陳莉紅 曹經(jīng)富

摘 ?要：以2021年全國各地中考數(shù)學(xué)試題為研究對象，對其中有關(guān)“圖形的性質(zhì)”的試題的命題特點進行分析，歸納這類試題的命題方式，預(yù)測未來的命題趨勢，為一線復(fù)習(xí)教學(xué)提供參考.

關(guān)鍵詞：圖形的性質(zhì);命題思路;命題趨勢;數(shù)學(xué)素養(yǎng);數(shù)學(xué)文化

以2021年全國各地中考數(shù)學(xué)試題為研究對象，并抽取了包含新疆（不含西藏）在內(nèi)的覆蓋全國各省的35套試卷為整卷樣本，對其中有關(guān)“圖形的性質(zhì)”的試題進行分析，歸納這類試題的命題特點，預(yù)測未來的命題趨勢. 本文將分別從考查內(nèi)容、命題思路、復(fù)習(xí)建議三個方面進行分析，并提供適量的模擬題，為一線復(fù)習(xí)教學(xué)提供參考.

一、考查內(nèi)容分析

初中階段幾何學(xué)習(xí)的對象主要是點、線、面、角、三角形、平面多邊形和圓等幾何圖形.“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”“圖形與坐標(biāo)”分別從演繹證明、運動變化、量化分析三個方面研究這些圖形的基本性質(zhì)和相互關(guān)系. 這三個部分相當(dāng)于研究基本圖形的三個不同角度，既相互獨立又相互交織. 在難度較大的綜合性試題中，“圖形的性質(zhì)”與其他兩個部分或者其他領(lǐng)域的知識往往會綜合起來考查. 據(jù)抽樣統(tǒng)計，2021年各省、市中考數(shù)學(xué)試卷中“圖形與幾何”的分值占整卷的40%左右，這與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中“圖形與幾何”領(lǐng)域的課時分配是相匹配的. 在抽樣的試卷中，“圖形的性質(zhì)”的分值占“圖形與幾何”分值的75%左右，分值最少的也在50%以上，河北、云南、臺灣等地的占比更高，在90%左右;題量分布在4到11之間，題型基本覆蓋了選擇題、填空題、解答題（含運算、證明、作圖等綜合性、探究性、應(yīng)用性試題）等，分值從2分的選擇題、填空題到14分的解答題甚至壓軸題不等. 隨著全國中考改革的全面推進和教育部中考命題評估的全覆蓋，大多數(shù)省、市中考都已體現(xiàn)“二考合一”的特點，對“圖形的性質(zhì)”的考查也在悄然發(fā)生變化，2021年有更多省、市的中考數(shù)學(xué)試題對“圖形的性質(zhì)”考查難度有所降低，在回歸基礎(chǔ)、突出本質(zhì)、強化思維與表達、創(chuàng)設(shè)情境、滲透育人價值等方面都做了有益的探索.

“圖形的性質(zhì)”是以平面圖形為研究對象，以點、線、角為基本要素，研究基本圖形中各基本要素之間的關(guān)系，以及圖形與圖形之間的關(guān)系，這些關(guān)系主要是指數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系. 主要知識內(nèi)容包括：點、線、面、角;相交線與平行線;三角形;四邊形;圓;尺規(guī)作圖;定義、命題、定理.

“點、線、面、角”這部分內(nèi)容主要有兩個方面. 一是對點、線、面、角的認識，以及對線段、距離及角的概念的理解，再進一步理解線段和角是幾何中的運算對象，是可以比較大小、求和差、可度量、可表達的對象. 二是掌握幾個基本事實，如兩點確定一條直線、兩點之間線段最短等. 這些是研究初中幾何的基礎(chǔ)，會滲透在后續(xù)基本圖形的學(xué)習(xí)過程中. 因此，對這部分內(nèi)容的考查，通常會與其他知識綜合考查. 2021年只有極少數(shù)中考試題以選擇題、填空題的形式考查了這部分內(nèi)容，屬于容易題、送分題. 例如，河北卷第1題、貴州貴陽卷第2題.

“相交線與平行線”這部分內(nèi)容主要包括“三線八角”、垂線、垂線段、平行線等的基本概念，關(guān)于垂線、平行線的基本事實，以及平行線判定定理、性質(zhì)定理等.“三角形”“四邊形”“圓”分別是初中幾何的基本圖形，他們的研究思路基本是一致的：圖形的認識（含圖形及圖形組成要素邊、角、相關(guān)線段的定義）—圖形的分類—圖形的性質(zhì)（各要素之間的關(guān)系）—圖形的判定—圖形之間的關(guān)系（全等、相似等）”等. 這些內(nèi)容是“圖形的性質(zhì)”考查的主體，既可以以不同的基本圖形為載體單獨考查，又可以綜合考查. 例如，以圓為載體與三角形或四邊形綜合考查，是常見的考查方式. 根據(jù)抽樣的35份試卷分析，這部分內(nèi)容考查的分值在“圖形的性質(zhì)”中占比在85%以上，考查方式除了通過觀察、分析、推理證明外，在加強直觀理解、抽象建模、合情推理方面做了創(chuàng)新嘗試，解答題體現(xiàn)了綜合性、應(yīng)用性、探究性.

“尺規(guī)作圖”主要包含五種基本作圖：用尺規(guī)作一條線段等于已知線段;作一個角等于已知角;作已知線段的垂直平分線;作已知角的平分線;過一點作已知直線的垂線. 還有會利用基本作圖作三角形，會利用基本作圖完成過不在同一直線上的三點作圓，作三角形的外接圓和內(nèi)切圓，作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形等. 根據(jù)抽樣統(tǒng)計，2021年各地中考試題中尺規(guī)作圖的考查題型有選擇題、填空題和解答題，其中以解答題居多，約占60%. 考查方式有以下幾種：① 直接給出作圖步驟，依據(jù)作圖原理進行結(jié)論判斷或者進一步求值，如河北卷第16題、貴州貴陽卷第7題、吉林卷第7題等;② 根據(jù)基本作圖原理，運用尺規(guī)按要求作圖，如陜西卷第17題;③ 以尺規(guī)作圖的形式給出已知條件，進一步求值或判斷，考查對作圖基本操作的理解，以及相應(yīng)的推理能力，如內(nèi)蒙古包頭卷第7題、四川成都卷第14題、新疆卷第14題等;④ 先按要求完成尺規(guī)作圖，再進一步證明求解，如河南卷第23題、北京卷第20題等. 可以看出2021年中考數(shù)學(xué)試題在尺規(guī)作圖的考查上有在作圖依據(jù)及操作原理的理解方面針對任務(wù)設(shè)計的創(chuàng)新，如河北卷第16題等.

“定義、命題、定理”這部分內(nèi)容在《標(biāo)準(zhǔn)》中的要求是通過具體實例，了解定義、命題、定理、推論的意義，了解原命題及其逆命題的概念，會識別兩個互逆命題;知道證明的意義和必要性，了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個命題是錯誤的;等等. 這是發(fā)展學(xué)生邏輯思維的嚴謹性、科學(xué)性的初步要求，是高中繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)邏輯的基礎(chǔ)，這部分要求通常會滲透在對“圖形的性質(zhì)”的其他內(nèi)容考查的過程中. 例如，在證明或求解一道幾何題的時候，分析題意、尋求解決路徑就需要理解要證明的結(jié)論是個怎樣的命題，條件和結(jié)論分別是什么，運用哪些定理能解決這個問題，等等. 往年各地的中考試題中并沒有發(fā)現(xiàn)這部分內(nèi)容的獨立命題，但2021年出現(xiàn)了少量針對這部分內(nèi)容考查的試題，如河北卷第13題、北京卷第20題等，側(cè)重考查了證明的必要性、完備性、推理的依據(jù)等. 分值為2 ～ 3分的選擇題形式，屬于容易題.

二、命題思路分析

“圖形的性質(zhì)”強調(diào)通過實驗探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理論證來研究圖形，在用幾何直觀理解幾何基本事實的基礎(chǔ)上，從基本事實出發(fā)推導(dǎo)圖形的幾何性質(zhì)和定理，理解和掌握尺規(guī)作圖的基本原理和方法. 下面將從命題立意、命題導(dǎo)向、命題創(chuàng)新三個方面進行分析.

1. 從命題立意角度分析

命題立意的內(nèi)涵包括測試目標(biāo)、測試載體、任務(wù)設(shè)計三個方面，本文中測試載體就是與“圖形的性質(zhì)”相關(guān)的所有知識，而不同的測試目標(biāo)就會有不同的任務(wù)設(shè)計，考查學(xué)生的不同能力水平. 因此，根據(jù)試題的測試目標(biāo)可以把試題分為知識立意、能力立意和素養(yǎng)立意三類. 知識立意主要考查對相應(yīng)知識的理解與掌握的程度，檢測雙基的達成情況;能力立意可以理解為在一定條件下，學(xué)生需要綜合運用或遷移運用所學(xué)知識解決問題的能力，主要表現(xiàn)為對數(shù)學(xué)思想方法的考查;素養(yǎng)立意是指在創(chuàng)設(shè)的情境中，學(xué)生經(jīng)歷了完整的發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的過程，在這個過程中表現(xiàn)出來的閱讀理解、抽象建模、轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等各方面的能力，在命題過程中通常通過創(chuàng)設(shè)情境及任務(wù)設(shè)計來體現(xiàn)差異. 因此，把對“圖形的性質(zhì)”的考查分為以下幾種常見的類型.

（1）基于圖形基本要素之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)設(shè)置問題，考查對基本圖形的識別及定義、定理、相關(guān)性質(zhì)等的理解，落實“雙基”.

例1 （廣西·賀州卷）如圖1，下列兩個角是同旁內(nèi)角的是（ ? ）.

（A）∠1與∠2

（B）∠1與∠3

（C）∠1與∠4

（D）∠2與∠4

例2 （遼寧·大連卷）如圖2，AB∥CD，CE⊥AD，垂足為點E，若∠A = 40°，則∠C的度數(shù)為（ ? ）.

（A）40°

（B）50°

（C）60°

（D）90°

例3 （浙江·杭州卷）如圖3，在△ABC中，∠ABC的平分線BD交AC邊于點D，AE⊥BC于點E. 已知∠ABC = 60°，∠C = 45°.

（1）求證：AB = BD;

（2）若AE = 3，求△ABC的面積.

例4 （河北卷）圖4是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點為點C，且∠A，∠B，∠E保持不變. 為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD = 110°，則圖中∠D應(yīng) ? ? ? ?（填“增加”或“減少”）的度數(shù)為 ? ? ? ? .

【評析】以上幾道試題測試載體都是三線八角或是在三線八角的基礎(chǔ)上延伸構(gòu)建出來的三角形、多邊形等基本圖形，考查這些基本圖形構(gòu)成要素（點、線段、角）之間的關(guān)系，題型可以是選擇題、填空題，也可以是解答題. 根據(jù)測試目標(biāo)的難度，可由簡單到復(fù)雜，由靜到動，由單一到綜合，進行任務(wù)設(shè)計.例如，例1僅僅是對“同旁內(nèi)角”的判斷，直接考查對圖形的認識，屬于基礎(chǔ)題;例2在三線八角基本圖形的基礎(chǔ)上加入平行與垂直，進一步考查平行線性質(zhì)與余角的運算;例3則把載體明確為三角形，針對三角形內(nèi)部的邊、角及角平分線、高之間的關(guān)系進行設(shè)問，考查學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運算能力;例4增加了動態(tài)變化元素，在變化過程中考查三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理等知識，同時考查了學(xué)生的知識遷移能力、變中不變的思想. 這類試題難度以容易題、中檔題為主，屬于常見題型.

（2）基于圖形與圖形之間的相互關(guān)系設(shè)置不同層次的問題，考查學(xué)生綜合運用圖形的性質(zhì)解決問題的思維能力，落實基本思想.

例5 （陜西卷）如圖5，AB，BC，CD，DE是四根長度均為5 cm的火柴棒，點A，C，E共線. 若AC = 6 cm，CD⊥BC，則線段CE的長度是（ ?）.

（A）6 cm

（B）7 cm

（C） [62]cm

（D）8 cm

例6 （海南卷）如圖6（1），在正方形ABCD中，E是邊BC上一點，且點E不與點B，C重合，F(xiàn)是BA的延長線上一點，且AF = CE.

（1）求證：△DCE ≌ △DAF;

（2）如圖6（2），連接EF，交AD于點K，過點D作DH⊥EF，垂足為點H，延長DH交BF于點G，連接HB，HC.

① 求證：HD = HB;

② 若DK·HC =[2]，求HE的長.

例7 （江西卷）如圖7（1），四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD為直徑，過點C作CE⊥AB于點E，連接AC.

（1）求證：∠CAD = ∠ECB.

（2）若CE是⊙O的切線，∠CAD = 30°，連接OC，如圖7（2）所示.

① 試判斷四邊形ABCO的形狀，并說明理由;

② 當(dāng)AB = 2時，求AD，AC與[CD]圍成陰影部分的面積.

【評析】以上試題分別以三角形、四邊形、圓為載體，通過全等、相似等圖形與圖形之間的關(guān)系，結(jié)合三角形、四邊形、圓等圖形的基本性質(zhì)，考查了長度、角度、面積的基本運算，以及基于圖形與圖形之間的邏輯推理關(guān)系. 試題具有一定的綜合性，通常以中檔題為主，解答題居多. 其中也充分體現(xiàn)了對應(yīng)思想、轉(zhuǎn)化思想和模型觀念. 通常每份中考試卷中都會有這樣一道幾何綜合題，屬于常見題. 大多數(shù)中考數(shù)學(xué)試卷中，都會把圓作為幾何綜合題的載體，把對圓的基本性質(zhì)、基本定理的考查作為鋪墊，更注重圓中相關(guān)圖形的形狀、位置及大小關(guān)系的證明、計算與探究. 例7以圓為素材，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形上的點C在圓上的不同位置，設(shè)置不同的條件，設(shè)計了∠CAD與∠ECB的相等關(guān)系的證明、平行四邊形的判定、求不規(guī)則圖形的面積等遞進式的設(shè)問，綜合考查了直徑所對圓周角為直角、圓內(nèi)接四邊形對角互補、平角的定義、直角三角形的性質(zhì)，以及等角的補（余）角相等、圓的切線性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含有30°角的直角三角形的性質(zhì)、扇形的面積等，較好地滲透了從一般到特殊、轉(zhuǎn)化思想，考查了學(xué)生的直觀想象、合情推理和邏輯推理能力，以及數(shù)學(xué)運算素養(yǎng). 類似地，還有浙江金華卷第10題，把勾股定理學(xué)習(xí)過程中常見的基本圖形與圓結(jié)合起來，即以直角三角形的三條邊為邊向形外作三個正方形，其中正方形的頂點E，F(xiàn)，G，H，M，N都在同一個圓上（如圖8），任務(wù)指向求圓與直角三角形的面積之比，設(shè)問突破常規(guī)，讓學(xué)生關(guān)注到不僅這三個正方形之間的面積有聯(lián)系，而且這個直角三角形與圓之間也存在一定的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了基于教材習(xí)題的創(chuàng)新.

（3）基于數(shù)學(xué)活動在圖形的變化中探究，落實基本思想、基本活動經(jīng)驗，考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

例8 （湖北·武漢卷）問題提出：

如圖9（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB = ∠DCE = 90°，BC = AC，EC = DC，點E在△ABC內(nèi)部，直線AD與BE交于點F.線段AF，BF，CF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

問題探究：

（1）先將問題特殊化如圖9（2）所示，當(dāng)點D，F(xiàn)重合時，直接寫出一個等式，表示AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系;

（2）再探究一般情形如圖9（1）所示，當(dāng)點D，F(xiàn)不重合時，證明（1）中的結(jié)論仍然成立.

問題拓展：

如圖9（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB = ∠DCE = 90°，BC = kAC，EC = kDC（k是常數(shù)），點E在△ABC內(nèi)部，直線AD與BE交于點F. 直接寫出一個等式，表示線段AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系.

例9 （江西卷）如圖10，在邊長為[63]的正六邊形ABCDEF中，連接BE，CF，其中點M，N分別為BE和CF上的動點. 若以點M，N，D為頂點的三角形是等邊三角形，且邊長為整數(shù)，則該等邊三角形的邊長為 ? ? ?.

【評析】《標(biāo)準(zhǔn)》中圖形的變化指的是平移、旋轉(zhuǎn)、相似、對稱等，由于這些不屬于“圖形的性質(zhì)”范疇，所以在本文中這一類試題沒有舉例. 這里的圖形的變化指的是動點問題帶來的圖形變化，或者是動手操作過程中帶來的圖形變化等. 例8通過共頂點的兩個三角形由特殊到一般地通過一定的活動操作、觀察、歸納與類比，探究相關(guān)線段之間的關(guān)系;例9以正六邊形為背景，通過兩條對角線上的兩個動點與頂點D構(gòu)建等邊三角形，任務(wù)指向求等邊三角形在變化過程中邊長為整數(shù)時的值，重點考查分類討論思想，還有浙江麗水卷以“紅色研學(xué)”用七巧板制作“奔跑者”形象，讓學(xué)生倍感親切，七巧板是我國傳統(tǒng)智力玩具，命制計算“奔跑者”兩腳之間的跨度，讓學(xué)生在玩中學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué). 類似地，還有江西卷第6題、浙江金華卷第15題、浙江湖州卷第16題等.

（4）基于現(xiàn)實情境，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用.

例10 （浙江·臺州卷）小光準(zhǔn)備從A地去往B地，打開導(dǎo)航顯示兩地距離為37.7 km，但導(dǎo)航提供的三條可選路線長卻分別為45 km，50 km，51 km（如圖11）. 能解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識是（ ?）.

（A）兩點之間，線段最短

（B）垂線段最短

（C）三角形兩邊之和大于第三邊

（D）兩點確定一條直線

例11 （吉林·長春卷）將一副三角板按如圖12所示的方式擺放，點D在邊AC上，BC∥EF，則∠ADE的度數(shù)為 ? ? .

例12 （青海卷）如圖13，一根5 m長的繩子，一端拴在圍墻墻角的柱子上，另一端拴著一只小羊A（羊只能在草地上活動），那么小羊A在草地上的最大活動區(qū)域面積是（ ?）.

（A） [1712]πm2

（B） [7712]πm2

（C） [254]πm2

（D） [176]πm2

【評析】例10以生活中常用的導(dǎo)航畫面為載體，考查學(xué)生對生活現(xiàn)象的數(shù)學(xué)解釋，強化應(yīng)用，促進對數(shù)學(xué)本質(zhì)的進一步認識;例11借助一副三角板，自然擺放構(gòu)造出“相交線與平行線”，以填空題形式考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、幾何直觀及數(shù)學(xué)運算能力;例12是生活情境，考查了學(xué)生在具體情境中分析、解決問題的能力，小羊的最大活動區(qū)域是一個半徑為5、圓心角為90°的扇形和一個半徑為1、圓心角為60°的扇形的面積和，對小羊活動范圍的分析考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)運算素養(yǎng). 這幾道題難度不大，設(shè)計精巧，類似的還有山東棗莊卷第2題、湖北隨州卷第3題、安徽卷第5題、湖南岳陽卷第5題等. 這類試題在命制時常以學(xué)具、工具及日常生活中常見的現(xiàn)象或者實物為情境，從情境中抽象出數(shù)學(xué)圖形，挖掘圖形中邊角之間的關(guān)系，進行任務(wù)設(shè)計. 通常有兩類任務(wù)要求：一類是在推理基礎(chǔ)上的運算求值，如求長度、角度、弧長、周長、面積等;另一類是對各圖形之間的位置關(guān)系的猜想、驗證及證明等，如證線段相等、角相等、三角形全等. 試題的難度取決于素材抽象出來的數(shù)學(xué)圖形的復(fù)雜程度，圖形越復(fù)雜，需要用到的數(shù)學(xué)知識越豐富，對能力要求就越高，難度也就越大.

2. 從命題導(dǎo)向角度分析

教育部印發(fā)的《關(guān)于加強學(xué)業(yè)水平考試命題工作的意見》中明確要求，嚴格依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》科學(xué)命題，發(fā)揮考試命題的教育教學(xué)導(dǎo)向功能. 2021年全國各地中考數(shù)學(xué)試題普遍體現(xiàn)以下三個方面的命題導(dǎo)向.

（1）注重從教材中選取素材，問題設(shè)計回歸基礎(chǔ)，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，對課堂教學(xué)起到良性引導(dǎo)作用.

例13 （浙江·湖州卷）為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校用紅色燈帶制作了一個如圖14所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五角星的五個頂點），則圖中∠A的度數(shù)是 ? ? ? .

例14 （內(nèi)蒙古·赤峰卷）如圖15，在擰開一個邊長為a的正六角形螺帽時，扳手張開的開口b = 20 mm，則邊長a的值為 ? ? ? .

【評析】例13的素材與北師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊總復(fù)習(xí)中第199頁中的第37題的圖形一致，命題者給圖形賦予“建黨100周年”的時代特征，降低了教材習(xí)題的難度，改編成填空題，考查正多邊形的性質(zhì);例14取材于人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級上冊第108頁習(xí)題24.3中的第5題，把教材中的“綜合運用”的解答題改編成填空題，并交換原題的條件與結(jié)論，降低難度，考查了正六邊形有關(guān)邊的計算和數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想. 這些試題素材都來源于教材，學(xué)生是非常熟悉的，通過改變題型和問題設(shè)置，起到同樣的考試功能. 對引導(dǎo)教學(xué)、回歸教材、重視基礎(chǔ)、促進“雙減”政策落實具有良好的導(dǎo)向作用. 類似的試題還有河北卷第10題、山東濟寧卷第7題、福建卷第7題、湖南株洲卷第8題、四川成都卷第10題、四川自貢卷第5題等.

（2）基于古代科學(xué)情境、數(shù)學(xué)文化情境進行任務(wù)設(shè)計，體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用及育人價值.

例15 （甘肅卷）在《阿基米德全集》中的《引

理集》中記錄了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)圓的一個引理. 如圖16，已知[AB]，C是弦AB上一點，試根據(jù)以下步驟完成這個引理的作圖過程.

（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）;

① 作線段AC的垂直平分線DE，分別交[AB]于點D，交AC于點E，連接AD，CD;

② 以點D為圓心，DA長為半徑作弧，交[AB]于點F（F，A兩點不重合），連接DF，BD，BF.

（2）直接寫出引理的結(jié)論：線段BC，BF的數(shù)量關(guān)系.

例16 （河南卷）如圖17（1），在古代，智慧的勞動人民已經(jīng)會使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個固定長度的“連桿”，推動“連桿”帶動磨盤轉(zhuǎn)動，將糧食磨碎，物理學(xué)上稱這種動力傳輸工具為“曲線連桿機構(gòu)”. 小明受此啟發(fā)設(shè)計了一個“雙連桿機構(gòu)”，設(shè)計圖如圖17（2）所示. 兩個固定長度的“連桿”AP，BP的連接點P在⊙O上，當(dāng)點P在⊙O上轉(zhuǎn)動時，帶動點A，B分別在射線OM，ON上滑動，OM⊥ON.當(dāng)AP與⊙O相切時，點B恰好落在⊙O上，如圖17（3）所示. 試僅就圖17（3）的情形解答下列問題.

（1）求證：∠PAO = 2∠PBO;

（2）若⊙O的半徑為5，AP =[203]，求BP的長.

【評析】例15以《引理集》中阿基米德提出的關(guān)于圓的引理為素材，設(shè)計用尺規(guī)作圖的步驟展示出引理的條件，讓學(xué)生經(jīng)歷作圖的過程，依據(jù)作圖得到的邊角關(guān)系推理得出引理的結(jié)論，感悟古人的智慧和數(shù)學(xué)的魅力;例16在古代石磨連桿工作原理的基礎(chǔ)上進一步創(chuàng)設(shè)雙連桿機構(gòu)，即過圓上一點的兩條線段與圓的動態(tài)探究問題，情境創(chuàng)設(shè)有新意，讓人眼前一亮，體現(xiàn)了科學(xué)性、趣味性. 類似地，湖北鄂州卷第8題根據(jù)徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪的筒車的工作原理抽象成數(shù)學(xué)圖形考查圓的基本性質(zhì);北京卷第20題以《淮南子·天文訓(xùn)》中記載的一種確定東西方向的方法為素材，通過考查尺規(guī)作圖思考推理過程，并將推理過程補充完整，這既是考查學(xué)生的閱讀理解能力，更是對學(xué)生思維嚴謹性的考查，滲透了我國古代的數(shù)學(xué)文化，也凸顯了數(shù)學(xué)文化在學(xué)業(yè)評價中的重要性.

數(shù)學(xué)史料是數(shù)學(xué)命題素材來源之一，近幾年關(guān)于數(shù)學(xué)文化情境試題的命制已非常普遍，命題技術(shù)也得到發(fā)展和提升. 最初是直接引用史料并配上譯文，讓學(xué)生理解并解答，這類試題往往是送分題，沒有多少思維含量;逐步發(fā)展到讓學(xué)生在閱讀史料的基礎(chǔ)上，依據(jù)數(shù)學(xué)史料中的思想、方法解決問題;再發(fā)展到在數(shù)學(xué)文化的背景下進一步改編、拓展，命題的思路和內(nèi)涵都比以前更加豐富了，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的應(yīng)用價值及與育人價值.

（3）命制閱讀理解型試題，引導(dǎo)教學(xué)，注重數(shù)學(xué)思考與表達.

例17 （湖北·荊州卷）閱讀下列材料，其①～④步中數(shù)學(xué)依據(jù)錯誤的是（ ?）.

[如圖18，已知直線b∥c，a⊥b，求證：a⊥c.

證明： ① 因為a⊥b，（已知）

所以∠1 = 90°. （垂直的定義）

② 又因為b∥c，（已知）

所以∠1 = ∠2. （同位角相等，兩直線平行）

③ 所以∠2 = ∠1 = 90°. （等量代換）

④ 所以a⊥c. （垂直的定義） ]

（A）① （B）②

（C）③ （D）④

例18 （貴州·貴陽卷）（1）閱讀理解.

我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中. 漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖19（1）所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”.

根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理和推理過程.

（2）問題解決.

勾股定理的證明方法有很多，圖19（2）是古代的一種證明方法：過正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，將它分成4份，所分成的四部分和以BC為邊的正方形恰好能拼成以AB為邊的正方形. 若AC = 12，BC = 5，求EF的值.

（3）拓展探究.

如圖19（3），以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到“勾股樹”的部分圖形.設(shè)大正方形N的邊長為定值n，小正方形ABCD的邊長分別為a，b，c，d.

已知∠1 = ∠2 = ∠3 = α，當(dāng)角α（0° < α < 90°）變化時，探究b與c的關(guān)系式，并寫出該關(guān)系式及解答過程（b與c的關(guān)系式用含n的式子表示）.

【評析】例17以一個命題的證明過程為閱讀材料，根據(jù)閱讀材料對證明依據(jù)的正確與否做出判斷并選擇;例18以“趙爽弦圖”為閱讀材料命制試題，通過閱讀理解、問題解決、拓展探究三個層次遞進設(shè)問，讓學(xué)生經(jīng)歷了論證、應(yīng)用和拓展的認知過程，逐步深化對勾股定理的理解，并滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng). 同類試題還有湖南長沙卷第19題以人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊第35 ～ 36頁的“作一個三角形與已知三角形全等的方法”為閱讀材料設(shè)置填空題，考查學(xué)生對尺規(guī)作圖的理解、全等的判定，以及判定依據(jù)的理解與表達. 還有山西卷第20題給出“圖算法”的閱讀材料，文字量較大，有424個字，針對這段文字設(shè)置兩個問題，第（1）小題要求說出圖算法的優(yōu)越性，第（2）小題要求分別用代數(shù)運算和幾何證明來驗證圖算法的正確性，既考查了實數(shù)運算，又考查了等邊三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)，除了材料文字量偏大之外，也不失為一種創(chuàng)新的設(shè)問方式. 類似地，還有以教材中勾股定理為閱讀材料考查的試題，如山西卷第8題，通過展示多種勾股定理的“無字證明”圖，讓學(xué)生思考、領(lǐng)悟其中蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法（數(shù)形結(jié)合思想）;四川資陽卷第8題以趙爽弦圖為背景，適當(dāng)改編，延長中間小正方形對角線，增加新的邊角關(guān)系并設(shè)問，通過構(gòu)造直角三角形求解，考查銳角三角函數(shù).

3. 命題創(chuàng)新點及命題趨勢

與往年相比，2021年中考數(shù)學(xué)試題“圖形的性質(zhì)”的考查整體覆蓋面更寬，各地積極探索回歸基礎(chǔ)、注重與生活之間的聯(lián)系，突出數(shù)學(xué)理解的命題趨勢，在尺規(guī)作圖、加強幾何直觀、開放性試題、綜合與實踐試題的命制上不斷嘗試創(chuàng)新.

（1）開放性試題的嘗試.

例19 （浙江·杭州卷）在① AD = AE，② ∠ABE = ∠ACD，③ FB = FC，這三個條件中選擇其中一個，補充在下面的問題中，并完成問題的解答.

問題：如圖20，在△ABC中，∠ABC = ∠ACB，點D在AB邊上（不與點A，B重合），點E在AC邊上（不與點A，C重合），連接BE，CD，BE與CD相交于點F. 若 ? ? ?，求證：BE = CD.

【評析】此題是在限制條件下的條件開放性試題，命題者要求在三個條件中選擇一個放入試題結(jié)構(gòu)中，再進一步完成試題的證明，答案不唯一，任選一個條件都可證，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等，與傳統(tǒng)的推理證明題相比，多了學(xué)生自主選擇、思考的過程，體現(xiàn)了創(chuàng)新性. 開放性試題的命制在學(xué)業(yè)水平考試試題命制過程中會受諸多因素的制約，如考試時間、難度控制、閱卷評分等，一直以來各地命題者都在謹慎探索的過程中，2020年筆者在《回歸本質(zhì) ?適度創(chuàng)新——2020年中考試題總評》一文中曾列舉一些在統(tǒng)計題的任務(wù)設(shè)計中設(shè)置開放性問題的嘗試，這樣的開放通常是結(jié)論的開放，2021年在“圖形的性質(zhì)”的考查中也出現(xiàn)了這樣的嘗試. 例如，山西卷第20題的第（1）小題，在閱讀完材料之后，提問“試根據(jù)以上材料簡要說明圖算法的優(yōu)越性”就是考查學(xué)生自己的思考和理解，答案是不唯一的，具有開放性.

（2）對尺規(guī)作圖考查的創(chuàng)新.

例20 （北京卷）《淮南子·天文訓(xùn)》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時，在地面上點A處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點B，使B，A兩點間的距離為10步（步是古代的一種長度單位），在點B處立一根桿;日落時，在地面上沿著點B處的桿的影子的方向取一點C，使C，B兩點間的距離為10步，在點C處立一根桿. 取CA的中點D，那么直線DB表示的方向為東西方向.

（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點A，B，C的位置如圖21所示.使用直尺和圓規(guī)，在圖中作CA的中點D（保留作圖痕跡）;

（2）在圖21中，確定了直線DB表示的方向為東西方向. 根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線CA表示的方向為南北方向，完成如下證明.

證明：在△ABC中，BA = ? ，D是CA的中點，

所以CA⊥DB（ ?）（填推理的依據(jù)）.

因為直線DB表示的方向為東西方向，

所以直線CA表示的方向為南北方向.

【評析】此題以《淮南子·天文訓(xùn)》中記載的一種確定東西方向的方法為素材，抽象出數(shù)學(xué)圖形，設(shè)計了2道小題，第（1）小題用尺規(guī)作出線段AC的中點，第（2）小題是對第（1）小題的操作進行數(shù)學(xué)解釋，說明操作的合理性，體現(xiàn)思維上的遞進. 命題者適當(dāng)降低對學(xué)生的要求，以填空的方式只需學(xué)生寫出推理依據(jù)即可，從命題立意的角度來看，對尺規(guī)作圖的考查不僅作為知識點，還可以作為解決問題的一種工具，在掌握操作的同時更要理解操作的依據(jù)，這會是今后尺規(guī)作圖考查的方向之一. 類似試題還有陜西卷第17題，把簡單的邏輯推理與尺規(guī)作圖結(jié)合起來考查，強調(diào)只有理解“到兩平行線l1，l2的距離相等的點一定是線段AB的中點，才能進一步通過作AB的垂直平分線完成任務(wù);湖南長沙卷第19題通過尺規(guī)作圖展示作三角形的過程（使它與已知三角形的三邊相等），要求補全所作三角形與已知三角形全等的證明過程及推理的依據(jù);河南卷第23題以小明和小軍的兩種作角平分線的方法為閱讀材料，設(shè)置3道小題，前2道小題是對這兩種作法的背后原理的理解和證明，第（3）小題是以小軍所作的圖為基本圖形考查全等三角形的判定與性質(zhì)等基本內(nèi)容和分類討論的數(shù)學(xué)思想，把這道題作為整卷的壓軸，也是新的嘗試.

（3）從直觀理解基本事實及基本性質(zhì)角度嘗試創(chuàng)新，突出幾何直觀.

例21 （浙江·寧波卷）抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一. 如圖22，

AC，BD分別與⊙O相切于點C，D，延長AC，BD交于點P. 若∠P = 120°，⊙O的半徑為6 cm，則圖中[CD]的長為 ? ? ? .（結(jié)果保留π.）

例22 （河北卷）如圖23，已知四條線段a，b，c，d中的一條與擋板另一側(cè)的線段m在同一直線上，試借助直尺判斷該線段是（ ?）.

（A）a ? ? （B）b

（C）c ? ? ? （D）d

【評析】例21以國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)抖空竹為素材，直觀地將其抽象為兩條直線與圓相切的問題，考查切線長定理、直角三角形和弧長的計算問題;例22設(shè)計新穎有趣，借助數(shù)學(xué)工具解釋生活中常見的現(xiàn)象，判斷被擋板擋住的線段共線問題，盡管是容易題，也凸顯幾何直觀在數(shù)學(xué)抽象過程中的作用. 對幾何直觀的考查還會在一些綜合探究的解答題中體現(xiàn)，如山東棗莊卷第24題，是一道新定義幾何綜合探究題，題干給出“垂美四邊形”的定義，然后以“概念理解—性質(zhì)探究—解決問題”為主線，依次設(shè)置三個層次的問題，在性質(zhì)探究環(huán)節(jié)要求通過觀察猜想[AD2+BC2]與[AB2+CD2]之間的關(guān)系并證明，凸顯了直覺思維的作用，考查了學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，類似的試題還有很多，在此不一一贅述.

三、復(fù)習(xí)課教學(xué)啟示

研究關(guān)于“圖形的性質(zhì)”試題的命制特點，既可以學(xué)習(xí)與改進命題技術(shù)，又是為了體現(xiàn)學(xué)業(yè)水平考試命題對教育教學(xué)的導(dǎo)向作用，促進課堂教學(xué)的提質(zhì)增效. 教育部提出的“依標(biāo)命題”“科學(xué)命題”的要求，是為了打破“以考定教”的模式，進一步促進在課堂教學(xué)中落實立德樹人的育人目標(biāo)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 因此，無論是在九年級的復(fù)習(xí)教學(xué)中還是在日常教學(xué)中，都需要注意以下幾點.

1. 強化學(xué)科育人，滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

理性思維是人類思維的高級形式，而數(shù)學(xué)學(xué)科育人的核心是發(fā)展學(xué)生的理性思維，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì). 因此，在課堂教學(xué)中要注重兩個方面的育人功能. 一方面，關(guān)注數(shù)學(xué)本身的學(xué)科特點，在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng);另一方面，加強聯(lián)系生活實際，注重創(chuàng)設(shè)真實情境、社會人文情境、傳統(tǒng)文化與數(shù)學(xué)文化情境等，開展基于情境、問題導(dǎo)向、深度思考、高度參與的課堂教學(xué)模式，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，體現(xiàn)育人功能.

2. 重視知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，整體把握“圖形的性質(zhì)”的主要脈絡(luò)，避免機械化題型訓(xùn)練

教師要加強對《標(biāo)準(zhǔn)》的研究，領(lǐng)悟?qū)Α皥D形的性質(zhì)”所有內(nèi)容的要求，抓住研究幾何圖形的一般思路就是“認識圖形（明確組成要素，定義相關(guān)概念）—圖形性質(zhì)（各要素之間的關(guān)系）—圖形判定—圖形之間的關(guān)系”，對于每一個研究對象都可以做到一線貫穿，這是縱向的聯(lián)系;不同對象之間突出內(nèi)在關(guān)聯(lián)，即適當(dāng)?shù)卦黾狱c、線、角等元素，就會產(chǎn)生新的對象及相互關(guān)系，這樣就可以把相交線、平行線與三角形、四邊形等全部串起來，這是橫向的聯(lián)系. 在縱橫交錯之間就可以覆蓋所有的知識內(nèi)容，不需要刻意把一些所謂的“模型”或者“套路”強加給學(xué)生，反復(fù)訓(xùn)練，讓學(xué)生產(chǎn)生應(yīng)激反應(yīng)，達到快速解題的目的，這樣會增加學(xué)生的負擔(dān)，同時對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維及核心素養(yǎng)的培養(yǎng)也是不利的.

3. 重視數(shù)學(xué)閱讀與文化滲透，培養(yǎng)數(shù)學(xué)文本閱讀能力與數(shù)學(xué)理解能力

在復(fù)習(xí)課的教學(xué)中，一線教師主觀上會非常排斥文字量較大的數(shù)學(xué)試題，通常會在講解過程中直接代替學(xué)生閱讀，并給出數(shù)學(xué)化的結(jié)果，忽略學(xué)生自己閱讀、思考、理解，并數(shù)學(xué)化的過程，導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)文本的閱讀存在畏難、恐懼、抵觸的心理，這與中考命題對課堂教學(xué)的導(dǎo)向是不符的. 加強數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，與傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)文化的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生具備自主閱讀、自主學(xué)習(xí)的能力. 學(xué)生必須學(xué)會通過閱讀獲取有價值的數(shù)學(xué)信息. 結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識對獲取的信息進行推理、判斷、識別，建立數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，是今后發(fā)展的趨勢，如2021年中考數(shù)學(xué)試題中就有文字量達到400多字的單個試題. 因此，在教學(xué)過程中需要培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)文本閱讀的興趣，并能在閱讀過程中自主思考，逐步學(xué)會在閱讀中運用數(shù)學(xué)思維. 還可以引導(dǎo)學(xué)生多閱讀數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)科普書籍、數(shù)學(xué)家的故事等，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力. 例如，關(guān)于“勾股定理”，可以讓學(xué)生查閱有關(guān)歷史資料，多開展交流活動等.

4. 重視開放性、探究性教學(xué)活動的設(shè)計，促進學(xué)生的思考、表達

在復(fù)習(xí)教學(xué)時，教師可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計開放性、探究性問題，引領(lǐng)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動. 開放性問題的設(shè)計要有基礎(chǔ)性、層次性、發(fā)展性和挑戰(zhàn)性. 幾何教學(xué)中，每一個概念的形成，每一個命題的建立，每一個結(jié)論的證明都要經(jīng)過觀察、分析、猜想、判斷，再加以科學(xué)論證，這些都離不開基于推理的數(shù)學(xué)思考. 教學(xué)中教師應(yīng)鼓勵學(xué)生從不同角度和方向思考問題，培養(yǎng)他們思維的靈活性. 同時，引導(dǎo)學(xué)生不滿足于停留在表面上，要善于概括歸類，抓住事情的本質(zhì)規(guī)律，預(yù)見事情發(fā)展的進程，把思維引向一定的深度和廣度，培養(yǎng)思維的深刻性. 在幾何教學(xué)中，教師要注意給學(xué)生足夠的時間和空間，啟發(fā)學(xué)生積極思考，多讓學(xué)生動手操作，經(jīng)歷從感性到理性、從具體到抽象的過程，并能完整、準(zhǔn)確地表達出來，增強學(xué)生之間交流表達的時間，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位.

四、模擬題賞析

為了便于交流與學(xué)習(xí)，特為大家提供幾道“圖形的性質(zhì)”的模擬題，愿與大家共同探討.

1. 將含30°角的三角板（三個頂點分別為A，B，C）和直尺按如圖24所示的方式擺放，交點分別為F，D，E，且[CD=CE]，則∠BFA的值為（ ? ?）.

（A）120° （B）135°

（C）140° （D）150°

答案：B.

【提示】借助平行關(guān)系、平角的定義和三角形的內(nèi)角和求解.

2. 如圖25，在矩形ABCD中，AB =[3]AD，點E為AB上的動點，△DEF為等邊三角形，過點F作FK垂直BD于點K，以下結(jié)論不正確的是（ ? ?）.

（A）當(dāng)點F落到CD上時，連接BF，四邊形DEBF是菱形

（B）△DEA ≌ △DFK

（C）K為BD中點

（D）若AD = 1，則點F的運動路徑長為[2π]

答案：D.

【提示】此題以共頂點的矩形和等邊三角形為背景，觀察與思考相關(guān)點、線及圖形之間的形狀、位置及大小關(guān)系.

3. 下面是小于同學(xué)設(shè)計的“過直線外一點作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：如圖26，直線[l]及直線[l]外一點[P.] 求作：直線[PQ]，使得[PQ∥l].

小于同學(xué)的作法如下：

（1）在直線[l]的下方取一點[O];

（2）以點[O]為圓心，[OP]長為半徑畫圓，[⊙O]交直線[l]于點[C，D] （點[C]在左側(cè)），連接[CP];

（3）以點[D]為圓心，[CP]長為半徑畫圓，交[⊙O]于點[Q，N] （點[Q]與點[P]位于直線[l]同側(cè)）;

（4）作直線[PQ].

所以直線[PQ]即為所求.

試依據(jù)小于同學(xué)設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，完成下列問題.

（1）使用直尺和圓規(guī)，完成作圖（保留作圖痕跡）;

（2）完成下面的證明：

證明：連接[DP，]

因為[CP=DQ，]

所以[CP=DQ]（ ? ?）（填推理的依據(jù)）.

所以[∠PDC=∠DPQ]（ ? ?）（填推理的依據(jù)）.

所以[PQ∥l]（ ? ?）（填推理的依據(jù)）.

解：（1）如圖27所示.

（2）在同圓中，等弧所對的弧相等;在同圓中，等弧所對的圓周角相等;內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

4. 如圖28，D是△ABC外的一點，DA = DC，∠DCB = ∠DAB，過點D作DF⊥AB于點F，DE⊥CB的延長線于點E，連接DB. 求證：點D在∠ABE的平分線上.

證明：通過兩三角形全等進行證明，具體過程略.

5. 已知△ABC和△FDE是等邊三角形，點A，B，D，E在同一直線上，D是AE的中點，限用無刻度直尺作圖.

（1）在圖29（1）中作線段AE的中垂線;

（2）在圖29（2）中過點F作AE的平行線;

答案：（1）如圖30（1），DM是所作的中垂線;

（2）如圖30（2），F(xiàn)Q是所作的平行線.

6. 如圖31（1），在矩形ABCD中，點G為線段AD上的一動點，△ABG的外接圓交BC交于點M，線段OF∥AD，交CD于點F，與⊙O交于點E.

（1）AB = 6.

① 當(dāng)AG為何值時，四邊形ABMG為正方形;

② 當(dāng)AG為何值時，四邊形BMEO為菱形.

（2）如圖31（2），若AB = AD = a，⊙O半徑為R，探究a與R滿足什么關(guān)系時，⊙O與CD相切，并說明理由.

解：（1）① 當(dāng)AG = 6時，四邊形ABMG為正方形;

② 當(dāng)AG =[23]時，四邊形BMEO為菱形.

（2）R =[58a]，理由略.

7. 如圖32，已知四邊形ABCD和直線l，過四邊形ABCD的各頂點分別作直線l的垂線段，分別記作dA，dB，dC，dD .

（1）若四邊形ABCD是正方形，如圖32（1），直線l經(jīng)過點D，直接寫出dA，dB，dC的數(shù)量關(guān)系.

（2）若四邊形ABCD是平行四邊形.

① 若直線l經(jīng)過點D，如圖32（2），寫出dA，dB，dC的數(shù)量關(guān)系，并證明;

② 直線l不經(jīng)過四邊形ABCD的各頂點，如圖32（3），寫出dA，dB，dC，dD的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（3）若四邊形ABCD是正方形，邊長為12，如圖32（4），直線l經(jīng)過CD的中點M，且直線l與CD的夾角為60°，直接寫出dA + dB + dC + dD的值.

解：（1）dA + dC = dB.

（2）① dA + dC = dB，通過三角形全等實現(xiàn)相關(guān)線段之間的轉(zhuǎn)移求解，證明略.

② dA + dC +dD = dB，證明略.

（3） [12+63].

8. 如圖33（1），已知BH = 6，點C是線段BH上的動點，分別以BC，CH為邊向同一側(cè)作正方形BCDA和正方形CHKG，則稱正方形BCDA和正方形CHKG為相伴正多邊形，若點E和點F分別是相伴正多邊形的中心，設(shè)P是EF的中點.

（1）延長BD交HG于點M，連接CE，CF，判斷四邊形CEMF的形狀，并證明;

（2）直接寫出點P運動的路徑是什么圖形，并直接寫出該路徑長;

（3）如圖33（2），若△BCA和△CHD是相伴正三角形，點E和點F分別是相伴正三角形的中心，P是EF的中點，求出點P的路徑長.

解：（1）四邊形CEMF為矩形，證明略;

（2）點P運動的路徑是一條線段，點P運動的路徑長為3;

（3）點P運動的路徑是一條線段，點P運動的路徑長為3.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

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[3]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家委員會.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.