陳春濤

摘? ? 要：在日常教學(xué)中，課堂上經(jīng)常會(huì)生成不在教師預(yù)設(shè)范圍內(nèi)的被動(dòng)型資源.教師應(yīng)該在HPM視角下，審視每一種被動(dòng)型資源生成的根源，既對(duì)課堂上隨機(jī)產(chǎn)生的被動(dòng)型生成資源從更高的角度解讀，又可有針對(duì)性地開展教學(xué)預(yù)設(shè)，從知識(shí)技能與情感態(tài)度等方面促進(jìn)主動(dòng)型資源的生成.

關(guān)鍵詞：HPM;分式方程;數(shù)學(xué)運(yùn)算;生成性資源

在課堂教學(xué)中，常常出現(xiàn)一些不在教師預(yù)設(shè)范圍內(nèi)的被動(dòng)型資源.例如，分式方程（人教版八年級(jí)下冊(cè)）第一課時(shí)教學(xué)的課堂中，出現(xiàn)了一些不同于“去分母”的解法.面對(duì)這些生成性資源，教師需要思考：“學(xué)生為何這樣做？”“應(yīng)當(dāng)怎樣應(yīng)用這些資源？”“學(xué)生的這些解答給教師的教學(xué)帶來(lái)怎樣的啟示？”即在HPM（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育）的視角下，審視每一種被動(dòng)型資源產(chǎn)生的根源，既對(duì)課堂上隨機(jī)產(chǎn)生的被動(dòng)型生成資源從更高的角度解讀，又可針對(duì)性地開展教學(xué)預(yù)設(shè)，從知識(shí)技能與情感態(tài)度等方面促進(jìn)主動(dòng)性資源的生成.

一、生成性資源的產(chǎn)生與呈現(xiàn)

本課解方程的例題為[9030+v=6030-v].教學(xué)中，學(xué)生有以下5種不同于課本“去分母”的解法.

解法1：交叉相乘，原方程轉(zhuǎn)化為90（30- v）=60（30+ v）.

解法2：移項(xiàng)，進(jìn)行減法運(yùn)算，得[900-150 v（30+v）（30-v）=0].由分式的值為零的條件，得900-150v=0且（30+v）（30-v）≠0.

解法3：利用分式的基本性質(zhì)，將原方程化為[18060+2v=18090-3v].由分子相同，得分母相同，即60+2v=90-3v.

解法4：分式兩邊通分，得[90（30-v）（30+v）（30-v）]

[=60（30+v）（30+v）（30-v）]，由分母相同，得分子相同，即90（30- v）=60（30+ v） [1].

解法5：[75+1530+v=75-1530-v]，觀察分子與分母的結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)[7530=15v]，得v=6.

以上5種解法都能得到正確的結(jié)果，這些解法對(duì)學(xué)生此前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)有很好展示，但都不是課本要求的“去分母”解法.

二、生成性資源的成因與分析

（一）比例性質(zhì)的干擾（解法1）

比例式實(shí)質(zhì)上是一種特殊的等式，變形依據(jù)也是等式性質(zhì).但應(yīng)用比例基本性質(zhì)（即“交叉相乘”）解分式方程時(shí)，兩邊同乘的是兩分母之積，并不一定是最簡(jiǎn)公分母.例如，分式方程[1x-5=10x2-25]，運(yùn)用“交叉相乘”，將會(huì)得到一元二次方程.而運(yùn)用“去分母”，則得到的是一元一次方程，即“去分母”的步驟中包含著“判斷最簡(jiǎn)公分母”的環(huán)節(jié)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)“最優(yōu)化”的思想.

（二）完美解法的重現(xiàn)（解法2）

解法2曾被譽(yù)為分式方程的完美解法，最早是由賓夕法尼亞大學(xué)的數(shù)學(xué)家費(fèi)舍和施瓦特提出來(lái)的.他們?cè)?898年《代數(shù)課本》中給出分式方程的通用解法：“移項(xiàng)將分式方程一邊化為零，另一邊通分后化為最簡(jiǎn)分式，得到原方程的同解方程[P（x）Q（x）=0].此時(shí)，分式方程同解于多項(xiàng)式方程[P（x）=0]，此方法不需要對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).”[2]所以，解法2是歷史重現(xiàn).

（三）先驅(qū)之誤[3]45的警示（解法3）

解法3、4都是在保留分式結(jié)構(gòu)的層面上解決問(wèn)題，并未將其轉(zhuǎn)化為整式方程來(lái)解決，所以運(yùn)算比去分母復(fù)雜，這是二者共性的缺點(diǎn).解法4與“去分母”一樣可能產(chǎn)生增根，解法3則容易失根.

例如以下變形： [2x-14（x-5）（x-9）][ =]

[2x-14（x-8）（x-6）][?]（x-5）（x-9）=（x-8）（x-6）[?][x2-14x+45][=x2-14x+48] .這一變形實(shí)際包含著將方程左右兩邊同時(shí)除以（2x-14）的步驟，而2x-14=0時(shí)方程恰好成立，違背等式性質(zhì)中“同乘除的數(shù)不能為零”的要求，從而漏掉x = 7這個(gè)解.

英國(guó)盲人數(shù)學(xué)家桑德森也犯過(guò)類似的錯(cuò)誤，他在《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》一書中，給出一個(gè)分式方程的解法：[42xx-2=35xx-3][?][42x-2][=][35x-3?]

[42（x-3）=35（x-2）?x=8]，這一解法明顯漏了x = 0這個(gè)根[3]46.

（四）幾何代數(shù)的融合（解法5）

如果把解法5用圖形的方式表示出來(lái)，就可以用圖1來(lái)解釋.

如圖1，S矩ABCD=90，S矩AGHD=60，邊GE=EB=v，AE=DF=30，AB=30+v，AG=30-v，[9030+v=6030-v]表示矩形的面積與邊長(zhǎng)的比值A(chǔ)D=BC，由S矩AEFD=75，AE=30，得到AD=[52]，從而求得v = 6.

這種解分式方程的方法叫作幾何代數(shù)法.在《幾何原本》第2卷中有著豐富的幾何代數(shù)內(nèi)容，斐波那契在《計(jì)算之書》中曾頻繁使用這種方法[3]292.解法5就是斐波那契在這本書中介紹的方法.

三、生成性資源的利用與改進(jìn)

從前文的分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的幾種不同解法很有代表性，有3種解法都與數(shù)學(xué)史有關(guān)，為保證學(xué)生能在課堂上呈現(xiàn)這些解法，或暴露更多的典型問(wèn)題，可以設(shè)置以下變式練習(xí).

變式1? ?[90030+x=60030-x].

【設(shè)計(jì)意圖】目的是希望學(xué)生直接去分母解方程.因數(shù)據(jù)比較大，計(jì)算會(huì)比較麻煩，甚至?xí)?jì)算錯(cuò)誤，進(jìn)而反思得到“先將原式兩邊同時(shí)除以300”的簡(jiǎn)便算法.例題也應(yīng)兩邊先同除以30后再計(jì)算，這體現(xiàn)數(shù)學(xué)“最優(yōu)化”原則.

變式2? ?[x-1x=x-1x+1].

【設(shè)計(jì)意圖】變式2是針對(duì)解法3而設(shè)計(jì)的，若學(xué)生根據(jù)“分式值相等且分子相等則分母相等”，將得到x=x+1，從而得出方程無(wú)解的錯(cuò)誤結(jié)論.

變式3? ?[3x+1=6x2-1].

【設(shè)計(jì)意圖】目的是希望學(xué)生錯(cuò)誤地將兩邊同乘以（x+1）（x2-1），從而出現(xiàn)一元二次方程，再反思得到“去分母需要方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母”.同時(shí)，變式3對(duì)于熱衷于“交叉相乘”的學(xué)生也是極好的反例素材.

變式4? ?[20x-24x+1=0].

【設(shè)計(jì)意圖】變式4是將比例式移項(xiàng)的結(jié)果，意圖通過(guò)學(xué)生的對(duì)比計(jì)算，體會(huì)到解法2的復(fù)雜運(yùn)算和“去分母”的便捷.

變式5? ?[x2x-5+55-2x=1].

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)變式5的目的是希望學(xué)生錯(cuò)誤地將兩邊同乘以（2[x]-5）（5-2[x]），進(jìn)而更好地理解找最簡(jiǎn)公分母的方法，同時(shí)也為解形如[AB+CD]=E的方程做前期鋪墊.

變式6? ?如圖2，已知點(diǎn)G，E，H，F(xiàn)分別是矩形ABCD邊AB，CD上的點(diǎn)，且GE=BE=CF=HF，已知S矩ABCD=90cm2，S矩AGHD=60cm2，AE=DF=30cm，求BE長(zhǎng).

【設(shè)計(jì)意圖】幾何代數(shù)法（即解法5）比較少見，課堂上不一定有學(xué)生呈現(xiàn)，故改為練習(xí)題.既可用之體現(xiàn)同一方程的不同實(shí)際背景，又可滲透對(duì)幾何代數(shù)法解分式方程歷史的介紹.

四、生成性資源的處理與思考

課堂上的生成性資源可分為被動(dòng)型資源和主動(dòng)型資源.被動(dòng)型資源是課堂上由學(xué)生自主生成的、不在教師預(yù)設(shè)范圍內(nèi)的資源.對(duì)這種突發(fā)型生成性資源的應(yīng)用極大地考驗(yàn)著教師的知識(shí)積累和教學(xué)智慧.主動(dòng)型資源是教師根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在備課過(guò)程中精心預(yù)設(shè)教學(xué)活動(dòng)，學(xué)生在參與活動(dòng)的過(guò)程中對(duì)應(yīng)呈現(xiàn)的教學(xué)資源.HPM視角可以從更高的角度審視被動(dòng)型資源，更合理地預(yù)設(shè)主動(dòng)型資源.

（一）被動(dòng)型資源的降維處理

1.面對(duì)問(wèn)題應(yīng)追根溯源

汪曉勤教授常說(shuō)：“太陽(yáng)底下沒(méi)有新鮮事.”學(xué)生的許多錯(cuò)誤都是歷史上大數(shù)學(xué)家也犯過(guò)的錯(cuò)誤，因此，對(duì)學(xué)生異乎尋常的解答，教師應(yīng)首先追根溯源，既要了解這一知識(shí)是如何發(fā)展而來(lái)的，又要想清楚學(xué)生為何這樣思考，從本源上找到原因，再相機(jī)引導(dǎo)，而不是單純糾正學(xué)生的錯(cuò)誤表象.

以解法5為例，若教師不明白用幾何代數(shù)法解分式方程的歷史，就會(huì)將其視為錯(cuò)誤變形，反之，若能畫出圖1來(lái)解釋，學(xué)生對(duì)“數(shù)形結(jié)合”思想的理解就會(huì)深刻很多.

2.面對(duì)錯(cuò)誤可將錯(cuò)就錯(cuò)

這就是蘇格拉底的“產(chǎn)婆術(shù)”.當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，不直接糾錯(cuò)，而是引導(dǎo)學(xué)生用同樣的方法解決其他問(wèn)題，形成認(rèn)知沖突，從而主動(dòng)糾正錯(cuò)誤.例如，對(duì)于應(yīng)用解法3的學(xué)生，可以展示“桑德森之誤”的解答過(guò)程，詢問(wèn)學(xué)生是否有誤.此時(shí)學(xué)生自然會(huì)深入思考其中的原因，對(duì)應(yīng)用等式性質(zhì)、分式方程驗(yàn)根就會(huì)加深認(rèn)識(shí).

3.正確解答也借題發(fā)揮

對(duì)于一些并無(wú)錯(cuò)誤的解答，教師也可強(qiáng)調(diào)注意事項(xiàng)，糾正書寫規(guī)范，開展變式訓(xùn)練等.例如當(dāng)學(xué)生用“交叉相乘”解方程時(shí)，教師可引導(dǎo)回顧比例的基本性質(zhì)，再將比例的基本性質(zhì)與等式的基本性質(zhì)統(tǒng)一起來(lái).學(xué)生用解法2解方程時(shí)，則可介紹費(fèi)舍和施瓦特的“完美解法”.

4.問(wèn)題較多當(dāng)舍末逐本

課堂上學(xué)生可能呈現(xiàn)許多問(wèn)題，此時(shí)教師應(yīng)抓住當(dāng)堂課的主體問(wèn)題，淡化或后置其他問(wèn)題.例如，分式方程的解法分為兩個(gè)課時(shí)，第一課時(shí)主要體會(huì)“去分母”的優(yōu)越性，第二課時(shí)才考慮增根的問(wèn)題.所以在第一課時(shí)中，可不必出現(xiàn)會(huì)產(chǎn)生增根的分式方程.

（二）主動(dòng)型資源的積極預(yù)設(shè)

在HPM視角下，學(xué)生的很多錯(cuò)誤都是歷史上數(shù)學(xué)家曾經(jīng)走過(guò)的彎路.與本課有關(guān)的數(shù)學(xué)史主要包含三個(gè)方面.（1）費(fèi)舍和施瓦特的完美解法（解法2）.（2）桑德森之誤.桑德森是第一位將分式方程寫入教材的數(shù)學(xué)家，他自幼失明卻成為劍橋大學(xué)第四任盧卡斯教授，每天堅(jiān)持上8小時(shí)的課，被譽(yù)為“不用自己的雙眼卻教會(huì)他人如何使用雙眼的人”.但就是這樣一位偉大的數(shù)學(xué)家，也在分式方程求解的問(wèn)題上犯了失根的錯(cuò)誤，且沒(méi)有意識(shí)到增根的問(wèn)題[3]46.（3）用幾何代數(shù)法解分式方程.歷史上符號(hào)代數(shù)出現(xiàn)的時(shí)間非常晚，直到16世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)才實(shí)現(xiàn)歷史的突破，他在《分析引論》（1591）中使用字母表示未知數(shù)以及已知數(shù)[3]140，很多我們熟悉的代數(shù)公式當(dāng)時(shí)都是用幾何模型來(lái)解釋的.

HPM在課堂中可體現(xiàn)以下價(jià)值：揭示知識(shí)之諧、營(yíng)造探究之樂(lè)、實(shí)現(xiàn)能力之助、彰顯文化之魅、達(dá)成德育之效[4].以上涉及的歷史有數(shù)學(xué)家的正確解法，學(xué)生從中可獲得強(qiáng)烈的自信心;又有數(shù)學(xué)家的典型錯(cuò)誤，可以緩解學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的畏難情緒;還有用圖形的方法解釋解方程的過(guò)程，可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)思想的魅力.知識(shí)之諧、文化之魅、德育之效的價(jià)值都能實(shí)現(xiàn)，而這些正是數(shù)學(xué)情感態(tài)度目標(biāo)的重要組成部分.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)課程總目標(biāo)從四個(gè)方面闡述：知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決、情感態(tài)度[5]，情感態(tài)度目標(biāo)常被一線教師虛化，HPM提供的豐富素材能讓這一目標(biāo)“實(shí)”起來(lái).

所以，課堂預(yù)設(shè)除了知識(shí)技能層面的考慮外，還應(yīng)從數(shù)學(xué)情感的層面去考慮.前面的變式練習(xí)中，變式1、3、5更多的是知識(shí)技能的層面預(yù)設(shè)，希望讓學(xué)生體會(huì)到“去分母”的優(yōu)越性;變式2、4、6的設(shè)置則是為了讓學(xué)生能呈現(xiàn)出解法2、3、5，以便于滲透數(shù)學(xué)史，落實(shí)情感態(tài)度目標(biāo).

教學(xué)效果的達(dá)成有賴于教師的教學(xué)預(yù)設(shè)，但更依賴于學(xué)生的課堂生成.教學(xué)預(yù)設(shè)是教師給學(xué)生的考卷，HPM視角下的這份考卷更成熟、嚴(yán)謹(jǐn)、充滿智慧，學(xué)生需要認(rèn)真分析、仔細(xì)解答、反思領(lǐng)悟;課堂上的生成性資源則是學(xué)生給教師準(zhǔn)備的考卷，幼稚、雜亂、富含信息，教師卻只能即興發(fā)揮、順勢(shì)而為、概括提煉，這就是教給學(xué)生一碗水，教師需要準(zhǔn)備一桶水的原因所在.HPM是值得我們?nèi)パ芯?、汲取的資源.

參考文獻(xiàn)：

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[2]栗曉妮，賈彬.HPM視角下“可視化為一元一次方程的分式方程”的教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2019（3）：14-15.

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[5]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：5-6.