彭國慶

[摘 要]運算能力是數(shù)學核心素養(yǎng)之一，在小學數(shù)學教學中可以運用“多元表征以明運算之理、多類型練習以熟運算之術(shù)、融入問題解決以善運算之用、多內(nèi)容關(guān)聯(lián)以通運算之道”四個策略培養(yǎng)學生的運算能力。

[關(guān)鍵詞]運算能力;培養(yǎng)策略;核心素養(yǎng)

運算是小學數(shù)學教學中最傳統(tǒng)的內(nèi)容之一，運算能力自然也備受重視，成為大家關(guān)注的基礎(chǔ)學習能力之一?！读x務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》將運算能力確定為十大數(shù)學核心概念之一，關(guān)于運算能力的描述是“運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力” 。下面筆者就結(jié)合自己的教學實踐從“明理、熟術(shù)、善用、通道”這四個方面談小學生運算能力的培養(yǎng)策略。

一、多元表征以明運算之理

數(shù)學學習不僅要關(guān)注學習的結(jié)果，更要關(guān)注學習的過程。教師在教學中經(jīng)常遇到這樣的情況：學生在家長或非專業(yè)人員的提前教學下已經(jīng)學習了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法，但他們對算理卻理解甚少，如學生在計算36×12時，能夠記住36×12的豎式書寫程序，但是對于2乘36、1乘36的結(jié)果分別表示什么，乘積又表示什么，卻說不出來。對算法理解的多少不僅會對后續(xù)的運算學習有影響，還影響著問題解決的能力，所以計算教學不僅要教學生知道怎么算，還要結(jié)合具體內(nèi)容采用多元表征方式幫助學生理解算理。

1.創(chuàng)設(shè)情境，理解算理

數(shù)學運算本身是抽象的，因此學生會感覺計算是枯燥的，理解算理更是猶如在枯燥的程序中尋找枯燥的理由。然而，合適的情境可以破除“枯燥”并幫助學生在有意義的、有趣的情境中理解算理。如計算36×12，教材呈現(xiàn)了這樣的數(shù)學情境圖（如圖1）：

要計算12箱南瓜有多少個，可以分兩步：先算2箱有多少個南瓜，算式是2×24=48（個）;再算10箱有多少個，算式是10×24=240（個）;然后把兩次計算的總數(shù)相加，得到48+240=288（個）。這樣就是把12箱南瓜的個數(shù)進行分拆計算，而這樣的分拆計算，正好可以幫助學生理解24×12的豎式計算過程（如圖2）。

至此，教師再針對豎式中的每一步進行提問，幫助學生理解每一步運算的含義以及最后結(jié)果的含義，進而達到知其然知其所以然的學習目的。

再如，教學混合運算時，創(chuàng)設(shè)問題情境可以有效幫助學生理解混合運算的順序。如1副羽毛球拍是70元，1個羽毛球是4元，買2個羽毛球和1副羽毛球拍一共要多少元？要解決這個問題就要先算出2個羽毛球一共要多少元，算式是2×4，然后再加上1副羽毛球拍的錢數(shù)，寫成綜合算式是70+2×4。把分步計算的過程對應(yīng)到遞等式過程中來，學生就能夠理解乘法和加法的混合運算中為什么要先算乘法了。

2.動手操作，理解算理

動手操作是學生學習數(shù)學的有效學習方式。在計算教學過程中，動手操作可以幫助學生把抽象的數(shù)理應(yīng)用過程變?yōu)榫呦蠡目梢暬僮骰顒?，使學生在可視化的操作活動中充分理解算理，掌握算法。如教學用湊十法計算9加幾的加法計算時，教師先出示一個和例題同樣的情境圖，即“一個盒子里裝有9個蘋果，盒子外面有4個梨”（有經(jīng)驗的教師都是用可移動的板貼圖來表示），然后提出問題“一共有多少個水果？”。學生可以將1個梨“放”進裝有蘋果的盒子里，湊滿10個，然后再加上盒子外面的3個梨，這樣得出一共有13個水果。最后讓學生完成“試一試”（如圖3）。

學生在移一移、圈一圈的操作活動中，理解了用湊十法計算9加幾的方法的分解過程，體會到湊十法計算的快捷性，還為后面繼續(xù)學習8、7、6等加幾做好了鋪墊。

3.幾何直觀，理解算理

數(shù)是抽象的，形是具象的，在運算的過程中可以通過幾何直觀幫助學生理解算理。如對于同分數(shù)加減法，教材呈現(xiàn)了這樣的幾何直觀圖（如圖4）：

又如，在計算分數(shù)乘分數(shù)的時候，教材呈現(xiàn)了將長方形面積等分和再等分圖（如圖5）幫助學生理解分數(shù)乘分數(shù)的算理。

兩次等分圖既展現(xiàn)了計算的過程，同時又包含計算的結(jié)果，可以說是幾何直觀中的經(jīng)典之作。通過這樣的直觀圖就能幫助學生理解分數(shù)乘分數(shù)就是分了再分、取了再取的道理。

二、多類型練習以熟運算之術(shù)

對學生運算能力的培養(yǎng)還需使學生能夠熟練應(yīng)用運算方法進行快速、正確的運算，具體體現(xiàn)在加強對學生口算、估算、筆算（豎式計算、遞等式計算）能力的培養(yǎng)。

1.加強口算練習

口算是所有運算的基礎(chǔ)，加強口算練習，就相當于做好運算學習的塔基工程。口算練習要從一年級抓起，從10以內(nèi)的加減法開始逐步拓展到多位數(shù)的口算，逐步加深口算的難度;從整數(shù)的口算到小數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)的口算，從數(shù)的口算到式的口算，逐步拓展數(shù)與代數(shù)的運算領(lǐng)域，從而拓展口算練習的寬度和高度。 要加強口算練習就要天天練，練習的內(nèi)容主要以與即將學習的新知有關(guān)的舊知（運算）以及學生易錯的口算題為主，每天練習的量為10題左右，保證學生能在加強基礎(chǔ)口算的同時，糾正一些常見的口算錯誤?？谒愕男问娇梢灶}組對比的方式，例如在兩位數(shù)乘兩位數(shù)的口算中設(shè)置對比題25×4和24×5，可幫助學生區(qū)分算式不同的同時培養(yǎng)學生認真審題的習慣。

2.加強估算練習

估算是學生進行運算以及檢驗運算結(jié)果的方式之一，但學生的估算正確率遠遠低于口算和筆算的正確率，一方面是估算的應(yīng)用頻率較低，另一方面是學生的估算意識沒有初步形成。這樣就造成了學生在解決實際問題時估算能力不足，教師亟須把現(xiàn)實生活中應(yīng)用廣泛的估算與數(shù)學中的估算學習對應(yīng)起來。加強估算，首先要掌握估算的方法。在學生剛認數(shù)時，經(jīng)常給出“17和12這兩個數(shù)，哪個數(shù)最接近20？哪個數(shù)最接近10？”這樣的練習，就是在為后面學生學習估算做好準備，而后讓學生在具體的問題情境中認識到估算的必要性，理解估算的方法。如創(chuàng)設(shè)問題情境：張大叔把收獲的生姜裝在同樣大的袋子里， 一共裝了 40袋， 他稱了其中的 4 袋， 結(jié)果分別是 18 千克、 21 千克、19 千克、 23 千克。 他一共收獲生姜大約多少千克？學生體會到這些數(shù)都是接近20的，雖然有的數(shù)是超過20的，有的數(shù)是不足20 的，但是只要接近20都可以將其看成20后進行估算。通過解決問題，學生就能掌握估算的方法，體會估算的實際應(yīng)用價值。

3.加強筆算練習

小學的筆算主要有兩種形式，一是四則運算，主要是列豎式進行運算，二是四則混合運算，主要是采用遞等式的方式進行運算，前者是后者的基礎(chǔ)，后者是前者的延續(xù)和再使用。筆算練習應(yīng)該從低年級的加、減法和乘、除法開始，首先夯實進位加法和退位減法的基礎(chǔ);其次夯實連續(xù)進位和連續(xù)退位的減法的基礎(chǔ)，這些都是學生的易錯點;再次夯實兩位數(shù)乘一位數(shù)的乘法和除法運算的基礎(chǔ)，在夯實運算的過程中加強算法的指導(dǎo)，如在乘法中重點指導(dǎo)學生掌握進位書寫以及乘積加進位數(shù)的方法，除此之外，還要幫助學生區(qū)分兩位數(shù)乘兩位數(shù)的兩次乘積的乘法運算和最后的加法運算，減少學生混淆這兩種運算的問題。四則混合運算是學生進行數(shù)運算的終極目標，學生在計算時不僅要熟練解決運算順序的問題，同時還要保證每一步計算結(jié)果的正確性，因此，混合運算的練習要本著由易到難的原則，在激發(fā)學生獲得成功感的同時提高學生的運算能力。在筆算練習中還要加強簡算練習，因為除了按照一定的規(guī)則、順序進行運算，簡算能運用運算規(guī)律或性質(zhì)使得原本復(fù)雜的運算變得簡單和快捷。因而，加強簡算練習，除了能提高學生的運算能力，還可以培養(yǎng)學生的觀察能力、辨析能力和靈活應(yīng)用知識的能力，培養(yǎng)學生思維的靈活性和深刻性。

三、融入問題解決以善運算之用

當下的運算學習多是融合在問題解決中，通過運算解決一些實際問題，增強學生的運算能力，因此在解決問題中還要強化學生善于運用合理簡潔的運算途徑去解決實際問題的能力。

1.善于運用估算解決實際問題

學生在日常生活中常常要解決一些關(guān)于預(yù)算的問題，如購買高鐵票：商務(wù)座2114元/張，一等座1095元/張，二等座689元/張，只買一種票，買3張要準備多少元？這個問題可以用筆算解決，也可以用估算解決，但是把每種票價都多看一點，看成整千整百數(shù)后進行估算，就很容易得出預(yù)算結(jié)果，如商務(wù)座看成2200元/張，3張大約需要2200×3=6600（元）;一等座看成1100元/張，3張大約需要1100×3=3300（元）;二等座看成700元/張，3張大約需要700×3=2100（元）。這就體現(xiàn)了課程標準中指出的“用合理簡潔的運算途徑去解決實際問題”。除了數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，估算在統(tǒng)計與概率領(lǐng)域中的應(yīng)用也是比較頻繁的，如根據(jù)折線統(tǒng)計圖中給出的數(shù)據(jù)預(yù)測即將出現(xiàn)的數(shù)據(jù);圖形與幾何領(lǐng)域中結(jié)合方格圖估計一個不規(guī)則圖形的面積;根據(jù)一個圓柱形玻璃瓶中水的體積，估測和它同樣的2個瓶子中的水的體積;等等。在諸多的問題解決中體會估算在問題解決中的便捷性，能增強學生估算的應(yīng)用意識和使用頻率。

2.善于運用簡便運算解決實際問題

數(shù)學本身就是追求簡潔的，教師在教學問題解決策略時要善于選擇并運用簡便運算體現(xiàn)數(shù)學的簡潔性，以增強學生的運算能力。如計算長方形的周長時選用“周長=（長+寬）×2”進行計算，計算長方體的表面積時選用“S=2（ab+ac+bc）”進行計算，就比較簡便。一個問題可以用加法或者乘法計算解決時優(yōu)選乘法計算，同理，一個問題可以用減法或者除法計算解決時優(yōu)選除法計算。如解決“張曉華和趙麗同時從同一地點出發(fā)，張曉華向東走，每分鐘走60米;趙麗向西走，每分鐘走55米。經(jīng)過6分鐘他們相距多少米？”這樣的問題時，教師就要引導(dǎo)學生選用“（60+55）×6”進行列式計算，盡可能使得運算簡便。當然，這種簡便運算的選擇是在對比的前提下產(chǎn)生的，所以教師在教學過程中要注意結(jié)合實際問題引導(dǎo)學生進行比較，在多樣化算法的基礎(chǔ)上實現(xiàn)算法的優(yōu)化。

四、多內(nèi)容關(guān)聯(lián)以通運算之道

所謂運算之道就是運算中蘊含的基本規(guī)律、基本性質(zhì)等。學生學習運算，不僅要知道現(xiàn)階段所學運算的方法和算理，還要能夠善于發(fā)現(xiàn)、總結(jié)運算中的規(guī)律，善于將現(xiàn)階段所學的運算知識融入整個運算知識體系中去，以通曉運算之道。

1.疏通聯(lián)系，理解運算原理的一致性

數(shù)的運算猶如一顆石子投入水中，激起的漣漪不斷由內(nèi)向外暈開形成的同心圓，這些同心圓是以運算的基本規(guī)則為圓心，不同類型的數(shù)為半徑的。教師在帶領(lǐng)學生學習運算的時候，要不斷地幫助學生梳理、分析現(xiàn)有知識與已有知識之間的聯(lián)系，找到它們的共性之處，使學生形成完整的認知結(jié)構(gòu)。如對于加、減法計算都是基于相同計數(shù)單位上的數(shù)才能夠相加、減這一知識點，教師要幫助學生梳理為什么要小數(shù)點對齊;在教學異分母分數(shù)加、減法的時候，教師要引導(dǎo)學生明白通分成同分母分數(shù)進行加減運算的道理，然后把整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的加減運算方法進行梳理和對比，幫助學生找到運算方法的一致性，形成完整認知結(jié)構(gòu)。再如兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算過程中蘊含了乘法的分配律，所以教學乘法分配律時，教師要引導(dǎo)學生回頭看兩位數(shù)乘兩位數(shù)的運算過程，合理解釋這一運算律在乘法豎式運算中的應(yīng)用，促進學生理解豎式和遞等式運算的內(nèi)在原理的一致性。

2.勾連關(guān)系，理解運算規(guī)律和方法的一致性

數(shù)學知識之間是有內(nèi)在的規(guī)律和方法一致性的。如教學整數(shù)除法時，教師要引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)除法的規(guī)律，如被除數(shù)一定，除數(shù)越大，商越小。在整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的學習中不斷推廣這些規(guī)律后，學生就能體會到運算規(guī)律的一致性。又如學習了除法、分數(shù)、比之間的關(guān)系后，學生在學習分數(shù)基本性質(zhì)時，就可以結(jié)合商不變性質(zhì)解釋分數(shù)的基本性質(zhì)，在學習比的基本性質(zhì)時，就可以結(jié)合分數(shù)基本性質(zhì)解釋比的基本性質(zhì)……這樣的互釋使看似不同性質(zhì)的規(guī)律通過內(nèi)在的聯(lián)系呈現(xiàn)了一致性。再如乘法和除法存在互逆關(guān)系，教學分數(shù)除法的時候，借助倒數(shù)把分數(shù)除法轉(zhuǎn)化為分數(shù)乘法，就能使學生體會到兩種算法之間的一致性。這樣勾連運算之間的關(guān)系，能有效地把運算知識串聯(lián)起來，幫助學生構(gòu)建新知識網(wǎng)絡(luò)。

3.關(guān)聯(lián)遷移，理解運算蘊含數(shù)學思想方法的一致性

數(shù)學運算能力還是多因素融合的能力，包含理解、運用數(shù)學思想方法。如在歸納總結(jié)加法交換律時，要求學生根據(jù)問題情境寫出幾個等式，經(jīng)過觀察后發(fā)現(xiàn)規(guī)律，將這種合情推理的方法遷移到后續(xù)的加法和乘法運算律的學習中，所以在這些規(guī)律的總結(jié)方面要能夠體現(xiàn)數(shù)學思想方法的一致性。又如探究小數(shù)加法的計算方法時，借助人民幣單位把小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)再計算，這種計算方法也能遷移到小數(shù)乘法、小數(shù)除法中。因此，在總結(jié)方法的時候，要關(guān)聯(lián)之前的運算方法，讓學生體會到這些運算方法中所蘊含的數(shù)學思想是一致的。

綜上，學生運算能力的培養(yǎng)是一項長期的工程，教師在平時的教學中只有持之以恒地去做，才能收到理想的效果。

（責編 金 鈴）