錢(qián)紅娟
摘? 要:數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的重要思想和解題方式,同時(shí)也是轉(zhuǎn)換思維的主要手段,能有效提升學(xué)生的解題能力。但是,當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)多強(qiáng)調(diào)成績(jī),而忽視了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。教師要轉(zhuǎn)變教學(xué)思想,以提高教學(xué)效率。
關(guān)鍵詞:初中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;一次函數(shù)
一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是滲透數(shù)形結(jié)合思想的生動(dòng)范例。教師可以從兩個(gè)方面來(lái)組織教學(xué),一方面,以數(shù)解形,將“形”的本質(zhì)展露出來(lái);另一方面,以形助數(shù),把抽象的“數(shù)”變成可以親近的“形”。在教學(xué)過(guò)程中,教師要做到授人以漁,即讓學(xué)生感知數(shù)形結(jié)合思想,并巧妙地利用其解決問(wèn)題。
一、以數(shù)解形,撥動(dòng)學(xué)生的創(chuàng)新思維
創(chuàng)新思維是學(xué)生重要的思維能力,數(shù)形結(jié)合能為創(chuàng)新提供媒介,敦促其生成。
題目1? 如圖1,x軸上有五個(gè)點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)依次為1,2,3,4,5,分別過(guò)這些點(diǎn)作x軸的垂線與三條直線[y=ax,y=a+1x,y=a+2x]相交,其中[a>0]。則圖1中陰影部分的面積是多少?
大部分學(xué)生看到題目后會(huì)知道這是一道函數(shù)題,于是從已知的橫坐標(biāo)入手進(jìn)行解題,分別將x = 1,2,3,4,5帶入三個(gè)直線解析式,并求出相應(yīng)的縱坐標(biāo),進(jìn)而利用相關(guān)數(shù)據(jù)求得結(jié)論。雖然這種做法可以得到正確答案,但是卻非常煩瑣。為此,教師可以在前面的教學(xué)基礎(chǔ)上建議學(xué)生從幾何圖形的角度去思考這個(gè)問(wèn)題,將零散的圖形通過(guò)之前學(xué)過(guò)的平移聚集在一起。圖1中的陰影面積與相對(duì)應(yīng)的空白面積并不能直觀看出同樣大,要想平移,需要先證明兩者面積一樣大。通過(guò)計(jì)算,可以發(fā)現(xiàn)相鄰兩條平行于y軸的直線內(nèi)的陰影與空白圖形的對(duì)應(yīng)邊(三角形底邊,梯形的上底和下底)相等,且高都為1,根據(jù)對(duì)應(yīng)的面積公式,可求得對(duì)應(yīng)圖形的面積相等,進(jìn)而確定平移后的陰影面積就是直線[y=ax,y=a+1x]與直線[x=5]所圍成的三角形的面積,由此可以快速計(jì)算出圖中陰影部分的面積。函數(shù)是代數(shù)中比較復(fù)雜的問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合解決相關(guān)問(wèn)題,不僅可以簡(jiǎn)便計(jì)算、提高解題的正確率,而且還可以拓寬學(xué)生的解題思維,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)??梢?jiàn),解題的關(guān)鍵在于創(chuàng)新思維,而數(shù)形結(jié)合為創(chuàng)新思維提供了土壤。
二、以形助數(shù),激勵(lì)學(xué)生的擴(kuò)散思維
數(shù)形結(jié)合能成為學(xué)生思考的一個(gè)聚點(diǎn),學(xué)生能由數(shù)想到形,也可以由形想到數(shù),這就是擴(kuò)散思維的形成過(guò)程。
題目2? 如圖2,已知一次函數(shù)[y=kx+b]的圖象經(jīng)過(guò)[A-2,-1,][B1,3]兩點(diǎn),并且交x軸于點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)D。
(1)求一次函數(shù)解析式;
(2)求線段CD的長(zhǎng);
(3)求∠AOB的度數(shù)。
第(1)小題根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線,用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題,考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)的識(shí)記能力。第(2)小題要求線段CD的長(zhǎng),可以根據(jù)點(diǎn)C,D的坐標(biāo)所表示的幾何意義得到線段OC,OD的長(zhǎng)度,再由勾股定理求CD的長(zhǎng)度,考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。第(3)小題,由于△AOB是鈍角三角形,直接求∠AOB的度數(shù)比較復(fù)雜,怎樣分散難點(diǎn)呢?我們可以先求出∠AOB補(bǔ)角的大小,因?yàn)轭}中各點(diǎn)的坐標(biāo)已知,故可以根據(jù)坐標(biāo)的幾何意義求線段的長(zhǎng)度,再將思維進(jìn)一步擴(kuò)散,即利用勾股定理的逆定理將邊的條件轉(zhuǎn)化為角的條件。通過(guò)解題的過(guò)程不難發(fā)現(xiàn),將問(wèn)題情境擴(kuò)散到平面直角坐標(biāo)系這個(gè)大環(huán)境中后,可以由數(shù)的途徑求得邊長(zhǎng),再利用勾股定理這座橋梁,便可以簡(jiǎn)單地求出角的度數(shù)。
在一次函數(shù)中,對(duì)數(shù)與形進(jìn)行思維擴(kuò)散的終點(diǎn)就是圖象,即看到數(shù)要聯(lián)想與之相關(guān)的形,看到形則要嘗試將其轉(zhuǎn)變?yōu)楹?jiǎn)單的數(shù)。擴(kuò)散思維就是要將數(shù)與形作為思考問(wèn)題的左右手,缺一不可。
三、數(shù)形結(jié)合,培養(yǎng)學(xué)生的分析思維
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程是學(xué)生分析能力發(fā)展的過(guò)程,也是學(xué)生由淺入深的學(xué)習(xí)過(guò)程,是學(xué)生不斷借助外物思考的過(guò)程。
題目3? 如圖3,直線[l1:y=x+1]與直線[l2:y=mx+n]相交于點(diǎn)[Pa,2,] 則關(guān)于x的不等式[x+1≥mx+n]的解集為? ? ? ? 。
解題時(shí),學(xué)生先會(huì)根據(jù)兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)求出[a=1,] 但是接下來(lái)只能根據(jù)已知坐標(biāo)知道[m,n]之間的關(guān)系,并不能確定具體的解析式,代數(shù)的解題方法無(wú)法繼續(xù)解法這道題目。這時(shí)教師需要啟發(fā)學(xué)生將目光轉(zhuǎn)向函數(shù)圖象,讓他們將[l1]的縱坐標(biāo)大于等于[l2]的縱坐標(biāo)的部分標(biāo)出來(lái),這樣可以直觀地看到包括點(diǎn)P在內(nèi)的右邊部分都是符合要求的。又因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)[a=1,] 所以這個(gè)不等式相對(duì)應(yīng)的解集[x≥1]??梢?jiàn),此題運(yùn)用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)把數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來(lái)。借圖分析,又由圖轉(zhuǎn)數(shù),不僅減少了計(jì)算量,而且提高了解題的效率。
四、結(jié)束語(yǔ)
數(shù)形結(jié)合就是讓學(xué)生進(jìn)行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化,這就需要教師賜予學(xué)生一雙“慧眼”,引導(dǎo)學(xué)生做到“眼中有形,心中有數(shù)”,從而以數(shù)解形、以形助數(shù)。
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