張佳萍

[摘? 要] “最短路徑問題”是各版本教材著力強調(diào)的重點，也是中考考查的熱點，筆者以自編游戲情境的形式演繹“最短路徑問題”，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力，通過動手、動口、動腦培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力、合作互動能力與數(shù)學(xué)建模能力.

[關(guān)鍵詞] 自編;游戲情境;最短路徑;初中數(shù)學(xué)

“最短路徑問題”是各版本教材著力強調(diào)的重點，也是中考考查的熱點，其以“將軍飲馬”問題為經(jīng)典模型，主要考查線段公理及軸對稱性質(zhì)，常表現(xiàn)為求線段和的最小值. 教學(xué)中，教師雖著力分析與強調(diào)，但學(xué)生每遇此種類型題，總是一頭霧水，不知從何入手. 為了突破這個教學(xué)重難點，筆者以自編游戲情境的形式演繹“最短路徑問題”，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力，通過動手操作、小組合作實現(xiàn)問題的突破.

基于游戲情境的教學(xué)設(shè)計

環(huán)節(jié)1? 經(jīng)典永流傳.

“將軍飲馬”的故事：海倫是亞歷山大城里一位有名的學(xué)者. 有一天，一位將軍去拜訪海倫，想請海倫解答一個令這位將軍百思不得其解的問題：將軍每天從圖1中的營地A出發(fā)，到河流l（直線l）飲馬后再到營地B，那么將軍應(yīng)在河流的什么地點飲馬，所走的路程才能最短呢？[1]

設(shè)計意圖? 首先介紹“將軍飲馬問題”的出處，給學(xué)生以歷史的真實感，以著名學(xué)者海倫解決“最短路徑問題”引起學(xué)生重視，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望和學(xué)習(xí)興趣.

環(huán)節(jié)2? 自編游戲情境——悟空降妖除魔.

科學(xué)家愛因斯坦曾言：“興趣是最好的老師.”一個人只有對一件事產(chǎn)生了興趣，才會自主去探究與發(fā)現(xiàn)，且在探索求知的過程中，他的情緒是愉悅的，學(xué)習(xí)的效果也是最佳的.

游戲背景：話說唐僧師徒四人去西天取經(jīng)，一路上披荊斬棘，降妖除魔，為了取得真經(jīng)可以說歷盡艱險，上演了一段段英雄傳奇的故事.

設(shè)計意圖? 通過學(xué)生耳熟能詳?shù)摹段饔斡洝纷屍湓诟惺苤腥A傳統(tǒng)文化的同時，自然進入本節(jié)課學(xué)習(xí)的重難點，把本節(jié)課的各類問題置于闖關(guān)游戲中，游戲關(guān)卡由淺入深，不斷遞進.

第一關(guān)：唐僧師徒四人來到黃風(fēng)嶺，在河流的下游A處休息時下起了暴雨，河水漲得很快，他們應(yīng)盡快到對岸河流上游的B地才能躲避險情，走怎樣的路線才能最節(jié)省時間呢？（最短路線的設(shè)計如圖2所示）

設(shè)計意圖? 此類問題是“最短路徑問題”中最簡單的一類，只需應(yīng)用線段公理“兩點之間，線段最短”就可以解決問題. 學(xué)生由此經(jīng)歷了從實際問題到數(shù)學(xué)問題的一小步，為下面繼續(xù)闖關(guān)提供了理論支撐.

第二關(guān)：唐僧師徒四人到五莊觀投宿，豬八戒引誘孫悟空去偷來人參果，師兄弟一起分享. 道童發(fā)現(xiàn)人參果少了幾個，怒罵唐僧師徒四人，孫悟空怒不可遏，把人參果樹推倒. 趁著夜色師徒四人匆匆逃逸，鎮(zhèn)元大仙用法術(shù)將他們捉了回去. 鎮(zhèn)元大仙聲稱，如果孫悟空能夠解決“將軍飲馬問題”，就放他們師徒四人走.

設(shè)計意圖? 讓經(jīng)典故事在第二關(guān)中重現(xiàn)，一方面是學(xué)生必須解決這個經(jīng)典問題才能解決其他問題，另一方面是突出本節(jié)課的重點——引導(dǎo)學(xué)生如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，強化學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力. 學(xué)生幫助孫悟空從中抽象出的數(shù)學(xué)模型如下：在固定直線MN的同側(cè)有兩個固定點A，B，在直線MN上求作一點C，使AC+BC最小. 解決方法為：作點A的對稱點A′，連接A′B與直線MN的交點C就是所求作的點. 如圖3所示.

第三關(guān)：唐僧無意中闖進了黃袍怪的洞府. 黃袍怪的夫人原是寶象國公主百花羞，十三年前被擄進波月洞. 她悄悄放走了唐僧，請他給父王送信. 為了讓父王相信師徒四人，百花羞把“將馬飲馬問題”的證明過程交給了師徒四人，作為他們見面時的信物：

如圖4所示，在直線MN上取一點不同于點C的點C′，分別連接AC′，BC′，A′C′. 由軸對稱的性質(zhì)，得AC=A′C，AC′=A′C′，這樣AC+BC轉(zhuǎn)化為A′C+BC，即轉(zhuǎn)化為A′B，且AC′+BC′轉(zhuǎn)化為A′C′+BC′. 因為在△A′C′B中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得A′B< A′C′+BC′，所以AC+BC最小.

設(shè)計意圖? 學(xué)生掌握數(shù)學(xué)模型僅是“知其然”，還應(yīng)“知其所以然”. 通過證明這種作圖方法的正確性，才能讓學(xué)生信服，從而進一步理解這種作圖方法的深層含義，即利用軸對稱的性質(zhì)用點A的對稱點將其代替，從而實現(xiàn)“化折為直”的目的.

第四關(guān)：祭賽國金光寺幾年前一陣血雨過后，寺中塔頂?shù)纳崂臃饘殶o影無蹤. 僧人們被罰受苦，沉冤難雪. 為查失寶，悟空攜八戒入碧波潭，先禮后兵，與龍王之女乃圣公主及九頭蟲駙馬交戰(zhàn). 白龍馬化做少年，入潭尋見乃圣公主，設(shè)計騙回佛寶. 如圖5所示，為了犒勞白龍馬，決定讓白龍馬從A地出發(fā)到草地吃草，再到河邊飲水，最后再回到點A，白龍馬如何走路徑最短？

作圖過程如圖6所示，分別作點A關(guān)于直線OM，ON的對稱點A′，A″，連接A′A″，與OM，ON的交點（點B，C）就是所求作的點.

設(shè)計意圖? 解決第四關(guān)游戲問題是知識的再遷移：第三關(guān)游戲問題作一次軸對稱即可解決，而第四關(guān)游戲問題則需要作兩次軸對稱才可以解決. 實際上解決的是在角的內(nèi)部作一個周長最小的三角形的問題，開闊了學(xué)生的視野，提升了學(xué)生的思維水平.

第五關(guān)：玉華州國王下旨逐僧出境. 唐僧師徒四人來到州境，適逢三個太子領(lǐng)兵盤查，四人分別躲進米缸、衣箱、席筒、木柜內(nèi)，被抬進宮去聽候發(fā)落. 夜間，悟空用隱身術(shù)潛入宮中，作法把國王、王后、妃嬪等滿朝文武頂上頭發(fā)全部剃光. 國王很受教訓(xùn)，懺悔排佛不對，禮遇唐僧師徒. 為感謝師徒四人對自己的成功勸諫，設(shè)宴款待師徒四人. 如圖7所示，宴席上，在A處的八戒準(zhǔn)備先去取一塊牛肉，再去取一壇美酒，向國王敬上一杯酒后回到自己的位置，八戒如何走路徑最短？

作圖過程如圖8所示，作點A關(guān)于OE的對稱點A′，作點B關(guān)于OF的對稱點B′，連接A′B′，與OE，OF的交點（點H，G）就是所求作的點.

設(shè)計意圖? 第五關(guān)游戲問題雖然也是通過作軸對稱解決的，但與第四關(guān)游戲問題不同的是，這里在一個角的內(nèi)部有兩個固定點，實際上解決的是在角的內(nèi)部求作一個周長最小的四邊形的問題. 通過以上問題的解決，學(xué)生能夠明白：解決“最短路徑問題”就是解決“軸對稱問題”，其關(guān)鍵是找準(zhǔn)固定點和固定直線，繼而作出對稱點.

基于游戲情境的教學(xué)反思

本節(jié)課的設(shè)計主線是“實際生活問題—數(shù)學(xué)知識問題—解決數(shù)學(xué)問題—解決生活問題”[2]. 在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，筆者先通過數(shù)學(xué)建模引導(dǎo)學(xué)生把生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，接著用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題，最后運用數(shù)學(xué)問題的結(jié)論去審視生活問題，從而有效提高學(xué)生的應(yīng)用意識.

教學(xué)設(shè)計中，教師要學(xué)會處理和加工教材，創(chuàng)設(shè)出學(xué)生易于接受的形式多樣的教學(xué)情境，才能突出重點、突破難點[3]. 本節(jié)課通過《西游記》的故事讓學(xué)生感受中華傳統(tǒng)文化的同時，學(xué)會如何解決“最短路徑問題”，體現(xiàn)了由簡單到復(fù)雜、由淺入深的教學(xué)進程.

本節(jié)課以學(xué)生自主探索為主，采用了情境教學(xué)與任務(wù)驅(qū)動法，在教學(xué)過程中，輔以學(xué)習(xí)小組的合作互動，通過動手、動口、動腦，鍛煉學(xué)生的動手操作能力、合作互動能力與數(shù)學(xué)建模能力.

參考文獻：

[1]丁力. 初中數(shù)學(xué)幾何最值問題探究——以“將軍飲馬”問題模型的解題策略為例[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（14）：79-80.

[2]杜慶術(shù). 數(shù)學(xué)游戲在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（22）：92-93.

[3]張偉俊. “綜合與實踐”課的教學(xué)探索與實施建議——以“探究最短路徑問題”為例[J]. 中國數(shù)學(xué)教育，2015（11）：11-14.