陳宏

摘要：本文中對(duì)2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行評(píng)析，通過(guò)分析試卷的整體難度、試題的特點(diǎn)、解決方法，并與新高考全國(guó)卷進(jìn)行差異對(duì)比，為學(xué)生更好地適應(yīng)全國(guó)新高考的評(píng)價(jià)方式及在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力做導(dǎo)向.

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué);關(guān)鍵能力;核心素養(yǎng)

2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷是2014年浙江省實(shí)施高考改革——數(shù)學(xué)文理合卷考試以來(lái)浙江省自主命題的收官之作，特殊的年份和疫情給高考命題和備考都帶來(lái)了挑戰(zhàn).針對(duì)2022 年浙江省高考數(shù)學(xué)試題的內(nèi)容特點(diǎn)和解決方法以及其與新高考全國(guó)卷的差異，筆者談?wù)勛约旱恼J(rèn)識(shí)，以期能讓學(xué)生更好地適應(yīng)全國(guó)新高考的評(píng)價(jià)方式.

1 依綱靠本，平穩(wěn)收官

2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題堅(jiān)持立足基礎(chǔ)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力立意的命題原則，秉持了浙江省自主命題以來(lái)的簡(jiǎn)約且具內(nèi)涵的風(fēng)格.整卷保持了浙江卷“低起點(diǎn)、有梯度、多層次、重區(qū)分”的經(jīng)典特色，嚴(yán)格遵循《考試說(shuō)明》《浙江省高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見(jiàn)》，全面考查了高中階段的主要內(nèi)容、核心思想方法及考生的學(xué)科關(guān)鍵能力.試題貼近高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際，整體難度與2021年浙江卷難度相當(dāng)，在結(jié)構(gòu)、題型、內(nèi)容、分值等方面保持穩(wěn)定，試題注重基礎(chǔ)知識(shí)和通性通法的考查，在傳承經(jīng)典的同時(shí)注重變化，適度創(chuàng)新.在體現(xiàn)對(duì)考生人文關(guān)懷的同時(shí)有利于高校合理選拔人才和正確引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，平穩(wěn)收官.

2 傳承經(jīng)典，準(zhǔn)確區(qū)分

2022年試題檢測(cè)全面、凸顯本質(zhì)，重在理解，準(zhǔn)確區(qū)分.選擇題難度較2021年略降，有利于降低考生的焦慮情緒.如單項(xiàng)選擇題第 1～7 題，這些試題或源于課本或改編自課本中的例題、歷年的浙江卷高考題等，體現(xiàn)了試題的基礎(chǔ)性;第1題考查集合運(yùn)算，第2 題考查復(fù)數(shù)相等的概念，第3題考查線性規(guī)劃，第4題考查三角函數(shù)和簡(jiǎn)單邏輯用語(yǔ)，第 5 題考查三視圖、組合體的體積求解（球的體積公式與圓臺(tái)體積公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用），第 6題考查三角函數(shù)圖象的平移，第7題考查指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算.填空題難度與2021年相當(dāng)，第11題考查了數(shù)學(xué)文化知識(shí)也是植根于教材且注重內(nèi)容的交叉，第12題考查了二項(xiàng)式定理與賦值法，第13題考查了特殊條件下三角函數(shù)值的計(jì)算，第14題考查了二次函數(shù)與“對(duì)勾”函數(shù)的圖象與性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合的思想方法，計(jì)算量較小.解決這些試題只要平時(shí)學(xué)習(xí)中概念理解到位、考試時(shí)計(jì)算認(rèn)真即可，體現(xiàn)一個(gè)“穩(wěn)”字，也為考生增加了信心[1].

試卷同時(shí)編制了一些層次高、思維妙、解法巧的新題.如，第8題是立體幾何中線線角、線面角、二面角的大小比較，主要考查最大角定理與三類(lèi)空間角的定義，與2018年的選擇題雖類(lèi)似但需理解深刻

各類(lèi)角的定義;第9題為多絕對(duì)值函數(shù)應(yīng)用，需熟練掌握

絕對(duì)值的運(yùn)算意義或圖象;第10題是遞推數(shù)列的考查;第17題是多向量模長(zhǎng)的計(jì)算，需對(duì)回歸圓心后進(jìn)行向量的轉(zhuǎn)化，要求掌握基底轉(zhuǎn)化的本質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的方法;第20題是數(shù)列題但與以往求和的考查不同;第21題是橢圓上點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題，需對(duì)距離公式以及通性通法理解到位且注重算理;第22題函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題都是在常見(jiàn)的背景中以新的角度設(shè)計(jì)問(wèn)題，重視思維和運(yùn)算能力.這些試題體現(xiàn)一個(gè)“變”字，也為高考的選拔增添了公平性.

3 守正出新，關(guān)注素養(yǎng)

試題全面考查的同時(shí)，突出了函數(shù)、幾何等重點(diǎn)內(nèi)容.2022 年的浙江高考數(shù)學(xué)試卷沒(méi)有超綱試題，部分試題直擊概念本質(zhì)，雖取材背景熟悉，但著眼變化，適度創(chuàng)新，同時(shí)關(guān)注核心素養(yǎng).第9題是含參絕對(duì)值不等式求參數(shù)的范圍，可小題小做（對(duì)自變量賦特殊值）或采用通性通法（結(jié)合參數(shù)分離、直觀想象、數(shù)形結(jié)合等思想方法）得出答案，較2021年的第9題難度有所下降，但對(duì)細(xì)心認(rèn)真卻數(shù)學(xué)邏輯不夠強(qiáng)的同學(xué)來(lái)說(shuō)有一個(gè)比較“委屈”的坑.第10題對(duì)思維能力與計(jì)算能力的要求都較高，主要考查數(shù)列的性質(zhì)與有限項(xiàng)放縮求和，對(duì)學(xué)生能否選擇合適的方法、放縮求和的運(yùn)算等綜合能力有一定的要求，但思路與2021年第10題較為相似，一定程度上降低了學(xué)生對(duì)壓軸選擇題的恐懼感. 第17題作為填空壓軸題仍和2021年保持方向一致，考查向量的轉(zhuǎn)化以及運(yùn)算，且將向量放入正八邊形中結(jié)構(gòu)新穎，但因?yàn)樘岬搅藛挝粓A，因此將向量起點(diǎn)回歸原點(diǎn)（圓心）對(duì)向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化[2]，繼而化繁為簡(jiǎn)求得答案，所以感覺(jué)難度比2021年第17題小，重在思維的創(chuàng)新和學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的考查，體現(xiàn)了命題者的良苦用心.

解答題第20題背景熟悉但立意獨(dú)特，在第（2）小題考查了函數(shù)思想及應(yīng)用一元二次方程根的存在性條件（判別式法），得到通項(xiàng)與公差的不等關(guān)系，繼而求解公差的范圍，較之前的高考數(shù)學(xué)試題中常見(jiàn)考查求和的題型有所創(chuàng)新并注重思維的靈活性.第22題（2）（3）小題考查了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合運(yùn)用，只有深刻理解問(wèn)題本質(zhì)，才能完整解決整個(gè)問(wèn)題，特別考查學(xué)生的邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，有很好的選拔功能.

3.1 傳承經(jīng)典，凸顯本質(zhì)，注重算理

例1 （ 2022 年浙江省高考數(shù)學(xué)試題第 9 題）已知a，b∈R，若對(duì)任意x∈R，ax-b+x-4-2x-5≥0，則（? ）.

A.a≤1，b≥3

B.a≤1，b≤3

C.a≥1，b≥3

D.a≥1，b≤3

分析：結(jié)合參數(shù)分離法，可將不含參數(shù)的兩項(xiàng)絕對(duì)值移項(xiàng)到不等式右邊，可得ax-b≥2x-5-x-4.分別畫(huà)出不等式左右兩邊對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象，如圖1.由圖象及斜率知a≥3，1≤b≤3或1≤a<3，1≤b≤4-3a≤3.故選：D.

或者小題小做，由于x的任意性對(duì)自變量x進(jìn)行賦值，考慮移項(xiàng)后絕對(duì)值外的符號(hào)，因此可賦值x=b，x=4求得a，b范圍.如取x=4，則不等式變?yōu)閍4-b-3≥0，所以a≠0，b≠4，排除選項(xiàng)A，B，C.故選：D.

但是也有細(xì)心的考生用以下的數(shù)據(jù)驗(yàn)證：令a=1，b=3，x=4，則不等式ax-b+x-4-2x-5≥0不成立，竟沒(méi)有正確答案？事實(shí)上如圖1，當(dāng)a≥1時(shí)，a4-b≥3，解得b≤4-3a，則當(dāng)a≥3時(shí)，b取到最大值3.此處b是一個(gè)與a關(guān)聯(lián)的量，并非所有的大于1的a與小于3的b都能使得題設(shè)不等式成立，因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題讓我們求的不是充要條件，而是使原題設(shè)不等式成立的a，b必須滿足的必要條件，即求a的最小值與b的最大值.這道題對(duì)于不甚了了的學(xué)生來(lái)說(shuō)構(gòu)不成問(wèn)題，對(duì)深諳數(shù)學(xué)邏輯或?qū)A(chǔ)知識(shí)掌握扎實(shí)的考生來(lái)說(shuō)也不成問(wèn)題，但對(duì)于細(xì)心認(rèn)真但邏輯思維能力不夠強(qiáng)的學(xué)生來(lái)說(shuō)冷不丁考慮到這一點(diǎn)，算一個(gè)“痛點(diǎn)”.

評(píng)注：類(lèi)似思維的問(wèn)題在 2019 年浙江卷第9題、2020年浙江卷第9題中都出現(xiàn)過(guò)，也是求解參數(shù)必須滿足的必要條件，這類(lèi)題目強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)概念與函數(shù)本質(zhì)、圖象特征的理解，能多維度考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思維等.

例2 （ 2022 年浙江省高考數(shù)學(xué)試題第 21 題）如圖2，已知橢圓x212+y2=1，A，B是橢圓上異于P0，1的兩點(diǎn)，且AB過(guò)點(diǎn)Q0，12，若直線AP，BP分別交直線l：y=-12x+3于C，D兩點(diǎn).

（1）求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)P距離的最大值;

（2）求CD的取值范圍.

分析：本題第（1）小題主要考查兩點(diǎn)間的距離公式及消元的思想.設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)M（x，y），則|PM|2=x2+（y-1）2=12-12y2+y2-2y+1=-11y2-2y+13，y∈-1，1，而函數(shù)z=-11y2-2y+13的對(duì)稱軸為y=-111∈[-1，1]，則|PM|max=14411=121111.即點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值為121111.

本題第（2）小題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法、綜合應(yīng)用知識(shí)的能力、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).這些都是高中解析幾何中最核心的知識(shí)、技能、思想方法和核心素養(yǎng).

第（2）小題的解題方法有很多，由于點(diǎn)A，B是過(guò)點(diǎn)Q的直線與橢圓的交點(diǎn)，故自然想到可以“設(shè)線”，聯(lián)立橢圓與過(guò)點(diǎn)Q的直線方程得到A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，繼而分別聯(lián)立直線AP與直線l的過(guò)程、直線BP與直線l的方程得到點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，從而求得CD的表達(dá)式及范圍，即為解法1.此種解法雖然思維入口較寬但深入較難，運(yùn)算量較大.

也可以直接結(jié)合問(wèn)題本質(zhì)求C，D兩點(diǎn)距離，故可直接“設(shè)點(diǎn)”解決.設(shè)出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，解得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用點(diǎn)A，Q，B共線得到點(diǎn)C，D的坐標(biāo)的等量關(guān)系，繼而消元求得CD的表達(dá)式及范圍，即為解法2.解法2較解法1運(yùn)算量減少，但是審題時(shí)需要把握問(wèn)題的本質(zhì).此兩種解法正說(shuō)明了解析幾何問(wèn)題中的少思多算或多思少算;也說(shuō)明了該問(wèn)題突破的關(guān)鍵都是需建立起A，B，C，D四點(diǎn)之間的聯(lián)系，并實(shí)現(xiàn)消參，用盡可能少的參數(shù)表示CD.

如果對(duì)此題繼續(xù)做一個(gè)探究，會(huì)發(fā)現(xiàn)通過(guò)仿射變換，將橢圓化成圓，在圓中應(yīng)用圓冪定理便可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中的邊長(zhǎng)求解問(wèn)題，也可得到CD的表達(dá)式，繼而求解范圍，即為解法3.

（2）解法1：設(shè)直線AB：y=kx+12，A（x1，y1），B（x2，y2）.

聯(lián)立直線AB與橢圓方程y=kx+12，x212+y2=1，消去y并整理，可得（12k2+1）x2+12kx-9=0.

由韋達(dá)定理，可得

x1+x2=-12k12k2+1，x1x2=-912k2+1.

所以|x1-x2|=（x1+x2）2-4x1x2=（-12k12k2+1）2+3612k2+1=616k2+112k2+1.

設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），直線AP：y=y1-1x1＼5x+1，直線BP：y=y2-1x2x+1.

聯(lián)立y=y1-1x1x+1，y=-12x+3和y=y2-1x2x+1，y=-12x+3，

可得x3=4x1（2k+1）x1-1，x4=4x2（2k+1）x2-1.

由弦長(zhǎng)公式，可得

CD=1+14x3-x4

=524x12k+1x1-1-4x22k+1x2-1.

=524（x1-x2）2k2+1x1x2-2k+1x1+x2+1

由x1+x2=-kk2+112，x1x2=-34k2+112，x1-x2=616k2+112k2+1，得

x3-x4=316k2+13k+1.

令t=3k+1∈R，則

x3-x4=454t-452+925≥125.

所以CD≥52×125=655，此時(shí)t=3k+1=2516，k=316.

上述解法運(yùn)算量較大在于設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)較多，聯(lián)立方程次數(shù)也較多.因此基于優(yōu)化運(yùn)算的目的，問(wèn)題求的是C，D兩點(diǎn)距離，故可直接設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，表示出CD并求得范圍.

解法2：設(shè)C2c，3-c，D2d，3-d，則CD=5c-d，直線PC：y=2-c2cx+1.

聯(lián)立y=2-c2cx+1，x212+y2=1，得

A3c2-6cc2-3c+3，-c22+3c-3c2-3c+3.

由結(jié)構(gòu)對(duì)稱，同理可得

B3d2-6dd2-3d+3，-d22+3d-3d2-3d+3.

由點(diǎn)A，Q，B共線，得

-d22+3d-3d2-3d+3-123d2-6dd2-3d+3=-c22+3c-3c2-3c+3-123c2-6cc2-3c+3.

整理得5cd-9（c+d）+18=0，即d=9c-185c-9.

所以，可得c-d=c-9c-185c-9=5c-95+95·15c-9≥2925=65，

當(dāng)且僅當(dāng)c-95=35時(shí)，等號(hào)成立.

故CD=5c-d≥655.

對(duì)此題繼續(xù)做一個(gè)探究，會(huì)發(fā)現(xiàn)通過(guò)仿射變換，將橢圓化成圓，在圓中應(yīng)用圓冪定理便可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中的邊長(zhǎng)求解問(wèn)題，避免了聯(lián)立方程求CD的范圍.

解法3：對(duì)橢圓 x212+y2=1 進(jìn)行伸縮變換x′=x，y′=23y， 得到圓x′2+y′2=12，即x2+y2=12.

則l′：y=-3x+63，P′0，23，

Q′0，3.如圖3，過(guò)P′作P′I⊥C′D′于點(diǎn)I，則

P′I=23.

設(shè)∠A′P′O=α，∠D′P′O=β ，則∠A′=π2-β，∠P′B′A′=π2-α，∠P′C′D′=π6+α，∠P′D′C′=β-π6.在△A′P′Q′，△B′P′Q′中， 分別由正弦定理，得

|A′Q′|sin α=|P′Q′|sinπ2-β，|B′Q′|sin β=|P′Q′|sinπ2-α .于是

|A′Q′|=3sin αcos β，|B′Q′|=3sin βcos α .

由圓冪定理|A′Q′|·|B′Q′|=R2-OQ′2=9，得tan αtan β=3.

故|C′D′|=|C′I|+|D′I|=23tanα+π6+23tanβ-π6=231-33tan α33+tan α+1-33tan βtan β-33

設(shè)tan α=t則tan β=3t.

故|C′D′|=23-433+43t+3+3693-3t≥23-433+（2+6）2103=245.

（權(quán)方和不等式.）

故CD1+k2=C′D′1+k′2≥2451+3=125.

即CD≥1+14×125=655.

評(píng)注：以上方法均是解決直線與橢圓位置關(guān)系的通性通法，其中前兩種解法在日常復(fù)習(xí)中用的較多，需要扎實(shí)的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).解法3在化橢圓為圓的基礎(chǔ)上借助圓的幾何特性，把多個(gè)變量轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量，2020年浙江卷的第21題也可使用此法，使得問(wèn)題的呈現(xiàn)更直觀，解法更為簡(jiǎn)潔[3].橢圓化圓也使問(wèn)題本質(zhì)更清晰，該方法在一一對(duì)應(yīng)思想的指導(dǎo)下完成了問(wèn)題轉(zhuǎn)化和思路突破，這種聚焦核心素養(yǎng)的創(chuàng)新思維培養(yǎng)應(yīng)成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心，在平時(shí)教學(xué)中需引起重視.解析幾何問(wèn)題對(duì)廣大考生來(lái)說(shuō)是一個(gè)挑戰(zhàn)，計(jì)算對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)更是痛點(diǎn).故需在復(fù)習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生注重思維，講究算理，突破關(guān)鍵，鼓勵(lì)他們運(yùn)用合理的思維結(jié)合運(yùn)算技巧找關(guān)鍵點(diǎn)，計(jì)算到底，從而提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和綜合能力.

3.2 守正出新，考查能力，聚焦素養(yǎng)

例3 （2022年年浙江省高考數(shù)學(xué)試題第20題）已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1=-1，公差d>1.記an的前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*）.

（1）若S4-2a2a3+6=0，求Sn;

（2）若對(duì)于每個(gè)n∈N*，存在實(shí)數(shù)cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比數(shù)列，求d的取值范圍.

分析：（1）由等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1=-1及S4-2a2a3+6=0可得關(guān)于公差d的方程d2=3d，

再由公差d>1的范圍可得d=3，繼而由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得Sn=na1+n（n-1）2d=-n+3n2-3n2=3n2-5n2.

（2）由an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比數(shù)列，可得關(guān)于cn的二次方程，由判別式法可得d的表達(dá)式，分類(lèi)討論可得d的取值范圍.

解析：（2）因?yàn)閷?duì)每個(gè)n∈N*，存在實(shí)數(shù)cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比數(shù)列，

則（a1+nd+4cn）2=[a1+（n-1）d+cn]＼5[（a1+（n+1）d+15cn]，a1=-1.

整理可得c2n+[（14-8n）d+8]cn+d2=0，則Δ=14d-8an+12-4d2≥0.

所以an+1≥2d，或2an+1≤3d恒成立，即得n-2d≥1，或2n-3d≤2恒成立.

當(dāng)n=1時(shí)，因?yàn)閐>1，故n-2d≥1不成立，但2n-3d≤2成立;

當(dāng)n=2時(shí)，n-2d≥1不成立，此時(shí)需要2n-3d≤2，解得d≤2;

當(dāng)n≥3時(shí)，因?yàn)閐>1，所以n-2d≥1恒成立.

綜上所述，d∈（1，2].

評(píng)注：本題第（2）小題設(shè)問(wèn)靈活，應(yīng)用一元二次等式成立的判斷方法（判別式法），得到通項(xiàng)與公差的不等關(guān)系，繼而求解公差范圍的方法對(duì)學(xué)生的應(yīng)變能力和把握問(wèn)題本質(zhì)的能力有一定的要求.最后的分類(lèi)討論則考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等素養(yǎng).創(chuàng)新的設(shè)計(jì)也要求平時(shí)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生透徹理解基礎(chǔ)概念知識(shí)，從而學(xué)會(huì)以不變應(yīng)萬(wàn)變.

例4 （2022 年浙江省高考數(shù)學(xué)試題第22 題）設(shè)函數(shù)f（x）=e2x+ln x（x>0）.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）已知a，b∈R，曲線y=f（x）上不同的三點(diǎn)（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3））處的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（a，b）.證明：

①若a>e，則0

②若0

（注：e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).）

分析：第（1）問(wèn)和2021年浙江卷最后一題第（1）問(wèn)類(lèi)似，也是考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，但涉及的函數(shù)更為常規(guī)，入口較寬.常用思路是從求導(dǎo)函數(shù)開(kāi)始f′（x）=-e2x2+1x=2x-e2x2（x>0），從而由f′（x）=0，得x=e2，于是f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為0，e2，單調(diào)遞增區(qū)間為e2，+∞.

第（2）小題從函數(shù)存在三條切線且經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)入手，分兩類(lèi)情況證明不等式成立，較為復(fù)雜.因此先解決大前提條件（導(dǎo)數(shù)背景下的切線條數(shù)問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題）后分類(lèi)解答.①可由題設(shè)構(gòu)造關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，根據(jù)方程有3個(gè)不同的解，等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)有3個(gè)不同的正零點(diǎn)問(wèn)題，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理及性質(zhì)轉(zhuǎn)化需求證的不等式.②結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，解決復(fù)雜問(wèn)題的思想方法仍然是等價(jià)轉(zhuǎn)化，將不熟悉問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題來(lái)解答，并輔以消元思想，將多元函數(shù)問(wèn)題設(shè)法轉(zhuǎn)化為單元問(wèn)題來(lái)處理.

證明：（2）①過(guò)三點(diǎn)的切線方程分別為

y=f′（x1）（x-x1）+f（x1），

y=f′（x2）（x-x2）+f（x2），

y=f′（x3）（x-x3）+f（x3）.

由三條切線方程均過(guò)點(diǎn)a，b，得

b=f′x1a-x1+f（x1），b=f′x2a-x2+f（x2），b=f′x3a-x3+f（x3）.

設(shè)h（x）=f（x）-b-f′（x）x-a.由題知，h（x）有三個(gè)正零點(diǎn).接下來(lái)分析h（x）的單調(diào)性，求導(dǎo)可得h′（x）=f′（x）-f′（x）-f″（x）＼5x-a=-ex3-1x2x-a=x-ax-ex3.

分析h′（x）正負(fù)號(hào)且由題設(shè)中a>e，得到h（x）的極小值為ha，極大值為he，因此h（x）有三個(gè)正零點(diǎn)，只需要滿足ha<0和he>0即可.

由fa-b<0，f（e）-b-f′（e）（e-a）>0，進(jìn)而得到b-f（a）>0，b<1+a2e.故b-f（a）>已證.

下面用分析法轉(zhuǎn)化并證明b-f（a）<12ae-1.

要證b-f（a）<12（ae-1），由b

b-f（a）<1+a2e-e2a-ln a.

需證明1+a2e-e2a-ln a<12ae-1，即證ln a+e2a>32，即證fa>32 .

由（1）的單調(diào)性可知fa>fe=32顯然成立.

所以，若a>e，則0

②依據(jù)條件0

136-a6e

設(shè)t1=ex1>1，t3=ex3∈0，1，再令u=ea∈1，+∞，則上式轉(zhuǎn)化為證明

t1+t3-13u-16ut1+t3-2u+u-16u<0.

進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明

t1+t3-2-2u<1-13u12u2-u+136u2t1+t3 （*）

又由①的切線方程有b=a2xi-e2x2i+exi+lnxi-1（i=1，2，3）.

令g（x）=2x-e2x2a+ex+ln x-1，則g′（x）=e-xx3a-ex2+1x=x-ex-ax3.

當(dāng)x∈0，a時(shí)，g′（x）>0，g（x）單調(diào)遞增;當(dāng)x∈a，e時(shí)，g′（x）<0，g（x）單調(diào)遞減;當(dāng)x∈e，+∞時(shí)，g′（x）>0，g（x）單調(diào)遞增，且滿足0

注意到g（x1）=2x1-e2x21a+ex1+ln x1-1=b，g（x3）=2x3-e2x23a+ex3+ln x3-1=b.

又t1=ex1，t3=ex3，所以

a2t21+eln t1-（a+e）t1+eb=0，

a2t23+eln t3-（a+e）t3+eb=0.

所以，t1+t3=2+2ea-2ea·ln t1-ln t3t1-t3=2+2u-2uln t1-ln t3t1-t3，代入（*）式.故只需要證明

-2uln t1-ln t3t1-t3<（1-13u）（12u2-u+1）36u2（t1+t3） .

再令k=t1t3=x3x1>ea=u>1，則上式等價(jià)于證明k+1k-1ln k-13u-112u2-u+172u3>0.

注意到h（x）=x+1x-1ln x在x∈1，+∞上單調(diào)遞增，故有hk>h（u），

于是只需證明

u+1u-1lnu-13u-112u2-u+172u3>0

在1，+∞上恒成立即可.

令φ（x）=ln x-x-113x-112x2-x+172x3（x+1），則只需證明φ（x）>0在1，+∞上恒成立即可.

因?yàn)棣铡洌▁）=x-1272x3-49x2-20x+372x4（x+1）2=x-1272x4（x+1）23+x（72x2-49x-20），并且

易知72x2-49x-20>0在x∈1，+∞時(shí)顯然成立，所以

φ′（x）>0在x∈1，+∞上恒成立.

因此φ（x）>φ1=0.

所以若0

評(píng)注：本題作為壓軸題和第21（2）題類(lèi)似，對(duì)綜合解題能力、不等式的運(yùn)用能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)提出了更高的要求，最后一問(wèn)更是形式創(chuàng)新，考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、極值、零點(diǎn)、換元法、構(gòu)造法、分析法等基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用.沒(méi)有生僻技巧，但卻也難尋套路.其中利用分析法和消元法轉(zhuǎn)化所證關(guān)系式對(duì)學(xué)生是一大難點(diǎn).這也給了壓軸題型復(fù)習(xí)的啟示：要善于先宏觀（定性）分析，后微觀（定量）落實(shí)，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分析證明等方法力爭(zhēng)化大為小、化難為易，把一道難題分解為若干個(gè)小題或分解為若干步完成，即使不能完整做出，也能多得步驟分?jǐn)?shù)[4].這也為學(xué)生充分展示自己的數(shù)學(xué)能力提供了平臺(tái)，為高校選拔優(yōu)秀人才.

4 引導(dǎo)教學(xué)，服務(wù)選拔

在平時(shí)教學(xué)中應(yīng)重視新授課的概念教學(xué).新授課應(yīng)該強(qiáng)調(diào)主題式的單元整體設(shè)計(jì)，聚焦“大單元、真情境、新技術(shù)”的先進(jìn)理念提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力;培養(yǎng)學(xué)生敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神，繼而不斷提高實(shí)踐能力，提升創(chuàng)新意識(shí); 認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值，了解學(xué)科交叉時(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容、思維及能力的廣泛應(yīng)用.新課改在不斷深入，師生要一起適應(yīng)新形勢(shì)，用好新方法.

5 差異對(duì)比，適應(yīng)變革

浙江省2023年參加高考的考生即將迎來(lái)全國(guó)高考，故筆者對(duì)2022年浙江卷與新高考全國(guó)Ι卷做簡(jiǎn)單對(duì)比.內(nèi)容上的挑戰(zhàn)在于全國(guó)卷中檔題居多計(jì)算量大，基本沒(méi)有送分題，對(duì)中等生不夠友好，可能出現(xiàn)很多題有思路但寫(xiě)不完;而浙江卷壓軸題雖然難，但梯度明顯，該送分就送到位，中等生較有優(yōu)勢(shì).機(jī)遇在于全國(guó)卷中檔題多，壓軸題沒(méi)那么難，比如向量知識(shí)全國(guó)卷設(shè)置在第3題，數(shù)列設(shè)置在解答題第1題，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題難度相對(duì)浙江卷較小等.另外一些不同之處，比如，全國(guó)卷小題壓軸題較喜歡球與幾何體的接切問(wèn)題，小題中也可能出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的應(yīng)用和多選題等，解答題曾出現(xiàn)概率的考查、應(yīng)用題等，需重點(diǎn)關(guān)注.函數(shù)、向量、幾何、統(tǒng)計(jì)、概率、數(shù)列、不等式仍是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，函數(shù)與不等式也仍是難點(diǎn).在原則上更注重以下三點(diǎn)：（1）學(xué)科間的滲透和交叉，適當(dāng)增加具有自然科學(xué)和社會(huì)人文學(xué)科情境的試題，促進(jìn)學(xué)科間的融合以及對(duì)核心素養(yǎng)的有效考查;（2）關(guān)注探究能力、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的考查，設(shè)計(jì)結(jié)論開(kāi)放、解題方法多樣、答案不唯一、結(jié)構(gòu)不良等試題，增強(qiáng)試題的開(kāi)放性和探究性，對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新能力進(jìn)行考查;（3）通過(guò)調(diào)整試卷結(jié)構(gòu)，打破固有模式，探索試題排列新方式，努力破除復(fù)習(xí)備考中題海戰(zhàn)術(shù)和套路訓(xùn)練的影響.

6 結(jié)語(yǔ)

對(duì)于新高考，學(xué)生需要時(shí)間適應(yīng)，這也要求學(xué)生對(duì)課本知識(shí)的理解、歷年高考真題中考查的通性通法和問(wèn)題本質(zhì)的掌握更加深刻到位.因此，教師在重視新課教學(xué)的同時(shí)也需重視日常復(fù)習(xí)課的教學(xué)，課堂教學(xué)需更加聚焦質(zhì)量.目前以單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)為基礎(chǔ)、以深度學(xué)習(xí)為抓手的新一輪課堂教學(xué)改革的形態(tài)正逐步形成，復(fù)習(xí)課教學(xué)的理念也需要革新，應(yīng)更加著眼于數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性和邏輯的連貫性，從而提升學(xué)生綜合、創(chuàng)新等關(guān)鍵能力，落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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[4]文衛(wèi)星.立足基礎(chǔ)，客觀靈活，突出能力——基于2015年高考上海數(shù)學(xué)試卷評(píng)析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2015（19）：27-28.