高峰齡 韋波富

【摘 要】數(shù)的運(yùn)算，重在理解算理，形成算法。教學(xué)中可通過(guò)操作、想象、事理分析等活動(dòng)來(lái)明晰算理，進(jìn)而逐步抽象算法;通過(guò)猜想驗(yàn)證或整體歸納概括，滲透數(shù)學(xué)思想，構(gòu)建算法模型。在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用算法模型，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體悟數(shù)學(xué)思想。

【關(guān)鍵詞】算理 算法 模型 數(shù)學(xué)思想

運(yùn)算一直以來(lái)就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中首要的學(xué)習(xí)任務(wù)。從小學(xué)數(shù)學(xué)課程編排和教學(xué)實(shí)踐看，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的計(jì)算貫穿始終，運(yùn)算是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容之一?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提出：運(yùn)算能力是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解算理，尋求合理簡(jiǎn)便的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。運(yùn)算不僅僅是要會(huì)算，形成技能，還要在運(yùn)算學(xué)習(xí)過(guò)程中明晰算理、理解算法、提升思維、運(yùn)用思想，要正確理解算理和對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，分析數(shù)量關(guān)系以解決問(wèn)題。

現(xiàn)結(jié)合教學(xué)實(shí)例，談?wù)勥\(yùn)算教學(xué)中算法模型構(gòu)建的策略。

一、循理入法，構(gòu)建算法模型

一步運(yùn)算是運(yùn)算教學(xué)的基礎(chǔ)，運(yùn)算的掌握有助于算理的理解，而算理又能幫助解決實(shí)際問(wèn)題。在理解算理的基礎(chǔ)上抽象算法，需要以數(shù)學(xué)思想為指引，先構(gòu)建算理與算法的聯(lián)系。

【案例1】三年級(jí)上冊(cè)“兩位數(shù)除以一位數(shù)”的例題如圖1。

1.逐層深入，理解算理

教材中提供了3種理解算理的途徑，逐層抽象：

（1）實(shí)物操作。利用小棒分一分，先平均分4捆，每份2捆;再平均分6根，每份3根。這一途徑通過(guò)半具體半抽象的活動(dòng)，讓學(xué)生理解算理，感悟算法。

（2）看圖想象。從題圖中觀察得出，每班先分得2筒羽毛球，再分得3個(gè)羽毛球。這一途徑通過(guò)建立表象活動(dòng)，讓學(xué)生理解算理。

（3）口算方法。先用十位數(shù)40除以2，再用個(gè)位數(shù)6除以2，最后將兩個(gè)得數(shù)相加得到23。這一途徑通過(guò)抽象活動(dòng)，讓學(xué)生理解算理。

教師引導(dǎo)學(xué)生在分小棒和看圖分羽毛球的半具體半抽象操作過(guò)程中感知到分與合的思想，對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)算法，深刻理解將被除數(shù)46分成40和6，先用40除以2，再用6除以2，最后將兩次分得結(jié)果合并的算理，逐步上升為抽象的數(shù)學(xué)運(yùn)算。同時(shí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，感悟分合思想，借助口算理解46÷2的算理。

三種途徑清晰地分析了這一道算式的算理，學(xué)生雖然聽清楚了，但還需要內(nèi)化理解算理，真正學(xué)會(huì)除法計(jì)算的算理和算法。運(yùn)用以上理解算理的方法途徑，可以讓學(xué)生自主開展理解算理的活動(dòng)。

2.以理馭法，構(gòu)建模型

僅僅依靠一道題的分析，就讓學(xué)生聯(lián)系算理、算法間的關(guān)系，構(gòu)建算法模型顯然不夠。教學(xué)時(shí)教師可增加事例幫助學(xué)生理解算理，強(qiáng)化具體操作與抽象算法之間的關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生深入理解算理和算法，構(gòu)建算法模型。學(xué)生通過(guò)對(duì)題組的觀察，借助已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，豐滿對(duì)算理的理解，建立算理與算法之間的聯(lián)系;通過(guò)對(duì)一些事例的觀察、比較，發(fā)現(xiàn)都是將被除數(shù)按數(shù)位分成十位數(shù)和個(gè)位數(shù)，分別除以除數(shù)，再將結(jié)果合并這一規(guī)律，在此基礎(chǔ)上概括、歸納后，提煉算法，構(gòu)建算法模型，深化數(shù)學(xué)思想的滲透運(yùn)用。

用豎式形式進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，學(xué)生只要結(jié)合對(duì)算理的理解，將算理與豎式計(jì)算過(guò)程一一對(duì)應(yīng)，規(guī)范書寫形式即可。

3.解決問(wèn)題，運(yùn)用模型

學(xué)生構(gòu)建出兩位數(shù)除以一位數(shù)的算法模型后，由此可以擴(kuò)展到三位數(shù)除以一位數(shù)的算法模型構(gòu)建，如639÷3，運(yùn)用模型能夠自主建構(gòu)算理與算法的聯(lián)系。對(duì)于以后學(xué)習(xí)類似45÷3、206÷5的運(yùn)算，學(xué)生有了算法模型的構(gòu)建方法后，可以形成探究運(yùn)用模式，這就是模型思想的力量。

學(xué)生經(jīng)歷了理解算理、建構(gòu)算法的過(guò)程，感悟到模型思想的實(shí)用性后，我們還可以把除法口算與乘法口算的過(guò)程進(jìn)行橫向比較，豐富算法模型，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

二、猜想驗(yàn)證，構(gòu)建算法模型

到小學(xué)高年級(jí)，學(xué)生積累了豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，抽象、推理能力較低年級(jí)明顯提升。教學(xué)時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、比較的方法，逐層抽象算法，構(gòu)建算法模型。

【案例2】六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”的例題。

1.尋根溯源，猜想算法

教師可從抽象的分?jǐn)?shù)意義和乘法意義入手，在畫圖操作中引導(dǎo)學(xué)生得到計(jì)算結(jié)果。

（1）圖2中斜線部分是涂色部分的幾分之幾？也就是誰(shuí)的1— 4？1— 2的1— 4是整張紙的幾分之幾？

通過(guò)2個(gè)4是8，知道把這張紙平均分成8份。那么，1— 2的1— 4是多少你能用算式表示出來(lái)嗎？同理，結(jié)合圖3抽象出1— 2的3— 4的算式和結(jié)果。

（2）一臺(tái)拖拉機(jī)，每小時(shí)耕地2— 3公頃，1—5 小時(shí)耕地多少公頃呢？

學(xué)生結(jié)合情境，通過(guò)畫圖（如圖4）抽象出2— 3乘1— 5的意義，并得到結(jié)果。同時(shí)利用已有探究經(jīng)驗(yàn)，在圖5中表示出4— 5? 小時(shí)耕了多少公頃，得到2— 3乘4— 5的意義和結(jié)果。

教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回顧探究這幾道算式意義和結(jié)果的過(guò)程，讓學(xué)生在抽象概括活動(dòng)中，形成對(duì)算法的合理猜想。

2.舉例驗(yàn)證，構(gòu)建模型

算法猜想是否合理正確，需要進(jìn)行驗(yàn)證。通過(guò)舉例，學(xué)生驗(yàn)證算法猜想的正確性，再聯(lián)系分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的算法，形成分?jǐn)?shù)乘法算法模型。

在初步理解算理的基礎(chǔ)上，教師可引導(dǎo)學(xué)生合理猜想，開展“猜想——驗(yàn)證”數(shù)學(xué)探究活動(dòng)（見表1）。經(jīng)歷算法模型構(gòu)建的過(guò)程，有助于學(xué)生感悟、運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，提升思維能力。

我們的猜想 分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母？

我的驗(yàn)證 1.按照猜想算一算：

1—3? ×1— 4 =1×1—3×4? =1— 123—4? ×3— 5 =3×3—4×5? =9— 20

2.根據(jù)算式的意義畫圖驗(yàn)證：

我的結(jié)論 猜想 ? ? 成立（） 不成立（）

三、以事明理，構(gòu)建算法模型

混合運(yùn)算重在對(duì)運(yùn)算順序的理解，教學(xué)中需要讓學(xué)生明晰運(yùn)算順序是什么，為什么是這樣，并能構(gòu)建運(yùn)算順序模型加以運(yùn)用。

【案例3】三年級(jí)下冊(cè)“不帶括號(hào)的兩步運(yùn)算”的例題，如圖6。

1.分析數(shù)量關(guān)系，理解算理

教師可引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)量關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題，用事理明白算理。學(xué)生嘗試列出綜合算式5×3+20或20+5×3，通過(guò)數(shù)量關(guān)系，理解需算出3本筆記本多少元的原因，所以先算5×3。教學(xué)中教師還可以用運(yùn)算的意義讓學(xué)生明晰運(yùn)算順序，觀察算式5+5+5+20或20+5+5+5，其中5+5+5表示3本筆記本的價(jià)錢，可以寫成5×3。乘法是加法的簡(jiǎn)單寫法，且比加法高級(jí)，所以先算乘法。通過(guò)不同途徑讓學(xué)生初步感知到運(yùn)算順序的算理。

2.歸納題組算法，構(gòu)建模型

讓學(xué)生在理解算理的過(guò)程中構(gòu)建運(yùn)算順序模型，從中感悟運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的必要性，有利于提升思維能力。僅僅用一道混合運(yùn)算能概括出有乘法和加、減法的運(yùn)算順序嗎？顯然不能，還需要對(duì)較多的題組素材進(jìn)行觀察、比較，開展抽象、歸納、概括活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)不同事例中運(yùn)算順序的相通之處，從而建構(gòu)運(yùn)算順序模型。

3.解決實(shí)際問(wèn)題，運(yùn)用模型

學(xué)生建構(gòu)了運(yùn)算順序模型后，還要能夠會(huì)運(yùn)用該模型。教師可設(shè)計(jì)解決實(shí)際問(wèn)題的題組：某公園的兒童票每張4元，成人票每張8元，現(xiàn)一共有50元。根據(jù)已知信息，解釋以下算式表示的意義：（1）8+4×5;（2）8×2+4;（3）50-4×6;（4）8×7-50。

要知道這些算式表示的意義，學(xué)生需在數(shù)量關(guān)系的支撐下運(yùn)用運(yùn)算順序模型解決問(wèn)題，在厘清綜合算式里每一步運(yùn)算順序的前提下，真正理解算式的意義，知道算式解決的是什么問(wèn)題。

對(duì)于三步及以上混合運(yùn)算的順序教學(xué)，我們可以在分析數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，理解運(yùn)算順序，構(gòu)建運(yùn)算順序模型。如四年級(jí)上冊(cè)第七單元《整數(shù)四則混合運(yùn)算》中的例2、例3（見圖7）直接出示算式，利用學(xué)生對(duì)小括號(hào)的已有認(rèn)知，遷移到有小括號(hào)和中括號(hào)的多步運(yùn)算中，得到混合運(yùn)算的順序。這樣的編排其實(shí)不利于構(gòu)建算法模型，提升學(xué)生思維。

其實(shí)，教師可以為例2、例3創(chuàng)設(shè)情境，學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中，從分析數(shù)量關(guān)系入手，嘗試列綜合算式，探究運(yùn)算順序。探究過(guò)程中，學(xué)生可以對(duì)一組算式進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)運(yùn)算順序特點(diǎn)后構(gòu)建模型;也可以采用“猜想——驗(yàn)證”的探究路徑。不管采用哪一種學(xué)習(xí)方法，都是對(duì)已有數(shù)學(xué)思想的滲透運(yùn)用，都能夠有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

學(xué)生在學(xué)習(xí)三步計(jì)算運(yùn)算順序后還會(huì)遇到更多步數(shù)的計(jì)算，在明晰運(yùn)算順序的“理”之后，經(jīng)歷了“化繁為簡(jiǎn)”的過(guò)程后，可以感受到多步運(yùn)算順序的“序”，構(gòu)建出運(yùn)算順序模型，感悟數(shù)學(xué)思想，并最終運(yùn)用運(yùn)算順序模型解決問(wèn)題。

我們要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中思維的培養(yǎng)，讓學(xué)生感悟思想方法。在“四則混合運(yùn)算”的教學(xué)中，注重推理、轉(zhuǎn)化思想的滲透，教給學(xué)生用聯(lián)系溝通的方法學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，在教學(xué)中抓住數(shù)量關(guān)系在運(yùn)算順序?qū)W習(xí)中的關(guān)鍵作用，以事理明算理，使學(xué)生內(nèi)隱的思維外顯，培養(yǎng)思維能力。

綜上，教師在運(yùn)算教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生集中操作，將抽象算理具象化，形成算法表象;可以讓學(xué)生利用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)遷移類推，合理猜想算法，進(jìn)而驗(yàn)證猜想;還可以指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)量關(guān)系分析，在明晰事理的基礎(chǔ)上理解算理，形成算法。教材編排“數(shù)的運(yùn)算”知識(shí)時(shí)，多采用一事一例的方法，讓學(xué)生對(duì)具體事例進(jìn)行探究，理解算理，抽象歸納算法。實(shí)際教學(xué)中教師也可以重組教材的例題和習(xí)題，多呈現(xiàn)一些事例，豐富學(xué)習(xí)探究的素材，在抽象、推理、模型數(shù)學(xué)思想的滲透運(yùn)用過(guò)程中，教會(huì)學(xué)生構(gòu)建算法模型。