曾榮 渠東劍

摘要：“八省聯(lián)考”數(shù)學(xué)卷較好地落實了高考評價體系和數(shù)學(xué)命題標(biāo)準(zhǔn)的理念，“以新高考Ⅰ卷（山東卷）為基礎(chǔ)”，既有所傳承，又適度創(chuàng)新，釋放出大量信息，值得反復(fù)品味。重點(diǎn)比較這兩份試卷（適當(dāng)兼顧這兩份試卷與以往江蘇卷等的比較），可以發(fā)現(xiàn)，試卷結(jié)構(gòu)一致，主體知識板塊的考查基本一致，“熱點(diǎn)”考查部分一致;情境化（數(shù)學(xué)文化）試題數(shù)量不一致，新題型呈現(xiàn)不完全一致，“冷點(diǎn)”考查不太一致。由此提出的教學(xué)建議有：回歸數(shù)學(xué)本真，重視數(shù)學(xué)閱讀，重視開放探究。

關(guān)鍵詞：八省聯(lián)考;新高考Ⅰ卷;數(shù)學(xué)卷;數(shù)學(xué)本真

2019年，教育部考試中心研制了《中國高考評價體系》，確立了“一核四層四翼”的整體框架。“一核”是高考的核心功能，即“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”，回答“為什么考”的問題;“四層”為考查內(nèi)容，即“核心價值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識”，回答“考什么”的問題;“四翼”為考查要求，即“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”，回答“怎么考”的問題。以此為指南，教育部考試中心結(jié)合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》制訂了“高考數(shù)學(xué)命題標(biāo)準(zhǔn)”，提出了數(shù)學(xué)學(xué)科的“四層”考查內(nèi)容和具有數(shù)學(xué)科特點(diǎn)的“四翼”考查要求，來指導(dǎo)新高考全國卷數(shù)學(xué)學(xué)科的命題。

2020年，山東、海南兩省率先使用新高考全國卷。2021年，江蘇、廣東、福建等八省市也將使用新高考全國卷。2021年1月，教育部考試中心組織這八省市的考生進(jìn)行了一次模擬演練（簡稱“八省聯(lián)考”）。本次考試的數(shù)學(xué)卷較好地落實了高考評價體系和數(shù)學(xué)命題標(biāo)準(zhǔn)的理念，“以新高考Ⅰ卷（山東卷）為基礎(chǔ)”，既有所傳承，又適度創(chuàng)新，釋放出大量信息，值得反復(fù)品味。

一、比較視角下的“八省聯(lián)考”數(shù)學(xué)卷特點(diǎn)

雖然本次考試的數(shù)學(xué)卷與以往的江蘇卷等自主命題卷、全國卷以及去年的新高考Ⅰ卷（山東卷）、新高考Ⅱ卷（海南卷）相比，有不少新意，但是考慮到八省市師生未經(jīng)歷過新高考，已然關(guān)注兩份新高考卷，以及本次考試“以新高考Ⅰ卷（山東卷）為基礎(chǔ)”，我們重點(diǎn)比較這兩份試卷（適當(dāng)兼顧這兩份試卷與以往江蘇卷等的比較），深挖一致性，找出差異性。一致性即蘊(yùn)含的規(guī)律性，有可能是未來高考的趨勢，也是我們教學(xué)必須明確的方向;差異性有可能是有意釋放的信息，部分在以后的高考中實施，提醒我們在教學(xué)中注意更新觀念，查漏補(bǔ)缺。

（一）一致性

1.試卷結(jié)構(gòu)一致。

試卷沿用了新高考Ⅰ卷的結(jié)構(gòu)（與江蘇卷“14填空+6解答”的結(jié)構(gòu)等有較大的差異），各類題型的題量和分值分配如表1所示。經(jīng)過了2020年新高考和2021年模擬演練的實踐，相信這種已被師生認(rèn)可的試卷結(jié)構(gòu)將會成為2021年新高考數(shù)學(xué)卷的最終形式。穩(wěn)定的試卷結(jié)構(gòu)既為教師有效組織復(fù)習(xí)明確了方向，也為學(xué)生合理分配考試時間、科學(xué)訓(xùn)練答題技巧提供了依據(jù)。

2.主體知識板塊的考查基本一致。

試卷和新高考Ⅰ卷在主體知識板塊的考查上基本一致（與江蘇卷“8個C級考點(diǎn)是重中之重”的傳統(tǒng)等有一定的差異），具體如表2所示。需要說明的是，我們統(tǒng)計時，是根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對知識主題及單元進(jìn)行劃分的。試題既兼顧知識覆蓋面，又權(quán)衡知識板塊的學(xué)科地位。命題保持這樣的一致性，有利于師生整體把握復(fù)習(xí)方向，讓復(fù)習(xí)有章可循。

特別值得一提的是，試卷和新高考Ⅰ卷的解答題在知識板塊分布和難度上基本一致[與江蘇卷“解三角形（三角函數(shù)）、立體幾何，實際應(yīng)用、解析幾何，數(shù)列（不等式）、函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）”的傳統(tǒng)等有一定的差異]，遵循了全國卷的命題傳統(tǒng)，具體如表3所示。

3.“熱點(diǎn)”考查部分一致。

例如，第8題讓學(xué)生借助“同構(gòu)函數(shù)模型”來比較未知量的大小。這是全國卷近幾年的熱點(diǎn)題型，雖然其解法具有一定的規(guī)律，但是只有深刻理解函數(shù)的本質(zhì)，方能順利作答。

再如，第22題將指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)相融合，讓學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)解決含參數(shù)的不等式問題。這是全國卷一貫采用的命題方式，清新自然，不生僻、不做作，但對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了很高的要求。

（二）差異性

1.情境化（數(shù)學(xué)文化）試題數(shù)量不一致。

設(shè)置真實情境，提出真實問題，可以實現(xiàn)“五育”（德智體美勞）并舉、價值引領(lǐng)的目的。本次考試中有這方面的試題，如第16題（物理實驗誤差控制）、第20題（曲率計算），但與新高考Ⅰ卷相比，占比明顯減少。產(chǎn)生的影響是，試卷相比于新高考Ⅰ卷，閱讀量明顯偏小。由于本次考試帶有適應(yīng)的目的，所以，試卷中融入了很多創(chuàng)新的成分。創(chuàng)新的成分多了，原有的已成熟的、被認(rèn)可的成分相對就少了。相信，高考卷的情境化試題數(shù)量和閱讀量最終會找到一個更合適的平衡點(diǎn)。

2.新題型呈現(xiàn)不完全一致。

為落實“四翼”考查要求，高考數(shù)學(xué)命題有意研發(fā)導(dǎo)向積極、靈活新穎、答題方式多樣的題型。這有利于考查考生的創(chuàng)新能力，有助于引導(dǎo)師生遵循教學(xué)規(guī)律，擺脫題海戰(zhàn)術(shù)。在本次考試和新高考Ⅰ卷中，新高考要求的幾類新題型都曾亮相，但各自呈現(xiàn)的類型不完全一致，具體如表4所示。由于本次考試帶有適應(yīng)的目的，所以在最終的高考卷中，命題者有了更多的選擇空間。

3.“冷點(diǎn)”考查不太一致。

創(chuàng)新知識載體，強(qiáng)調(diào)通性通法，可以引領(lǐng)師生回歸數(shù)學(xué)本真，關(guān)注數(shù)學(xué)思維。相比于新高考Ⅰ卷（乃至其他全國卷），本次考試在知識載體的選擇上做了不少創(chuàng)新，以不常見的方式考查了一些相對生僻的知識點(diǎn)。比如，第1題考查集合知識、第10題考查復(fù)數(shù)知識時，綜合性比以往強(qiáng)，難度比以往大;立體幾何的小題（第13題）不考查空間向量知識，而考查圓臺知識;解析幾何的大題（第21題）不考查橢圓知識，而考查雙曲線知識;填空題壓軸題（第16題）首次考查正態(tài)分布知識;概率與統(tǒng)計解答題沒考查線性回歸方程和獨(dú)立性檢驗，而考查獨(dú)立重復(fù)試驗的概率與分布列、期望。

此外，個別題目有多種解法，但是，運(yùn)用核心知識的解法明顯比較煩瑣，運(yùn)用非核心知識（甚至補(bǔ)充知識）的解法明顯比較簡潔。這在某種程度上也可以說是對一些相對生僻知識點(diǎn)的考查。比如，第14題采取聯(lián)立對角線與圓的方程，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再確定邊的斜率的思路比較煩瑣，而利用直線的方向向量或直線的夾角公式則比較簡捷，但后者并非核心知識，甚至超出課標(biāo)要求。再如，第7題由AB、BC的傾斜角互補(bǔ)，直接利用BC的斜率是定值的課外探究結(jié)論解答會很方便。

綜上可見，本次考試有點(diǎn)“不按套路出牌”的意思，與“先行一步”的新高考Ⅰ卷相比，又有不少變化。

二、教學(xué)建議

新高考命題有規(guī)則但無套路，既善于繼承，又適度創(chuàng)新。通過考查非“熱點(diǎn)”、引入新題型，甚至改變試題排列順序，打破固有模式，努力破除備考中題海戰(zhàn)術(shù)的影響?；谶@樣的命題方式，教師教學(xué)要及時改變觀念，更新策略。

有必要注意知識點(diǎn)的查漏補(bǔ)缺和補(bǔ)充拓展，但不可加重學(xué)生負(fù)擔(dān);也需要適度的題型訓(xùn)練，但不可套路化。尤其要做好以下幾點(diǎn)：

（一）回歸數(shù)學(xué)本真

我們認(rèn)為，本次考試中的一些“冷點(diǎn)”問題關(guān)鍵不是考知識，而是考思維。因此，要遵循課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，回歸數(shù)學(xué)本真，突出核心知識與思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)理解與數(shù)學(xué)思維，從而以不變應(yīng)萬變。

首先，要幫助學(xué)生充分認(rèn)識知識的來龍去脈（形成過程），建立知識的縱橫聯(lián)系（結(jié)構(gòu)體系）。例如，復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)概念時，不能只是再現(xiàn)定義，而要再次經(jīng)歷形成過程：定義（過程）—平均變化率—瞬時變化率—函數(shù)圖像在一點(diǎn)處的切線—函數(shù)變化趨勢的線性刻畫—局部以直代曲……而且，學(xué)生通常在宏觀層面，對導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系、程式化的利用導(dǎo)數(shù)求極（最）值掌握得比較好，而在微觀層面，對利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在一個點(diǎn)附近的變化趨勢掌握不到位。因此，教師要幫助學(xué)生進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)概念。

高考中，有一類題目?？汲Ｐ?，其一般化描述如下：設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）（一般含有參數(shù)）可導(dǎo)，且f（0）=0，若在x=0附近f（x）≥0恒成立，求f（x）表達(dá)式中參數(shù)的取值范圍。兩個函數(shù)的大小比較、在更大范圍內(nèi)恒成立等問題都可能轉(zhuǎn)化為這一類問題。比如：

其次，要幫助學(xué)生充分感悟知識形成以及問題解決過程中的數(shù)學(xué)思想方法。以解析幾何為例。解析幾何研究的是幾何對象，利用的是代數(shù)方法，就是將幾何對象轉(zhuǎn)化為代數(shù)對象，利用代數(shù)方法研究代數(shù)對象，回答所要解決的幾何問題。因此，千方百計化歸坐標(biāo)就是解析幾何的核心思想方法。在解析幾何課程學(xué)習(xí)中，直線、圓、橢圓、雙曲線與拋物線的研究可以說是一個又一個的案例。其中變化的是研究對象，不變的是研究方法。對此，教師要讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷、充分感悟。例如：

此題有五種常見的解法：（1）證明這兩個角的正切值相等，需要用斜率公式將兩個角的正切轉(zhuǎn)化為坐標(biāo);（2）證明原點(diǎn)O在∠AMB的平分線上，需要用O到角兩邊的距離相等轉(zhuǎn)化為坐標(biāo);（3）證明這兩個角的余弦值相等，需要用余弦定理、兩點(diǎn)間的距離公式轉(zhuǎn)化為坐標(biāo);（4）與平面幾何結(jié)合，用內(nèi)角平分線定理的逆定理;（5）與平面幾何結(jié)合，構(gòu)造三角形并利用橢圓的第二定義。

顯然，方法1是通性通法，其建立的目標(biāo)函數(shù)距離坐標(biāo)最近，也最簡單，理應(yīng)是教學(xué)中首選的重點(diǎn)方法。方法4、方法5雖然較為簡捷，但不是通性通法，一是學(xué)生不易想到，二是應(yīng)用不夠廣泛。比如，當(dāng)點(diǎn)M不在該橢圓的右準(zhǔn)線上時，方法4、方法5就不能使用，而方法1卻可以使用。對這道題的變式探究，可以充分顯示通性通法的重要性。

此外，利用這一通性通法也很容易解決如下問題：

（二）重視數(shù)學(xué)閱讀

新高考對學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力提出了極高的要求（比如本次考試的第20題）。數(shù)學(xué)閱讀能力在一定程度上可以理解為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種綜合體現(xiàn)（“三會”）。只有具有一定的數(shù)學(xué)閱讀理解能力，才能真正感受到數(shù)學(xué)在實際生活中的重要作用。能否讀懂題目、理解題意是解決問題的關(guān)鍵。因此，教學(xué)中要特別重視數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)。

對數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)不能簡單地表現(xiàn)在增加情境題上，關(guān)鍵要落實到日常教學(xué)中;也不可能一蹴而就，需要長期的積累。教學(xué)中，教師要根據(jù)高考的需要、教材的特點(diǎn)、學(xué)生的實際整合一些學(xué)科性、科學(xué)性、生成性資源，編寫集知識性、方法性、趣味性于一體的“閱讀材料”供學(xué)生閱讀，并以此創(chuàng)設(shè)閱讀情境，提煉數(shù)學(xué)問題，引領(lǐng)本質(zhì)的揭示、方法的遷移、細(xì)節(jié)的剖析。

（三）重視開放探究

結(jié)論開放題是新高考呈現(xiàn)的重要新題型之一。此類問題有助于加深學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和探究能力。本次考試的第15題就是一道結(jié)論開放題：寫出一個最小正周期為2的奇函數(shù)f（x）=。本題主要考查學(xué)生對函數(shù)周期性和奇偶性的理解，能否從學(xué)過的函數(shù)中找到同時滿足f（x+2）=f（x）和f（-x）=-f（x）的函數(shù)f（x）是關(guān)鍵。其實，各版本高中數(shù)學(xué)教材中都有此類問題，如人教A版第一冊第74頁第17題、蘇教版第一冊第109頁第10題等。

*本文系2020年度江蘇省社科基金項目“江蘇新高考背景下數(shù)學(xué)學(xué)科育人實現(xiàn)機(jī)制研究”（編號：20JYB007）的階段性研究成果。

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