摘? 要：文章以“以圖梳理，以圖論法，以題變式”為教學(xué)策略，通過思維導(dǎo)圖進行知識重構(gòu)，通過基本圖形進行穿針引線，通過經(jīng)典習(xí)題進行融會貫通，從而激活課堂，教會學(xué)生思考、歸納、總結(jié)，進而把學(xué)生從“題海”中解脫出來，實現(xiàn)專題復(fù)習(xí)課的高效性.

關(guān)鍵詞：知識重構(gòu);基本圖形;變式教學(xué)

有些學(xué)生在教師授課時什么都懂，但是讓他們自己做題卻因為不清楚解題方向而不會做. 有些學(xué)生用大量的時間和精力做題，但有時收效和付出卻不成正比. 授人予魚，不如授人予漁. 在復(fù)習(xí)課中，教師要摒棄題海戰(zhàn)術(shù)，可以利用“一圖”幫助學(xué)生進行知識重構(gòu)，或通過“一題”促進學(xué)生融會貫通，深入研究、拓廣延伸，挖掘其內(nèi)在的學(xué)習(xí)線索，找出題目的共性，啟發(fā)學(xué)生進一步思考，從而引導(dǎo)學(xué)生探究解決數(shù)學(xué)問題的方法. 由此可見，教師幫助學(xué)生適當(dāng)總結(jié)經(jīng)驗，就顯得尤為重要. 筆者結(jié)合教學(xué)實踐從以下三個方面說一說對中考專題復(fù)習(xí)課的教學(xué)的看法.

一、利用“一圖”重構(gòu)知識

中考復(fù)習(xí)階段，對基礎(chǔ)知識的復(fù)習(xí)尤為重要. 在教學(xué)時，如果教師只呈現(xiàn)基本概念，不注重知識的形成與發(fā)展，這是不利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展的. 筆者利用整體復(fù)習(xí)思想，將同類型知識進行串聯(lián)，類比得到知識的研究思路和方法，使學(xué)生整體把握知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過構(gòu)建思維導(dǎo)圖，把獲得的經(jīng)驗運用于新知識的學(xué)習(xí)中，從而培養(yǎng)學(xué)生“會學(xué)數(shù)學(xué)”的能力.

案例1：“函數(shù)”內(nèi)容的復(fù)習(xí).

函數(shù)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容. 在中考復(fù)習(xí)“函數(shù)”知識塊時，筆者進行了如下設(shè)計.

問題：回顧一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)過程，思考我們是怎樣研究它們的？

筆者將學(xué)生總結(jié)的研究函數(shù)內(nèi)容的基本思路整理如下表所示.

追問1：怎樣研究它們的圖象和性質(zhì)？

師生共同總結(jié)出由簡單到復(fù)雜、由特殊到一般的研究函數(shù)圖象和性質(zhì)的思路.

追問2：對于一類新的函數(shù)，我們可以按怎樣的思路進行研究？如何研究它的圖象和性質(zhì)？

追問3：形如[y=ax3+bx a， b均為常數(shù)，且a≠0]或[y=ax+a/x a為常數(shù)，且a≠0]的函數(shù)，我們該如何研究它的圖象和性質(zhì)？

【說明】教師通過引導(dǎo)學(xué)生回顧一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，找到其中的共性，以適時的提問、點撥，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納出研究函數(shù)的一般思路與方法. 師生共同構(gòu)建函數(shù)研究的知識框架，提煉其中蘊含的數(shù)學(xué)本質(zhì). 函數(shù)的研究應(yīng)從定義、圖象、性質(zhì)和應(yīng)用四個方面進行. 函數(shù)圖象和性質(zhì)的研究應(yīng)遵循由簡單到復(fù)雜、由特殊到一般的思路，并滲透數(shù)學(xué)思想方法.

整體性教學(xué)可以給學(xué)生呈現(xiàn)出宏觀的數(shù)學(xué)視野. 學(xué)生通過類比、反思，探究內(nèi)容的共性和特殊性，構(gòu)建知識框架圖，實現(xiàn)知識重構(gòu)，使知識系統(tǒng)化和整體化，使學(xué)生能深刻理解每部分的知識. 學(xué)生的學(xué)習(xí)從“經(jīng)歷”走向“經(jīng)驗”，加深了對通性、通法的認(rèn)識，促進了知識的遷移應(yīng)用，激活、更新和豐富已有的基本活動經(jīng)驗，從而提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、利用“一圖”穿針引線

在近幾年的中考試卷中，具有開放性、探究性和創(chuàng)新性的綜合性試題越來越多. 其中的大部分試題都以一些基本圖形為載體，通過變式與拓展改編而來，以此來考查學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力. 基本圖形是試題的主要生長點，是“源頭”. 在教學(xué)中，教師可以將基本圖形穿針引線，讓學(xué)生由“點”及“面”， 學(xué)會從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形，并利用基本圖形解決問題.

案例2：“一線三等角”專題復(fù)習(xí).

例? 如圖1，將等腰三角板的直角頂點靠在直尺的邊沿. △ADB和△BEC有什么關(guān)系？試說明理由.

問題1：若將等腰三角板ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，結(jié)論還成立嗎？

問題2：如圖2，將例題中的等腰直角三角形改成任意的直角三角形或者鈍角三角形，結(jié)論還成立嗎？

問題3：大家發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過程中只要保證圖2（1）中的∠ADB = ∠ABC = ∠BEC = 90°，結(jié)論都是相似的. 若把90°改為α，結(jié)論還成立嗎？

【說明】從學(xué)生熟悉的三角板出發(fā)，通過一連串的提問，使學(xué)生認(rèn)清三個問題的本質(zhì)，并將其歸結(jié)為同一個問題，即“一線三等角”. 教師通過設(shè)置情境化、低起點的問題，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和參與度.

接下來，筆者給出以下變式，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用“一線三等角”模型解決問題.

變式1：如圖3，在矩形ABCD中放置一個由8個邊長相等的小正方形組成的“L型”模板，其中EC = 8，求DF和AB的長.

變式2：如圖4，在△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，連接AD，DE，且∠ADE = ∠B = ∠C. 若∠B = 45°，BC = 2，當(dāng)點D在BC上運動時（點D不與點B，C重合）.

（1）設(shè)BD = x，CE = y，求y的最大值.

（2）若△ADE是等腰三角形，求此時BD的長.

【說明】通過兩道變式題對基本圖形“一線三等角”進行直接應(yīng)用，實現(xiàn)多題歸一，提高學(xué)生綜合運用基本圖形解決問題的能力.

通過變式3給出模型的間接應(yīng)用.

變式3：如圖5，在Rt△AOB中，O為坐標(biāo)原點，∠AOB = 90°，∠B = 30°，若點A在反比例函數(shù)[y=1x]的圖象上運動，那么點B在函數(shù)__________（填函數(shù)解析式）的圖象上運動.

【說明】變式3中，注意到∠AOB = 90°，∠B = 30°，90°和30°都是特殊角. 特殊角的直角三角形的三邊有一定的比例關(guān)系，要確定點B所在圖象的函數(shù)關(guān)系式，實際上就是確定點B的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系. 顯然需要過點B作x軸的垂線，過點A作x軸的垂線，構(gòu)造出如圖6所示的“一線三等角”的基本圖形. 通過這個媒介，為解題尋找到突破口，從而利用相似三角形的性質(zhì)解決問題.

以上幾道題看似不同，卻有著共同點：都是由基本圖形與其他知識點組合在一起，一圖多用、多題歸一. 教師應(yīng)該讓學(xué)生靜下心去思考，發(fā)現(xiàn)幾道題之間的內(nèi)在聯(lián)系，有意識地建立學(xué)生的圖形意識，設(shè)法揭示出隱藏在具體情形中的一般模型，抓住問題的本質(zhì)，將復(fù)雜問題簡單化，從復(fù)雜圖形中分離或構(gòu)造出基本圖形，然后應(yīng)用基本圖形的特性及相關(guān)結(jié)論解決問題，提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題的效益. 通過這種多題歸一的探究，讓學(xué)生由“點”及“面”地了解問題的本質(zhì)，拓展學(xué)生思維的深度，幫助學(xué)生養(yǎng)成總結(jié)、歸納的好習(xí)慣.

三、利用“一題”融會貫通

在復(fù)習(xí)課中，教師要善于“借題發(fā)揮”， 即通過變式教學(xué)讓學(xué)生進行拓展探究. 由原題形成問題鏈，將知識點串聯(lián)起來，加強學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和思想方法的理解和變通，拓展學(xué)生思維的廣度，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、深刻性和創(chuàng)新性，進而培養(yǎng)學(xué)生的復(fù)合思維.

案例3：“等腰三角形”內(nèi)容的復(fù)習(xí).

問題：如圖7，在△ABC中，AB = AC = 10. 你能求出BC的長嗎？

追問1：你認(rèn)為增加什么條件可以求出BC的長？

生：當(dāng)∠A = 90°，或者∠A = 60°時，可以求出BC的長.

追問2：當(dāng)∠A分別為30°，45°，135°時，可以求出BC的長嗎？

追問3：若∠A為任意一個小于180°的角，可以求出BC的長嗎？

【說明】教師通過設(shè)置開放性的追問1，引起不同程度的學(xué)生不同角度的思考，既復(fù)習(xí)了勾股定理和三角函數(shù)的知識，又培養(yǎng)了學(xué)生的探究能力. 解決問題時，既回顧了等邊三角形和等腰直角三角形的相關(guān)知識，又培養(yǎng)了學(xué)生的歸納能力，讓學(xué)生明白在等腰三角形中，已知腰長，只需要再知道一個角的度數(shù)，構(gòu)造直角三角形（如圖8或圖9），利用勾股定理或三角函數(shù)即可求出底邊的長.

變式1：在△ABC中，AB = AC = 10，邊BC上的高AD為8，你能求出BC的長嗎？

將變式1的結(jié)論與條件互換，得到以下變式2.

變式2：在△ABC中，AB = AC，若知道邊BC的長，你可以獲得哪些信息？

通過添加背景材料，與圓相結(jié)合，得以下變式.

變式3：如圖10，在△ABC中，AB = AC = 10，BC =16，D為邊BC的中點，作△ACD的外接圓，點E是圓上的動點，連接AE，EC.

（1）試說明AC為圓的直徑;

（2）當(dāng)△ACE為等腰三角形時，求AE的長.

變式4：如圖11，在△ABC中，AB = AC = 10，BC =16，D為邊BC的中點，作△ACD的外接圓，連接EC. 當(dāng)點B，A，E在同一直線上時，求AE的長.

變式5：如圖12，在△ABC中，AB = AC = 10，BC =16，D為邊BC的中點，作△ACD的外接圓，當(dāng)點B，A，E在同一直線上時，連接EC，過點D作DF⊥AB.

（1）試說明DF是圓的切線;

（2）求AF的長.

改變條件與結(jié)論，提高探索能力，得變式6.

變式6：如圖13，在△ABC中，AB = AC = 10，BC =16，D為邊BC的中點，作△ACD的外接圓，當(dāng)點B，A，E在同一直線上時，連接EC，過點D作DM⊥EC，分別與EC，AC交于點M，N. 求MN的長.

改變條件，挖掘內(nèi)在聯(lián)系，得變式7.

變式7：如圖14，在△ABC中，AB = AC = 10，BC =16，BD∶DC = 4∶1，作△ACD的外接圓，當(dāng)點B，A，E在同一直線上時，連接EC. 求AE的長.

以上變式起點低，呈階梯上升，變中有不變，既復(fù)習(xí)了等腰三角形的基礎(chǔ)知識，又通過增加條件，結(jié)合圓，對求線段長的方法進行了總結(jié)，從而激發(fā)學(xué)生積極參與問題的探索過程.

四、結(jié)束語

教師可以選擇一些有意義但又不復(fù)雜的題目，通過對典型題，進行變式、拓展探究，將知識點串聯(lián)起來，加深學(xué)生對知識的理解. 通過引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)習(xí)題進行研究，并對解題思路和方法進行指導(dǎo)，讓學(xué)生清楚地認(rèn)識到解決問題的不同方法與策略，積累解題經(jīng)驗，達(dá)到“做一題、通一類”的效果，讓不同層次的學(xué)生都有所收獲.

在復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，教師應(yīng)該有目的地根據(jù)實際情況確定教學(xué)目標(biāo)，控制題目數(shù)量，精心設(shè)計例、習(xí)題，激活課堂，教會學(xué)生思考. 以圖梳理、以圖論法、以題變式， 即通過思維導(dǎo)圖進行知識重構(gòu)，提供給學(xué)生研究問題的思路;通過基本圖形進行穿針引線，引導(dǎo)學(xué)生尋找解決問題的突破口;通過經(jīng)典習(xí)題進行融會貫通，幫助學(xué)生追尋解決問題的方法，但同時要注意對數(shù)學(xué)思想方法的滲透，總結(jié)規(guī)律、形成模型. 這樣，可以使學(xué)生從題海中解脫出來，學(xué)得靈活、學(xué)得扎實，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果，從而提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，真正達(dá)到輕負(fù)高效的教學(xué)目標(biāo).

參考文獻：

[1]王萬豐. 談實現(xiàn)高效章節(jié)復(fù)習(xí)課的3點策略[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2011（7 / 8）：21-22.

[2]韓龍淑，郝曉鑫. 一道數(shù)學(xué)問題解法的自然生成及其教學(xué)啟示[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2017（9）：49-52.

[3]王春梅. 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課——知識生長的搖籃[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2017（10）：40-41，44.

[4]沈岳夫. 洞察試題結(jié)構(gòu)? 構(gòu)造基本圖形[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2017（11）：47-50.

[5]李發(fā)勇. 對一道幾何問題的研究與拓展[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2017（12）： 49-53.

收稿日期：2020-08-19

作者簡介：何斌（1978— ），男，中學(xué)高級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)及命題等研究.