丁黎森

摘要：以“線段的和差”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，探討基于整體視角的圖形初步知識(shí)單元教學(xué)策略，為學(xué)生整個(gè)初中段的幾何學(xué)習(xí)奠定牢固的根基。

關(guān)鍵詞：“線段的和差”;整體視角;教學(xué)設(shè)計(jì)

幾何的研究對(duì)象就是點(diǎn)、線、面、體。幾何單元把最基本的幾何元素作為研究對(duì)象，研究它們的定義、表示方法、分類及其性質(zhì)。幾何學(xué)科首先針對(duì)線、角、中點(diǎn)、角平分線等建立概念體系，再從大小、分類、關(guān)系、性質(zhì)等方面建立各幾何元素間的邏輯關(guān)系，最后滲透了類比、數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程等作為解決問題的思想方法。本單元的內(nèi)容覆蓋面廣，是整個(gè)初中段的幾何學(xué)科的根基。本單元的知識(shí)要點(diǎn)將融入學(xué)生今后學(xué)習(xí)幾何知識(shí)的每一個(gè)環(huán)節(jié)。

幾何單元從實(shí)際情境中抽象出幾何圖形，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了點(diǎn)、線、面、體，讓學(xué)生在研究圖形的形狀、大小、相互位置關(guān)系中，從幾何角度提升自己對(duì)客觀世界的認(rèn)識(shí)，這樣有利于學(xué)生形成科學(xué)的世界觀。波利亞說過：數(shù)學(xué)教育的意義并不是要教會(huì)學(xué)生去使用數(shù)學(xué)知識(shí)，而是要培養(yǎng)學(xué)生的思維習(xí)慣，一種數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)。本單元的知識(shí)體系具有深刻的邏輯結(jié)構(gòu)、豐富的直觀背景和鮮明的認(rèn)知層次。在對(duì)概念的認(rèn)知、大小的比較、和差的計(jì)算、性質(zhì)的應(yīng)用以及在解決實(shí)際問題等方面，學(xué)生既要對(duì)概念、性質(zhì)有精準(zhǔn)的把握，又要在對(duì)知識(shí)和技能正確理解的基礎(chǔ)上，用幾何語言規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)，有效地培養(yǎng)推理嚴(yán)謹(jǐn)、言必有據(jù)和條理化的思維習(xí)慣，發(fā)展演繹推理和邏輯思維能力。

一、目標(biāo)和目標(biāo)解析

（一）目標(biāo)

（1）經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出幾何圖形的過程，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)點(diǎn)、線、面、體，了解幾何體與立體圖形、平面與平面圖形的概念。

（2）進(jìn)一步了解線段、射線、直線、線段的中點(diǎn)、角、角平分線、補(bǔ)角、余角、相交線、對(duì)頂角、垂線、距離等有關(guān)概念及其相關(guān)性質(zhì)。

（3）會(huì)用尺規(guī)作線段的和、差，會(huì)用量角器作一個(gè)角等于已知角。

（4）理解線段、角度的大小，會(huì)對(duì)線段的長(zhǎng)度和角的大小進(jìn)行度量，能理解線段、角的和差并能進(jìn)行一些相關(guān)的計(jì)算;能用線段、角的相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

（5）理解兩點(diǎn)間距離、點(diǎn)到直線距離的意義。

（6）直觀地理解平面上兩條直線之間的關(guān)系：相交與不相交。

（7）掌握基本事實(shí)：兩點(diǎn)確定一條直線，兩點(diǎn)之間線段最短。

（8）用正確的幾何語言進(jìn)行表述。

（二）目標(biāo)解析

經(jīng)過分析，筆者確定了完成各個(gè)教學(xué)目標(biāo)的依據(jù)。

完成目標(biāo)（1）的依據(jù)是：能從日常生活中見到的物體抽象出幾何圖形，能分辨平面圖形與立體圖形，理解點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體。

完成目標(biāo)（2）的依據(jù)是：能理解相關(guān)概念的內(nèi)涵與外延，在實(shí)際問題中準(zhǔn)確表示出相關(guān)幾何元素，并能在解決問題時(shí)合理地選擇應(yīng)用。

完成目標(biāo)（3）的依據(jù)是：直尺、圓規(guī)、量角器是基本的幾何作圖工具，在尺規(guī)作圖的過程中本身就蘊(yùn)含著幾何關(guān)系與思維邏輯，能準(zhǔn)確畫出線段的和差、角的和差本身就是對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解與掌握。

完成目標(biāo)（4）的依據(jù)是：掌握線段、角的和差的數(shù)量化定義，同時(shí)也能從形的角度進(jìn)行理解，能從復(fù)雜的圖形中理順有關(guān)線段、角之間的數(shù)量關(guān)系和邏輯關(guān)系，同時(shí)能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想等思想方法解決實(shí)際問題。

完成目標(biāo)（5）的依據(jù)是：能畫出連接兩點(diǎn)的線段、點(diǎn)到直線的垂線段并能度量其長(zhǎng)度，明白距離的可度量性，同時(shí)能區(qū)分兩種距離的不同之處。

完成目標(biāo)（6）的依據(jù)是：直線的相交比較好理解，直線的不相交比較抽象，能從位置關(guān)系的角度來理解是從小學(xué)知識(shí)到初中知識(shí)的一個(gè)上升，同時(shí)要明白相交關(guān)系的特殊情況——垂直。

完成目標(biāo)（7）的依據(jù)是：基本事實(shí)是整個(gè)幾何體系的基石，能從直觀上感受到基本事實(shí)的正確性和客觀存在性，并能用基本事實(shí)來解釋實(shí)際情境中的問題。

完成目標(biāo)（8）的依據(jù)是：在對(duì)推理過程的幾何語言表述中，學(xué)生通過不斷地模仿、嘗試、修改、完善直到逐步適應(yīng)，在解決實(shí)際問題中能把對(duì)知識(shí)和技能的理解準(zhǔn)確地表達(dá)出來。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)內(nèi)容：6.4 線段的和差

（二）教學(xué)目標(biāo)

（1）體驗(yàn)“線段的和差”在實(shí)際生活中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力;

（2）了解線段的和、差概念;

（3）經(jīng)歷畫線段的和、差，理解延長(zhǎng)線的意義;

（4）理解線段中點(diǎn)的概念，掌握線段中點(diǎn)的性質(zhì);

（5）掌握有關(guān)線段的和、差、倍、分的簡(jiǎn)單計(jì)算;

（6）通過探究線段之間的關(guān)系，滲透數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練識(shí)圖能力，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心與求知欲。

（二）教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：線段的和、差、線段中點(diǎn)的概念，以及相關(guān)的作圖和運(yùn)用線段的和、差進(jìn)行計(jì)算。

教學(xué)難點(diǎn)：（1）例2涉及較多的線段和較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，是本節(jié)的難點(diǎn);（2）幾何證明過程的表述學(xué)生以前從末接觸過，如何把一道幾何題有條理、邏輯嚴(yán)密地表述出來，是本節(jié)課的另外一個(gè)難點(diǎn)。

三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）情境導(dǎo)入，引出新知

有一天，小明剛好走到校園一邊的角落上，接到快遞小哥的電話，小明就在角落上等快遞小哥（如圖1所示）。在等的過程中，小明忽然想到一個(gè)問題：快遞小哥從哪條路過來會(huì)更近一些呢？這個(gè)問題實(shí)際上就是指在圖2中，走哪條線路更短。

思考：更近些指的是什么？

追問：有哪些方法？

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷從客觀實(shí)際到幾何圖形的抽象過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活。

（二）動(dòng)手操作，探究新知

生：度量法，用刻度尺量出長(zhǎng)度。（學(xué)生量出長(zhǎng)度）

生：疊合法。

教師準(zhǔn)備兩段繩子，讓兩位學(xué)生到黑板上具體操作，學(xué)生操作好后剪斷多余的繩子。

問題：哪條線路更短？（教師可以給予點(diǎn)撥，讓學(xué)生通過對(duì)比后回答）

【設(shè)計(jì)意圖】教師應(yīng)給學(xué)生提供充分的觀察、實(shí)驗(yàn)、操作的時(shí)間和空間，讓學(xué)生通過觀察圖形，思考兩種路線長(zhǎng)短的比較，引導(dǎo)學(xué)生得到比較兩種路線的方法實(shí)際上就是先求每種路線中兩條線段的和，再比較和的大小，從而引出線段和的概念。在這一過程中，教師應(yīng)讓學(xué)生充分感受與體驗(yàn)知識(shí)的產(chǎn)生與形成過程，讓學(xué)生通過直觀的觀察來理解抽象的數(shù)學(xué)概念，加深對(duì)本課所學(xué)知識(shí)的理解與掌握。

1.線段和、差的概念

步驟1：

一般地，如果一條線段的長(zhǎng)度是另兩條線段的長(zhǎng)度的和，那么這條線段就叫作另兩條線段的和。線段c是線段a與b的和，記做c=a+b.

步驟2：

在這個(gè)步驟中，教師應(yīng)用類比的方法讓學(xué)生得出：如果一條線段的長(zhǎng)度是另兩條線段的長(zhǎng)度的差，那么這條線段就叫作另兩條線段的差。線段a是線段c與b的差，記做a=c-b.

步驟3：

兩條線段的和或差仍是一條線段。

步驟4：鞏固對(duì)概念的理解。

練習(xí)1：觀察圖3，根據(jù)圖中所標(biāo)線段的長(zhǎng)度，你能得出哪些線段間的數(shù)量關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】教材用數(shù)量化定義兩條線段的和、差，使線段的和、差與線段的大小的定義處于同一體系，并與數(shù)的大小比較，使之與數(shù)的和、差等意義保持一致。本題就是要讓學(xué)生從數(shù)和形兩方面體會(huì)線段和、差的意義，滲透了數(shù)形結(jié)合的思想。

練習(xí)2：如圖4所示，C是線段AB上的一點(diǎn).請(qǐng)完成下面的填空。

【設(shè)計(jì)意圖】從數(shù)量化來理解線段的和、差過渡到圖形上線段的和、差，讓學(xué)生進(jìn)一步理解兩條線段的和與差仍是一條線段。線段的和、差是本堂課的重點(diǎn)，通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)完成了相關(guān)知識(shí)的建構(gòu)。為突出重點(diǎn)，本節(jié)課安排了相應(yīng)練習(xí)，同時(shí)補(bǔ)充了線段延長(zhǎng)線的概念。通過這組練習(xí)，學(xué)生進(jìn)一步掌握知識(shí)、形成技能、發(fā)展思想、培養(yǎng)能力。

2.線段的中點(diǎn)

如圖5所示，線段AB=2，點(diǎn)C把線段AB分成相等的兩部分，這個(gè)點(diǎn)給它取個(gè)什么名字好呢？

生：中點(diǎn)。

師：能不能更準(zhǔn)確些呢？

生：線段AB的中點(diǎn)。

追問：（展示手中的一段繩子）如果這段繩子代表一條線段，怎么找到它的中點(diǎn)？

生：用對(duì)折的方法找到。

師：用幾何畫板動(dòng)態(tài)展示對(duì)折一條線段，得到線段的中點(diǎn)。

【設(shè)計(jì)意圖】通過向?qū)W生提問，組織學(xué)生小組合作，來研究線段的和與差的畫法。教師用圓規(guī)、尺子在黑板上作圖，引導(dǎo)學(xué)生完善作圖的步驟，加深學(xué)生的印象;組織學(xué)生觀察所畫線段的特點(diǎn)，通過發(fā)現(xiàn)“點(diǎn)C把線段AB分成相等的兩條線段AC和BC”這一特點(diǎn)引出“線段的中點(diǎn)”的概念，使學(xué)生能自然而然地接受新知識(shí)。

3.線段中點(diǎn)概念

如圖5所示，點(diǎn)C把線段AB分成相等的兩條線段AC與BC，點(diǎn)C叫作線段AB的中點(diǎn)。

∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，

∴AC=BC= ? ? ?AB， AB=2AC=2BC

如圖6所示，延長(zhǎng)線段AB至點(diǎn)D，使BD=AC=CB，則點(diǎn)B、C叫作線段AD的三等分點(diǎn)。

（三）變式練習(xí)，鞏固新知

（1）如圖7所示，若CD=4，BD=7，點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)。

【設(shè)計(jì)意圖】在具體的問題中應(yīng)用線段的和、差以及線段的中點(diǎn)進(jìn)行解題，幫助學(xué)生理順線段間的數(shù)量關(guān)系，為以后學(xué)習(xí)幾何證明打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，落實(shí)本節(jié)課的重點(diǎn)。

（2）如圖8所示，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E把線段AB三等分，若CD=1.5，求AB的長(zhǎng).

【設(shè)計(jì)意圖】從簡(jiǎn)單的線段的和、差到更復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，從線段的中點(diǎn)過渡到線段的等分點(diǎn)，體現(xiàn)了從簡(jiǎn)單到復(fù)雜。本題的教學(xué)為學(xué)生邁好學(xué)習(xí)幾何第一步意義深遠(yuǎn)，也是本節(jié)課突破難點(diǎn)的關(guān)鍵。

（3）已知點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)P把線段AB分成的兩部分長(zhǎng)度之比為2：3，若AP=4cm，求PB、AB的長(zhǎng)。

【設(shè)計(jì)意圖】知識(shí)為骨干，思想為靈魂，數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想這三大數(shù)學(xué)思想在本題都徐徐展開，開拓了學(xué)生的視野，豐富了學(xué)生的思想，訓(xùn)練了學(xué)生的能力，也激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和探索數(shù)學(xué)知識(shí)的欲望。

（四）課堂小結(jié)，內(nèi)化新知（如圖9所示）

（五）作業(yè)布置，落實(shí)新知

（1）書本P152、P153課內(nèi)練習(xí)、作業(yè)題。

（2）作業(yè)本。

四、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

（1）如圖10所示，C、D、E是線段AB上的三個(gè)點(diǎn)，下列關(guān)于線段CE的表示：①CE=CD+DE;②CE=BC-EB;③CE=CD+BD-AC;④CE=AE+BC-AB

【設(shè)計(jì)意圖】考察學(xué)生對(duì)線段的和、差的理解，讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察圖形，從圖形中去尋找線段的和與差的關(guān)系。

（2）已知線段AB，C是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，P是線段AC的中點(diǎn)，Q是線段BC的中點(diǎn).

①若點(diǎn)C恰好為線段AB上的一點(diǎn)，且AB的長(zhǎng)為10cm，則PQ= ? ? ? ? cm;

②求線段PQ與線段AB長(zhǎng)度的關(guān)系

【設(shè)計(jì)意圖】考察學(xué)生對(duì)線段中點(diǎn)的理解，讓學(xué)生體會(huì)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看待問題，讓分類討論、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想滲透到學(xué)生的思考中，并嘗試培養(yǎng)在復(fù)雜關(guān)系中尋找所需的數(shù)量關(guān)系的能力。

（3）已知：AB=5，BC=3，求：（1）AC的最大值;（2）AC的最小值。

【設(shè)計(jì)意圖】這個(gè)題目看似簡(jiǎn)單，實(shí)則需要較強(qiáng)的幾何直覺能力，一開始大部分學(xué)生會(huì)感到簡(jiǎn)單，但又覺得不好把握。通過本題的練習(xí)，逐步培養(yǎng)學(xué)生對(duì)一個(gè)問題全方位思考的能力，化靜為動(dòng)，又能從動(dòng)中尋找出不變的規(guī)律。

總之，本課是學(xué)生幾何證明、幾何邏輯思維的開山之作，從這一節(jié)課起，學(xué)生真正進(jìn)入了波瀾壯闊的幾何的學(xué)習(xí)，學(xué)生幾何證明之路開始邁出了第一個(gè)踏實(shí)的腳步。

參考文獻(xiàn)：

[1] 李曉文，王瑩.教學(xué)策略[M].北京：高等教育出版社，2000.

（責(zé)任編輯：奚春皓）