廖怡寧 韋宏 鄧清

【摘 要】符號意識是《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中的核心概念之一，培養(yǎng)符號意識有助于學生抽象概括能力和邏輯思維的發(fā)展。七年級非負數(shù)的學習中，部分學生對符號本質(zhì)的理解不透徹，存在用字母表示正數(shù)的思維慣性，對復雜問題情境的表征能力較弱，在非負數(shù)的解題中容易出錯。本文分析學生的易錯點，從“引入符號史”“關(guān)注概念形成”“提高表征能力”三個維度給出對策，以期更好地利用數(shù)學符號演變發(fā)展深化學生對非負數(shù)的理解，提高學生的解題能力。

【關(guān)鍵詞】符號意識;七年級;非負數(shù)

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻標識碼】A ?【文章編號】1671-8437（2021）10-0250-02

“符號意識”是一個核心概念，《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，培養(yǎng)學生的符號意識，有助于學生對符號的意義、算法進行理解，并能用較為簡潔、清晰、準確的數(shù)學符號來對其數(shù)學思想進行表達[1]。符號意識是指學習者在思維的引導下，積極主動地對數(shù)學知識與數(shù)學符號之間的抽象關(guān)系進行認知的心理活動。張奠宙教授認為“symbol sense”的實質(zhì)是數(shù)量意識和符號意識，即學生在學習中運用數(shù)量的意識，進一步對事物發(fā)展的數(shù)量規(guī)律進行觀察，且善于用符號來表示和運

算[2]。朱立明教授指出，學生不僅要經(jīng)歷用數(shù)學符號進行運算和推理的過程，還需明白運算和推理背后所蘊含的道理，這就要求在數(shù)學課程中形成學生的數(shù)學符號意

識[3]。根據(jù)奧蘇泊爾有意義學習理論，學生對符號所代表的新知進行同化需要從已有的認知出發(fā)，構(gòu)建新舊知之間的聯(lián)系。符號意識的發(fā)展，是學生長期的學習經(jīng)驗積累的結(jié)果，與學生的認知發(fā)展和學習情境有著密不可分的聯(lián)系。因此，培養(yǎng)學生的符號意識，有助于提高學生的數(shù)學理解力。

1 ? 滲透符號思想，培養(yǎng)符號意識

非負數(shù)是指在實數(shù)范圍內(nèi)，包含著所有的正數(shù)和零。七年級學生學習的非負數(shù)有絕對值、算術(shù)平方根、平方數(shù)等表現(xiàn)形式。絕對值是指若 a 為任意實數(shù)，其中正數(shù)的絕對值是其本身，零的絕對值是零，負數(shù)的絕對值是其相反數(shù)。在解決絕對值問題時，易錯點集中在去絕對值符號時，學生未全面考慮字母的取值，究其原因，是學生對絕對值符號表示的意義存在理解偏差，從而影響學生系統(tǒng)有序地解決問題。算術(shù)平方根指在實數(shù)范圍內(nèi)，若a是一個非負數(shù) x 的平方，即 x2=a ，那么 x 是 a 的算術(shù)平方根。根號中被開方數(shù) a 是非負的，其算術(shù)平方根也是非負的，可表示為a ≥ 0。而在求解時，由于對根號所表示的深層意義理解不透徹，即算術(shù)平方根的雙重非負性（a ≥ 0），學生僅理解算術(shù)平方根的表層意義，在千變?nèi)f化的應用情境中易出現(xiàn)解題錯誤。平方數(shù)是指可以寫成某個整數(shù)的平方的數(shù)。在平方數(shù)的學習過程中，學生易注重它的運算操作，忽視它的表征意義。相對于小學的學習，初中學段的內(nèi)容逐漸由算術(shù)向代數(shù)過渡，對數(shù)的學習逐漸提升到一般化水平，用符號表示數(shù)也是數(shù)學學習一般化、形式化階段的開始。對于七年級學生，由于數(shù)學符號的增加，他們常常會對抽象符號的本質(zhì)理解不透徹。因此，培養(yǎng)學生符號意識，需在非負數(shù)的教學中揭示數(shù)學符號表示的過程，幫助學生明確各個符號的內(nèi)涵。下文將基于符號意識觀點分析七年級學生對非負數(shù)的易錯認知，并給出相應對策。

2 ? 符號意識下非負數(shù)的易錯分析

2.1 ?對抽象符號本質(zhì)理解不徹底

在七年級非負數(shù)的學習中，難點在于透過符號理解其所表示的相關(guān)概念與性質(zhì)。在數(shù)學符號的理解上，大部分學生僅理解符號所表示的形式意義，未能理解數(shù)學符號的本質(zhì)意義。如在求解“|?5|”“|2a|”這樣直觀的數(shù)時，學生解題思路較為清醒，但碰到如“|a?b|”、求“|2a+5|+|2a?5|”的最小值這樣含有多項的題時，學生無法直觀地判斷絕對值的確切值，便難以得到運算結(jié)果。因此，當絕對值里面是單項式或是多項式時，學生無法確定絕對值符號里復雜的數(shù)或式子仍然是表示非負的。絕對值的學習是一個從特殊到一般、由簡單情境到復雜情境的過程，學生由于未能透徹理解絕對值符號的非負性本質(zhì)，在復雜情境中去絕對值符號時易出現(xiàn)錯誤。

2.2 ?對數(shù)的具體化產(chǎn)生思維慣性

七年級學生思維正處于由小學學段的算術(shù)思維向初中學段的代數(shù)思維的過渡階段。如“?”在小學是一種運算符號，在減法運算中會用到。進入七年級，有理數(shù)學習中，“?”既是運算符號又是性質(zhì)符號。在小學學習用字母表示正數(shù)，在初中非負數(shù)學習中，則用“+”“?”進行正負數(shù)的表示。而一些學生在頭腦中形成了用字母表示正數(shù)的思維慣性，如a是正數(shù)，?a是負數(shù)。這種思維慣性會影響學生對算術(shù)平方根的應用，導致他們解題時易出錯。

2.3 ?對復雜問題情境表征能力較弱

數(shù)學符號的學習其實是學生對數(shù)學問題情境予以表征而進行邏輯推理，并通過運算將符號代數(shù)式化為確定的最簡結(jié)果的過程。無論是符號的推理或是符號的運算，都是建立在數(shù)學符號意識的基礎(chǔ)上。解決實際問題通常需同時使用數(shù)學推理和運算。如在給定的情境中理解數(shù)學符號與指代事物的對應性，建立對單個數(shù)學符號的清晰認知，進而得到數(shù)量關(guān)系，但一些學生遇到多個數(shù)學符號時容易產(chǎn)生認知模糊。如對“|?5|”，學生都知道如何進行運算，但在對“|2a?b|”的值進行計算時或者在多個數(shù)學符號的復雜情境中，一些學生由于問題表征能力較弱容易出錯。

3 ? 符號意識下非負數(shù)的教學對策

3.1 ?引入符號史，加強概念理解

對七年級學生來說，所學的數(shù)學符號較為抽象，但是每一個數(shù)學符號都有著悠久的演變發(fā)展史，都代表著數(shù)學符號的意義和發(fā)展過程。因此，教師可在教學中引入數(shù)學符號的歷史，賦予枯燥的符號鮮活的人文歷史氣息，調(diào)動學生學習的熱情。如在課堂中引入有關(guān)符號發(fā)展演變史來介紹絕對值概念：1841年，有一位德國數(shù)學家，名為外爾斯特拉斯，用“| |”來表示“絕對值”，他是歷史上最早使用“| |”絕對值符號的人。1905年，數(shù)學家甘斯用符號“| |”表示向量的長度。通過對數(shù)學概念的歷史介紹，學生能了解數(shù)學符號的發(fā)展不是一蹴而就的，而是數(shù)學家不斷分析、探索逐漸演變而來的。在此基礎(chǔ)上，教師還可引入絕對值的定義，并做出解釋，指導學生結(jié)合絕對值定義進行解題。如對于“|a?b|”，先根據(jù)a、b的取值來判斷“a?b”的大小，再按照定義去絕對值符號。通過引入數(shù)學史和對概念的具體解釋，有助于深化學生對概念的理解。除此之外，符號史的引入還可通過引導學生利用App觀看有關(guān)專題的數(shù)學史知識、利用網(wǎng)絡(luò)搜集閱讀相關(guān)資料的形式完成，強化學生對數(shù)學符號的認知，使學生從本質(zhì)上理解看似抽象實則簡易的數(shù)學符號。

3.2 ?突破思維慣性，關(guān)注形成過程

符號意識的培養(yǎng)形式在小學與初中兩個階段是不同的。課程標準具有分段性，但在學生符號意識的培養(yǎng)上是連貫的。初中生的思維正處于從算術(shù)層面向代數(shù)層面轉(zhuǎn)化的過程中，而符號是區(qū)分代數(shù)與算術(shù)的主要特征。教學中，首先，要通過讓學生更充分地認識到字母不僅可以表示0、正數(shù)、負數(shù)，還可表示含有字母的式子，打破學生頭腦中字母只代表正數(shù)的思維慣性，避免學生出現(xiàn)計算錯誤。其次，要著眼于未來，符號是不斷演變的，要使學生感受到用字母a表示數(shù)的變化過程，經(jīng)歷用字母a代表正數(shù)到初中代表有理數(shù)、實數(shù)再到單項式、多項式的過程。在小學學段，不僅要加強學生對數(shù)學符號的理解，還需為學生創(chuàng)建符號情境，讓其在情境中感受符號、獲得符號學習體驗。在中學階段，則需開展循序漸進的教學，突破學生的思維慣性。

3.3 ?提高表征能力，培養(yǎng)符號意識

一些學生學習非負數(shù)時，對自己做過、教師講解過的習題能夠快速做出反應，并有解題思路，正確解題，而對于情境陌生的習題，則難以下手。對此，教師需要引導學生自主探究解題思路，使學生在梳理解題思路的過程中學會運用符號在具體情境中建立數(shù)量關(guān)系，解決問題。如在“絕對值”教學中，除要求學生絕對值求值之外，教師還可以適當提出變式練習，讓學生思考，通過由淺及深的練習加深學生對概念的理解，培養(yǎng)學生對復雜問題進行表征的能力，進而使學生有效解決問題，培養(yǎng)學生的符號意識。

新課標提出培養(yǎng)學生符號意識，有助于提高學生對符號意義的理解，使其理清算法、算理。在非負數(shù)的學習中，部分學生對符號的本質(zhì)理解不透徹，一些學生有用字母表示正數(shù)的思維慣性且對復雜問題情境進行表征的能力較弱，他們在非負數(shù)的解題中容易出錯。本文分析七年級學生非負數(shù)學習的易錯點，從引入符號史、關(guān)注概念形成、提高表征能力三個維度給出對策，以期利用數(shù)學符號幫助學生對非負數(shù)形成正確理解，使其更好地把握數(shù)學問題，以數(shù)學符號構(gòu)建數(shù)學模型，增強符號意識。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]張奠宙，宋乃慶.數(shù)學教育概論（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]朱立明.義務(wù)教育階段學生數(shù)學符號意識分析層次的構(gòu)建[J].數(shù)學教育學報，2019（2）.

【作者簡介】

廖怡寧（1998～），女，漢族，湖南邵陽人，南寧師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院2020級碩士研究生。研究方向：學科教學（數(shù)學）。

韋宏（1968～），男，漢族，廣西上林人，理學碩士，南寧師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院副教授，碩士生導師。研究方向：學科教學（數(shù)學）。

鄧清（1998～），女，漢族，廣西玉林人，南寧師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院2020級碩士研究生。研究方向：學科教學（數(shù)學）。