陶友根 段小龍 胡健

[摘? 要] “一題一課”能通過(guò)一個(gè)題目的深入研究，完成一節(jié)課的教學(xué)任務(wù)，達(dá)成多維教學(xué)目標(biāo)，讓解題教學(xué)事半功倍. 針對(duì)解析幾何的特點(diǎn)，在關(guān)注課堂生成的前提下，可采取相應(yīng)的“一題一課”教學(xué)設(shè)計(jì)策略，促進(jìn)學(xué)生形成題后反思活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)：尋“一題多解”，形成數(shù)學(xué)語(yǔ)言翻譯經(jīng)驗(yàn);找表層規(guī)律，形成題目元素推廣經(jīng)驗(yàn);查前人成果，形成題目背景探源經(jīng)驗(yàn);探拓展應(yīng)用，形成知識(shí)載體推廣經(jīng)驗(yàn);究“多題一解”，形成問(wèn)題模型梳理經(jīng)驗(yàn).

[關(guān)鍵詞] 一題一課;反思經(jīng)驗(yàn);教學(xué)設(shè)計(jì)

“一題一課”，就是教師通過(guò)對(duì)一道題或一個(gè)材料的深入研究，挖掘其中的學(xué)習(xí)線索與數(shù)學(xué)本質(zhì)，基于學(xué)情，科學(xué)、合理、有序地組織學(xué)生進(jìn)行相關(guān)的數(shù)學(xué)探索活動(dòng)，從而完成一節(jié)課的教學(xué)任務(wù)，以此達(dá)成多維目標(biāo)的過(guò)程. “一題一課”的問(wèn)題應(yīng)由淺入深，有層次性、開(kāi)放性、廣延性，讓學(xué)生在開(kāi)放的探究過(guò)程和結(jié)果中思維得到不同的發(fā)展[1].

隨著課改的推進(jìn)，高考命題已經(jīng)由能力立意向核心素養(yǎng)導(dǎo)向轉(zhuǎn)變，怎樣提升解題教學(xué)的效率，促進(jìn)學(xué)生形成解題后的反思活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)呢？“一題一課”的教學(xué)設(shè)計(jì)以一個(gè)題目為出發(fā)點(diǎn)，讓學(xué)生變中求進(jìn)、舉一反三，定能事半功倍. 本文以2019年成都市高三二診理科數(shù)學(xué)第16題為例，基于幫助學(xué)生形成反思活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，探索解析幾何的“一題一課”教學(xué)設(shè)計(jì)策略.

原題呈現(xiàn)：已知F為拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，拋物線C在A，B兩點(diǎn)處的切線分別是l1，l2，且l1，l2相交于點(diǎn)P，則PF+■的最小值為_(kāi)___________. （以下簡(jiǎn)稱“本題”）

尋“一題多解”，形成數(shù)學(xué)語(yǔ)言翻譯經(jīng)驗(yàn)

破題的前提是理解題目，波利亞認(rèn)為理解題目分為“熟悉題目”和“深入理解題目”，就是將試題的表述符號(hào)化，即翻譯題目，直譯或意譯. 直譯就是直接將文字語(yǔ)言翻譯為符號(hào)語(yǔ)言，意譯是深度翻譯，可能需要從多角度、多形式去翻譯，比如數(shù)的方面和形的方面，數(shù)或形內(nèi)部不同切入點(diǎn)等. 通過(guò)探尋“一題多解”，并比較其優(yōu)劣，進(jìn)而總結(jié)如何優(yōu)化數(shù)學(xué)語(yǔ)言翻譯方式，以便得到更理想的解法. 在這個(gè)過(guò)程中，通過(guò)多角度的翻譯切入，提升學(xué)生解題活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，尤其是數(shù)學(xué)語(yǔ)言翻譯經(jīng)驗(yàn).

本題分析1：直線l過(guò)點(diǎn)F可設(shè)為y=kx+1;直線l與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，可用直線l與拋物線方程聯(lián)立，A，B點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不求;在A，B點(diǎn)處的切線斜率可用求導(dǎo)獲得，從而寫出切線方程，求出切線交點(diǎn)P的坐標(biāo);得到PF，AB的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題處理.具體解析如下：

由題可設(shè)l：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線l與拋物線的方程x2=4y，y=kx+1，可得x2-4kx-4=0.

由韋達(dá)定理有x1+x2=4k，x1x2=-4，所以AB=■x1-x2=■·■=4（k2+1）.

拋物線C：x2=4y，即y=■x2，所以y′=■x，所以切線l1，l2的方程分別為y=■x-■，y=■x-■.

聯(lián)立以上兩個(gè)方程，解得點(diǎn)P■，■，即P（2k，-1）.

所以PF=■=2■=■，PF+■=PF+■.

設(shè)f（x）=x+■，f ′（x）=1-■，當(dāng)x=4時(shí)， f（x）有最小值6.

所以當(dāng)PF=4時(shí)，PF+■的最小值為6.

本題分析2：直線l過(guò)點(diǎn)F，還可用直線的參數(shù)方程，設(shè)為x=tcosα，y=1+tsinα（α為傾斜角，t為參數(shù)），用參數(shù)的幾何意義求AB.（解析過(guò)程略）

本題分析3：切線方程，也可以假設(shè)切線，與拋物線方程聯(lián)立消去y，用Δ=0解出斜率，從而求解. （解析過(guò)程略）

本題分析4：得到PF+■=PF+■以后，也可以配湊為■+■+■≥3■=6. （PF=4時(shí)等號(hào)成立）（解析過(guò)程略）

通過(guò)對(duì)試題表述的多向翻譯，使學(xué)生獲得了同一問(wèn)題的多個(gè)切入點(diǎn)，也能比較不同處理方式在計(jì)算繁雜程度的區(qū)別，優(yōu)劣緣由的探索之間感受選擇的依據(jù)，為后續(xù)優(yōu)化算法積累經(jīng)驗(yàn).

覓表層規(guī)律，形成題目元素推廣經(jīng)驗(yàn)

試題總是由多種元素構(gòu)成的，解析幾何中主要有點(diǎn)、線、曲線等，將特殊元素改為另外的特殊元素，或?qū)⒃匾话慊?，是常?jiàn)的題目變式方式，這有利于尋找相同載體下的淺層規(guī)律，同時(shí)因?yàn)檫@種變式通常對(duì)解法的影響較小，也能進(jìn)一步強(qiáng)化通性通法的鞏固. 通過(guò)元素推廣研究，先猜后證，或成功或失敗，讓學(xué)生感受推廣的一般方法，形成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

本題中，如果將定點(diǎn)F（0，1）一般化，變?yōu)镸（0，m）（m>0），則直線l與拋物線的方程聯(lián)立x2=4y，y=kx+m，可得x2-4kx-4m=0，所以切線的交點(diǎn)P■，■，即P（2k，-m）. 我們發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與點(diǎn)M的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，同時(shí)也說(shuō)明不管k如何變化，點(diǎn)P的軌跡是直線y=-m.

如果將定點(diǎn)M（0，m）再一般化，變?yōu)閽佄锞€內(nèi)的一點(diǎn)S（s，m），則直線l與拋物線的方程聯(lián)立x2=4y，y=k（x-s）+m，可得x2-4kx+4ks-4m=0，所以切線的交點(diǎn)P■，■，即P（2k，ks-m）. 消去參數(shù)k，得點(diǎn)P的軌跡方程為y=■x-m.

如果我們把拋物線一般化為x2=2py（p>0），拋物線內(nèi)的一定點(diǎn)S（s，m），則直線l與拋物線的方程聯(lián)立x2=2py，y=k（x-s）+m，可得x2-2pkx+2p（ks-m）=0，所以切線的交點(diǎn)P■，■，即Ppk，■.消去參數(shù)k，得點(diǎn)P的軌跡方程為y=■x-■m.

由此，我們得到一個(gè)一般規(guī)律：過(guò)拋物線x2=2py（p>0）內(nèi)的定點(diǎn)S（s，m）的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線在該兩點(diǎn)處的切線相交，且交點(diǎn)在定直線y=■x-■m上.

本題的元素一般化還可以繼續(xù)，在此不贅述. 這個(gè)將點(diǎn)和拋物線一般化的研究過(guò)程. 研究方法基本沒(méi)有改變，卻為學(xué)生自主學(xué)習(xí)和探索提供了很好的模板，也讓學(xué)生看到規(guī)律的探尋并非遙不可及，而規(guī)律指引下的后續(xù)解題將更加輕松.

查前人成果，形成題目背景探源經(jīng)驗(yàn)

解析幾何作為數(shù)學(xué)重要的分支，自創(chuàng)立起就吸引了大量?jī)?yōu)秀的人前仆后繼地參與研究，早已碩果累累. 在“課標(biāo)”把“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”列入基本理念后，命題者更是經(jīng)常依托數(shù)學(xué)史料，以著名問(wèn)題、著名定理、著名公式或著名圖形等為切入點(diǎn)，融知識(shí)、方法、思想、素養(yǎng)于一體，命制出一些富有人文色彩的試題.

欣賞試題，廣泛挖掘試題的深厚背景，一方面可以學(xué)習(xí)和借鑒前人的研究成果，重走研究之路可以讓學(xué)生收獲研究的經(jīng)驗(yàn)，直接吸收成果可以讓學(xué)生解小題的速度更快，解大題的方向更明確;另一方面，學(xué)生能真實(shí)感受到前人研究的豐碩成果，有利于滲透數(shù)學(xué)文化，播撒數(shù)學(xué)研究的種子.

本題的背景是阿基米德三角形，阿基米德三角形的性質(zhì)列舉（性質(zhì)眾多，只摘錄一二）：拋物線x2=2py（p>0）上不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），以A，B兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線PA，PB相交于點(diǎn)P，稱弦AB為阿基米德△PAB的底邊[2].

定理：若直線AB過(guò)拋物線內(nèi)一定點(diǎn)C（xC，yC），則另一頂點(diǎn)P的軌跡為一條直線，方程為xCx-p（y+yC）=0. 特別地，當(dāng)C在y軸上時(shí)，即直線AB過(guò)拋物線內(nèi)一定點(diǎn)C（0，m）（m>0），那么：（1）另一頂點(diǎn)P的軌跡方程為y=-m;（2）kAP·kBP=-■（定值）.

再特殊化，直線AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F0，■，那么：（1）另一頂點(diǎn)P的軌跡方程為y=-■，即準(zhǔn)線;（2）kAP·kBP=-1，即PA⊥PB;（3）PF⊥AB;（4）△PAB的面積的最小值為p2;（5）AP與x軸交于點(diǎn)C，BP與x軸交于點(diǎn)D，xC=■，xD=■.

基于阿基米德三角形的性質(zhì)PF⊥AB，于是本題可以有以下解法：

由阿基米德三角形的性質(zhì)可得PA⊥PB，PF⊥AB.

設(shè)AF=m，BF=n，則AB=m+n，由射影定理得PF2=mn.

由結(jié)論■+■=■，即■+■=■=1，所以m+n=mn，所以PF+■=■+■≥3■=6.

追溯題目背景，挖掘背景的豐富內(nèi)涵，讓學(xué)生更好地回答問(wèn)題“你知道一道與它有關(guān)的題目嗎？你知道一條可能有用的定理嗎？”[3]從而迅速地找到解題方案. 通過(guò)背景的研究，解決以此為背景的多個(gè)關(guān)聯(lián)題目，從而實(shí)現(xiàn)以點(diǎn)帶面解決“問(wèn)題串”;通過(guò)共同參與的探源活動(dòng)，為學(xué)生自主活動(dòng)示范，促進(jìn)學(xué)生形成探源活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

探拓展應(yīng)用，形成知識(shí)載體推廣經(jīng)驗(yàn)

橢圓、雙曲線、拋物線被稱為圓錐曲線，它們與圓有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，更高層面它們同屬于二次曲線，因此在一種曲線中承載的知識(shí)和方法，很可能在另外的曲線中也會(huì)有. 將題目載體（主要曲線）平行遷移，如拋物線變?yōu)闄E圓、圓變?yōu)闄E圓等，讓知識(shí)和方法得到拓展應(yīng)用，利于學(xué)生知識(shí)和方法的體系化、深度化，同時(shí)在這一過(guò)程中，形成知識(shí)載體的推廣經(jīng)驗(yàn).

本題可將載體拋物線換為橢圓，變式為：已知F為橢圓C：■+y2=1的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，橢圓C在A，B兩點(diǎn)處的切線分別是l1，l2，且l1，l2相交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程.

略解如下：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則橢圓C在A，B處的切線方程為l1：■+yy1=1，l2：■+yy2=1，兩式聯(lián)立，得x=■，即xP=■.

當(dāng)直線l與y軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為x=ty+1，則x1=ty1+1，x2=ty2+1，所以x2y1-x1y2=（ty2+1）y1-（ty1+1）y2=y1-y2，故xP=2，yP=■1-■xP=-t，所以點(diǎn)P的軌跡方程為x=2.

當(dāng)直線l⊥y軸時(shí)，橢圓C在A，B兩點(diǎn)處的切線平行，不符合題意.

綜上，點(diǎn)P的軌跡方程為x=2.

載體由拋物線換成橢圓，P的軌跡仍然為直線，學(xué)生自然產(chǎn)生了疑問(wèn)，是不是圓錐曲線（甚至二次曲線）都有這樣的特點(diǎn)？于是引發(fā)進(jìn)一步探究.

究“多題一解”，形成問(wèn)題模型梳理經(jīng)驗(yàn)

問(wèn)題千變?nèi)f化，但萬(wàn)變不離其宗，將問(wèn)題提煉出模型，解法固定化（相對(duì)），有利于學(xué)生充分利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，將多種載體、多種表述去偽存真，九九歸一實(shí)現(xiàn)“多題一解”，提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，感受反思提煉帶來(lái)的巨大收獲.

本題可提煉出“雙切線切點(diǎn)弦”模型，從點(diǎn)P0（x0，y0）引二次曲線Γ：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的兩條切線，所得切點(diǎn)弦（過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)的直線）有如下結(jié)論：

（1）直線方程為：Axx0+B■+Cy0y+D■+E■+F=0. 以橢圓為例，已知橢圓C：■+■=1（a>b>0），經(jīng)過(guò)橢圓C內(nèi)定點(diǎn)M（m，n）的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且橢圓C在A，B兩點(diǎn)處的切線分別為l1，l2，若l1與l2交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為■+■=1. 證明略. 應(yīng)用于本題中，A=1，B=C=D=F=0，E=-4，設(shè)P0（x0，y0），得切點(diǎn)弦方程為x0x-2y-2y0=0，因切點(diǎn)弦過(guò)F（0，1），所以y0=-1.

（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn);當(dāng)切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是一條直線（或一部分）. 此內(nèi)容深入探究，便是射影幾何中圓錐曲線的極點(diǎn)極線，本文不做研究.

問(wèn)題模型的建立，讓學(xué)生最終擺脫了元素、載體的束縛，得到了問(wèn)題的一般解決辦法，雖說(shuō)探究過(guò)程中產(chǎn)生的結(jié)論不見(jiàn)得能直接使用，但這種開(kāi)放性探究的經(jīng)驗(yàn)收獲是滿滿的，后續(xù)的解題活動(dòng)必能舉一反三.

綜上所述，為了幫助學(xué)生形成題后反思活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，我們應(yīng)多開(kāi)展“一題一課”教學(xué)活動(dòng)，對(duì)于解析幾何的“一題一課”教學(xué)設(shè)計(jì)，可以采用以下基本模式：尋“一題多解”——找表層規(guī)律——查前人成果——探拓展應(yīng)用——究“多題一解”. 但要注意的是，不是每個(gè)題目都有這些步驟，實(shí)際操作中要關(guān)注課堂生成，不可生搬硬套. 本文著力闡述“一題一課”的設(shè)計(jì)策略，借鑒了一些網(wǎng)絡(luò)資料，對(duì)于知識(shí)本身的介紹不夠細(xì)致和深入.

變更題目是波利亞《怎樣解題》的主旋律，“解題表”的許多問(wèn)句都是直接以題目變更為目的，擬訂方案中的“你能否想到一道更普遍化的題目？一道更特殊化的題目？”解題回顧中的“你能在別的什么題目中利用這個(gè)結(jié)果或這種方法嗎？”[3]等等. 由此可見(jiàn)，解題教學(xué)中應(yīng)用好“題目變更”，用好經(jīng)典題目，通過(guò)“一題一課”的教學(xué)模式，對(duì)試題進(jìn)行“源”與“流”的研究，進(jìn)行變式拓展，最關(guān)鍵是抽象出一般模型，讓模型為以后的研究服務(wù)，實(shí)現(xiàn)“多題一解”，讓試題的價(jià)值最大化，定能事半功倍. 同時(shí)，精雕細(xì)琢教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在反思活動(dòng)中充分經(jīng)歷過(guò)程，形成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]? 吳立建. “一題一課”理念下的教學(xué)實(shí)施[J]. 江蘇教育，2018（02）.

[2]? 方亞斌. 一題一課：源于世界數(shù)學(xué)名題的高考題賞析[M]. 杭州：浙江大學(xué)出版社，2017.

[3]? G·波利亞. 怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法[M]. 徐泓，馮承天譯. 上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2011.