之下，對相應(yīng)對象是否存在進(jìn)行探究。其一般有兩種結(jié)果，即結(jié)論存在或不存在。在解題時(shí)，需要先假設(shè)其存在，然后根據(jù)既定條件演繹推理，最后得出結(jié)論，并對結(jié)論是否存在進(jìn)行判斷。三是條件與結(jié)論均開放。此類習(xí)題的條件與結(jié)論均不固定，需要學(xué)生根據(jù)已知信息自行填寫、推理和分析，對內(nèi)部蘊(yùn)含的結(jié)論與數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行探索。例如，30名學(xué)生乘坐兩輛汽車去學(xué)校，在與學(xué)校相距10km之處，一輛車子發(fā)生故障。此時(shí)還有40min上課，正常行駛的車輛的限客數(shù)量為20人，汽車行駛的速度為50km/h。問在此情況下，全體學(xué)生是否會遲到？在對這一問題進(jìn)行分析時(shí)，重點(diǎn)在于在只有一輛車子的情況下，首批學(xué)生已經(jīng)到校，剩余學(xué)生是在原地等待，還是步行一段路程。兩種不同走法所得的結(jié)果也不盡相同。

2.習(xí)題特點(diǎn)

一是新穎性。此類題目條件較為復(fù)雜，最終結(jié)論不固定，且解題方式多種多樣，沒有固定的模式可套用，且與學(xué)生的日常生活貼近，可改善傳統(tǒng)封閉式題目的簡單化、機(jī)械化解題的弊端。

二是靈活性。此類題目較為生動(dòng)靈活，部分題目可追溯出多種條件、探究出多種結(jié)論，解法不盡相同，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)自身的靈活性。

三是發(fā)散性。此類題目還具有較強(qiáng)的發(fā)散性特點(diǎn)。由于答案不一致，在解題時(shí)需要應(yīng)用多種思維方式，從多角度著手進(jìn)行觀察、對比和分析，探究各類解題方向。

四是創(chuàng)新性。此類題目創(chuàng)新性強(qiáng)，在教育功能方面優(yōu)勢明顯，符合當(dāng)前數(shù)學(xué)領(lǐng)域的人才培養(yǎng)目標(biāo)。

二、初中數(shù)學(xué)開放探究題的解題方法

在初中數(shù)學(xué)習(xí)題體系中，開放探究題的類型眾多。本文以結(jié)論開放型為例，通過案例分析，對此類題型的解題方法進(jìn)行探究和闡述。在解題過程中，應(yīng)根據(jù)現(xiàn)有條件推測相應(yīng)的結(jié)論，與條件相符的結(jié)論多種多樣，具體的解題方法如下。

1.由因?qū)Ч?/p>

此種解題方式是從題意分析著手，順向推理，也可根據(jù)題目已知內(nèi)容，通過觀察、計(jì)算、歸納等方式，得出最終結(jié)論。

例：已知△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，但兩者的大小不盡相同。如若將AE和DB兩條線連接，判斷AE與DB的數(shù)量與位置關(guān)系，并說明理由（如下圖1所示）。如若將DB連接起來，并將該直線以D為頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，轉(zhuǎn)到DF線處，將AF連接起來，判斷DE與AF線的數(shù)量與位置關(guān)系，并說明理由（如下圖2所示）。

分析：首先對圖形特點(diǎn)進(jìn)行分析。根據(jù)已知條件AE與DB的位置選擇相應(yīng)的圖形，并列出條件，根據(jù)Rt△ACE與Rt△BCD間的全等關(guān)系得出最終結(jié)果。在解答第二問時(shí)，可在第一問答案的基礎(chǔ)上，對直線DE與AF的數(shù)量、位置關(guān)系進(jìn)行探究。

解題：（1）直線AE與DB長度相等，且二者處于垂直狀態(tài)。原因?yàn)椋?/p>

根據(jù)圖1可知，將直線DB延長，與AE相交于點(diǎn)M。因CA與CB相等，CE與CD相等，∠ACE與∠BCD均為90°，因此Rt△ACE與Rt△BCD具有全等關(guān)系，進(jìn)而AE與DB相等，∠AEC與∠BDC相等。又因∠AEC與∠EAC相加為90°，在△AMD中，∠AMD的數(shù)值為90°，所以AE與DB為垂直狀態(tài)。

（2）直線DE與AF長度相等，且二者處于垂直狀態(tài)，原因?yàn)椋?/p>

根據(jù)圖2可知，假設(shè)ED與AF相交于點(diǎn)N，根據(jù)已知條件可知，直線BE與AD相等，由于∠EBD減去∠BDC等于90°，∠ADF減去∠BDC等于90°。因此∠EBD與∠ADF的數(shù)值相等。又因直線DB與DF相等，因此△EBD與△ADF之間為全等關(guān)系，因此DE與AF相等，∠FAD與∠E與∠EDC均為45°，進(jìn)而∠AND為90°，也就是DE與AF之間為垂直關(guān)系。

評析：在對此類問題進(jìn)行解答時(shí)，應(yīng)按照已知條件進(jìn)行猜想和證明。通常情況下，開放習(xí)題對學(xué)生的邏輯思維提出較高要求，對其歸納、推理能力進(jìn)行考察。在判斷某個(gè)結(jié)論是否成立時(shí)，應(yīng)根據(jù)情形進(jìn)行分類討論，靈活運(yùn)用學(xué)過的定理與公式等知識，便可精準(zhǔn)、高效地解決此類問題。

2.大膽猜測

在開放題教學(xué)中，教師應(yīng)在陶行知教育思想的引導(dǎo)下，堅(jiān)持“教學(xué)做合一”原則，通過開展小組合作探究的方式，使數(shù)學(xué)知識能夠在實(shí)踐中貫徹落實(shí)，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，培養(yǎng)其解題自信。此類開放題屬于特殊的數(shù)學(xué)題目，其條件、答案與解答不盡相同。一些問題無法由一個(gè)學(xué)生在有限時(shí)間內(nèi)完成，需要發(fā)揮集體的智慧。在解題過程中，對于全開放式結(jié)論，不妨通過大膽猜測的方式，猜想可能出現(xiàn)的各種結(jié)論，并對想到的結(jié)論逐一驗(yàn)證，直至得出與題目條件相符的答案。對此，在開放題解題中，教師可在陶行知“教學(xué)做合一”思想的引導(dǎo)下，通過小組合作學(xué)習(xí)等方式解題。根據(jù)合作學(xué)習(xí)理論，學(xué)生在小組中扮演不同角色，對每個(gè)人的工作進(jìn)行分配，有助于獨(dú)立、競爭與合作三種意識的鍛煉和提升。在小組探究活動(dòng)中，教師給出以下題目。

例：已知點(diǎn)P（x，y）位于第二象限，且y的數(shù)值不超過x+4，x與y均為整數(shù)，請寫出一個(gè)與上述條件相符的坐標(biāo)。

題目一出，各小組便紛紛展開討論。根據(jù)已知可知，P點(diǎn)位于第二象限，那么x的數(shù)值小于0，y的值大于0，因此x>-4。又因x為整數(shù)，因此可猜測其數(shù)值可能為-1， -2，-3。若x的值為-1，則y的數(shù)值為1、2和3；若x的值為-2，則y的數(shù)值為1和2；若x的值為-3，則y的數(shù)值只有1。

在此過程中，教師發(fā)揮主導(dǎo)作用，組織好課堂紀(jì)律，并在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)引導(dǎo)學(xué)生，及時(shí)幫助小組走出困境。當(dāng)小組討論取得成果時(shí)，教師應(yīng)及時(shí)表揚(yáng)和鼓勵(lì)。此類題目主要對學(xué)生基本概念的掌握情況進(jìn)行考查，要求其具備發(fā)散思維，能夠快速、精準(zhǔn)地獲取答案。在解答此類題目時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從問題的角度出發(fā)，對已知條件中的關(guān)鍵性信息進(jìn)行概括，再利用所學(xué)知識進(jìn)行重建，通過猜想與拓展，形成新的知識體系，利用新知識中的內(nèi)在聯(lián)系解答問題。

三、初中數(shù)學(xué)開放題教學(xué)策略

1.堅(jiān)持教學(xué)開放，控制開放度

在現(xiàn)代化教學(xué)背景下，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)理念與方法難以滿足現(xiàn)實(shí)需求，不利于新型人才培養(yǎng)。而開放題教學(xué)理念與模式能夠做到與時(shí)俱進(jìn)，滿足當(dāng)前的人才發(fā)展需求。對此，在實(shí)際教學(xué)中教師應(yīng)堅(jiān)持開放教學(xué)，也許在短期內(nèi)難以看到明顯效果，但長此以往，學(xué)生不但可積累豐富的知識與技能，發(fā)散思維也將得到有效鍛煉和提升，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣更加濃厚。在學(xué)生發(fā)散創(chuàng)新思維的教學(xué)中，每位教師都應(yīng)認(rèn)識并尊重學(xué)生的個(gè)體差異，并根據(jù)差異性控制好課堂教學(xué)的開放度，要做到收放自如。

2.貼近實(shí)際生活，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力

數(shù)學(xué)屬于基礎(chǔ)學(xué)科之一，是數(shù)量關(guān)系與空間圖形的綜合體。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，大多數(shù)概念和理論均由數(shù)學(xué)家抽象概括而成，具有較強(qiáng)的抽象性，為學(xué)生學(xué)習(xí)帶來一定難度。對此，在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)盡量以實(shí)際生活為背景，與中學(xué)生的社會生活環(huán)境相貼合，營造民主、輕松的氛圍，以此鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維。在正式教學(xué)之前，教師應(yīng)恰當(dāng)?shù)剡x擇題目，遵循陶行知“生活即教育”的原則，多設(shè)計(jì)一些與學(xué)科本身、生活實(shí)際相關(guān)的題目，拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)間的距離，讓其切實(shí)感受到生活處處有數(shù)學(xué)，同時(shí)也認(rèn)識到學(xué)科之間的聯(lián)系，并由此產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)，在教學(xué)要求方面，不應(yīng)單純?yōu)榱送瓿山虒W(xué)目標(biāo)而設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，而是要注重學(xué)生對理論知識的掌握與應(yīng)用能力的提升。適當(dāng)減少基礎(chǔ)知識考查的題型，增加一些有層次、開放性的題型，這樣便可在鞏固基礎(chǔ)知識的同時(shí)，促進(jìn)學(xué)生思維能力、應(yīng)用能力的提高。

3.注重學(xué)生情緒，克服畏懼心理

在以往的數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生受傳統(tǒng)教學(xué)模式影響，已經(jīng)習(xí)慣了完整的已知條件與唯一的結(jié)論。因此，在思考與解答時(shí)，學(xué)生經(jīng)常采用固定的思維模式，很難做到舉一反三。在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，要么輕松搞定，要么無從下手，這勢必會對學(xué)生的解題自信造成打擊，不利于思維鍛煉。由于開放題具有較強(qiáng)的靈活性、開放性，傳統(tǒng)的解題方式不再適用，難免會引起學(xué)生的情緒波動(dòng)，甚至?xí)绊憣W(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，使其厭倦、畏懼?jǐn)?shù)學(xué)。對此，在開放題教學(xué)中，教師應(yīng)奉行陶行知的教育思想，“捧著一顆心來，不帶半根草去”，在傳授理論知識的同時(shí)，注重每位學(xué)生的情緒與心理，及時(shí)給予鼓勵(lì)和幫助，引導(dǎo)其朝著健康的方向發(fā)展。在教學(xué)過程中，還可建議學(xué)生寫學(xué)習(xí)日記，及時(shí)了解學(xué)生的心理變化，幫助其樹立數(shù)學(xué)自信，有效克服畏懼心理，顯著提高數(shù)學(xué)成績。

四、結(jié)語

綜上所述，在新課改背景下，初中數(shù)學(xué)開放性習(xí)題已成為主要題型之一，對學(xué)生思維與數(shù)學(xué)品質(zhì)的培養(yǎng)具有重要作用。對此，教師應(yīng)深刻認(rèn)識到此類題目的教育價(jià)值，并在各類題目的基礎(chǔ)上對其內(nèi)涵進(jìn)行挖掘，探索更多科學(xué)有效的解題策略，通過堅(jiān)持教學(xué)開放、貼近實(shí)際生活、注重學(xué)生情緒等方式，激發(fā)學(xué)生的思維與潛力，使其綜合素質(zhì)得到進(jìn)一步提升。

參考文獻(xiàn)

[1]王卓峰.談初中數(shù)學(xué)開放題的類型與解題策略[ J].課程教育研究：新教師教學(xué)，2019（24）.

[2]趙娟.初中數(shù)學(xué)開放性習(xí)題的常規(guī)類型及其解題思路[ J].數(shù)理化學(xué)習(xí)：教育理論，2017（1）.

[3]李燕京.初中數(shù)學(xué)開放性習(xí)題的常見類型及其解題策略[ J].教育教學(xué)論壇，2019（30）：115-116.

[4]宋蓓.初中數(shù)學(xué)解題策略的研究及應(yīng)用[D].天津師范大學(xué)，2019.