陳超

［摘? 要］ 教師開展教學(xué)設(shè)計(jì)之前要先對教學(xué)內(nèi)容（或?qū)W材）有深刻的理解，比如教學(xué)重點(diǎn)是什么，教學(xué)難點(diǎn)在哪兒. 如果教學(xué)難點(diǎn)辨析不準(zhǔn)，就會(huì)導(dǎo)致教學(xué)用力點(diǎn)發(fā)生偏離. 大家常常見到有些教師的新授課把很多教學(xué)時(shí)間花在習(xí)題教學(xué)上，這往往會(huì)讓難點(diǎn)“輕輕滑過”，使新授課成為習(xí)題課. 所以教學(xué)難點(diǎn)的過程不能快，一定要“慢下來”.

［關(guān)鍵詞］ 教學(xué)難點(diǎn)；平方根；突破難點(diǎn)

疫情背景下，很多教研活動(dòng)線下參與的教師并不多，主辦方安排線上同步直播，這種新型教研展示活動(dòng)確實(shí)給教師帶來了方便. 最近，筆者在線觀看了某地教研活動(dòng)開設(shè)的一節(jié)“平方根（第1課時(shí)）”新授課教學(xué)，該課教學(xué)難點(diǎn)（根號的引入）的處理“一帶而過”，沒能通過必要的情境創(chuàng)設(shè)引導(dǎo)學(xué)生“慢下來”，想清楚“難點(diǎn)何在”［1］. 下面，筆者就從相關(guān)教學(xué)片段說起，給出筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)和相關(guān)思考.

從“平方根概念的引入”教學(xué)片段說起

說明：教師先創(chuàng)設(shè)情境引出新知，利用教材上的方格紙計(jì)算出兩條線段的長，引出開方運(yùn)算，其中一個(gè)等式是AB2=32+42=25，學(xué)生容易得到AB=5；另一個(gè)等式是AB2=42+52=41，學(xué)生感覺求出AB的長有困難.

師：已知AB2=41，要求AB的長，也就是要研究當(dāng)x2=a時(shí)，x是什么數(shù). 請同學(xué)們舉一些符合題意的a的值來試試，并求出相應(yīng)的x的值.

生1：當(dāng)a=4時(shí)，x=2或x=-2.

生2：當(dāng)a=25時(shí)，x=5或x=-5.

生3：當(dāng)a=169時(shí)，x=13或x=-13.

師：你們的依據(jù)是什么？

生3：根據(jù)乘方運(yùn)算，反過來思考的.

師：很好！可以看出，使x2=a（a>0）成立的數(shù)x有幾個(gè)？

生（齊）：有2個(gè)，它們互為相反數(shù).

接著，教師板書課本上平方根的定義：如果x2=a（a≥0），那么x叫a的平方根，也叫二次方根. 并進(jìn)一步講授：“像上面出現(xiàn)的AB2=41，當(dāng)我們無法直接看出AB的值是多少時(shí)，我向大家介紹一個(gè)符號來表示它，即根號. ”然后板書：正數(shù)a的正的平方根記為，正數(shù)a的負(fù)的平方根記為-，正數(shù)a的兩個(gè)平方根記作±.

接下來，教師呈現(xiàn)“一組接一組”的例題、練習(xí)與變式訓(xùn)練.

聽課隨感上述教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)和新知的引出，有一些師生對話. 看似比較順暢地引出新知的對話，本質(zhì)上卻是“照本宣科”，沒能體現(xiàn)“用教材教”. 特別是這節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)教師沒能成功突破，只以簡單講授、直接告知、一帶而過的方式進(jìn)行. 盡管隨后的例題、練習(xí)及變式訓(xùn)練的效果不錯(cuò)，但是新知生成、認(rèn)知沖突的過程沒有得到充分的展開，錯(cuò)失了讓學(xué)生感知難點(diǎn)及如何突破的機(jī)會(huì)，這樣的教學(xué)難以培養(yǎng)學(xué)生辨析難點(diǎn)與突破難點(diǎn)的能力.

“平方根的概念引入”教學(xué)再設(shè)計(jì)

先創(chuàng)設(shè)情境，引出新知.

問題：在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c.

（1）若a=3，b=4，求c；

（2）若a=1，b=1，求c2；

（3）若a=1，c=2，求b2.

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生能快速求出上述答案，隨之而來的就是如何求出第（2）問和第（3）問中c，b的值. 這就引發(fā)了認(rèn)知沖突：當(dāng)c2=2時(shí)，c的值是多少；當(dāng)b2=3時(shí)，b的值是多少.

學(xué)生在七年級初學(xué)有理數(shù)時(shí)，曾通過“大量的逼近式運(yùn)算”發(fā)現(xiàn)當(dāng)c2=2（c>0）時(shí)c的值并不是一個(gè)有理數(shù)，其近似值是1.414（精確到千分位），至于如何表示這類無理數(shù)，七年級上冊的教材并沒有給出，也沒有繼續(xù)給出更多的這類數(shù). 事實(shí)上，隨著勾股定理的學(xué)習(xí)，這樣的“麻煩”會(huì)越來越多，教師必須引導(dǎo)學(xué)生正視這類認(rèn)知沖突. 當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)以上認(rèn)知沖突時(shí)，教師可以預(yù)設(shè)下面的引導(dǎo)語及學(xué)生可能的回答.

師：在形如x2=a的等式中，當(dāng)a是一個(gè)什么數(shù)時(shí)，我們能很快地說出x的值？

生：當(dāng)a是一個(gè)完全平方數(shù)時(shí)，我們能很快地說出x的值，比如a的值為4，16，25，100.

師：很好. a能為0嗎？a能為負(fù)數(shù)嗎？

生：a可以為0，但是不能為負(fù)數(shù)，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的平方不可能為負(fù)數(shù)！

師：我們定義“如果x2=a（a≥0），那么x叫a的平方根. ”如果a不是一個(gè)完全平方數(shù)，有必要引出一個(gè)符號來表示它. 歷史上不同的數(shù)學(xué)家曾創(chuàng)造了多種符號來表示平方根（可以使用PPT提供相關(guān)閱讀材料或者推薦短視頻來介紹根號的數(shù)學(xué)歷史），但最后大家都選擇了根號“”這種記號. 我們可以把正數(shù)a的兩個(gè)平方根記作±，特別是在實(shí)際問題中，正的平方根使用頻率較高，也被稱為a的算術(shù)平方根.

練習(xí)：求一副三角尺三邊長之比.

預(yù)設(shè)：分別是1 ∶ 1 ∶ ，1 ∶? ∶ 2.

這組練習(xí)與前面的“開課問題”形成呼應(yīng)，能讓學(xué)生加深對三角尺的認(rèn)識.

限于篇幅，本課時(shí)后續(xù)教學(xué)不再詳細(xì)給出，下面只給出簡要說明.

給出平方根的概念及表示方法之后，進(jìn)行相關(guān)例題、習(xí)題的訓(xùn)練，歸納平方根的性質(zhì)，至于教材上提到的“二次根式”的概念，可以在小結(jié)階段給出，即這種求平方根的運(yùn)算是“開平方運(yùn)算”，然后引導(dǎo)學(xué)生類比思考、猜想“開立方運(yùn)算”，它們的運(yùn)算結(jié)果“立方根”及“立方根”的表示方法. 此外，還可以根據(jù)學(xué)情適當(dāng)介紹“二次根式”，包括“根指數(shù)”等概念.

對新授課中教學(xué)難點(diǎn)的認(rèn)識與思考

1. 第一，立足學(xué)情，辨明教學(xué)難點(diǎn)

新授課中會(huì)有學(xué)生沒有學(xué)過的內(nèi)容，包括初次接觸的數(shù)學(xué)概念或性質(zhì)，這些教學(xué)內(nèi)容對教師來說往往顯而易見，非常簡單，所以教師站在“過來人”的立場容易將問題想簡單，誤以為只要“一帶而過”跟學(xué)生講一下這些新概念、新性質(zhì)，學(xué)生就能很快地理解或掌握. 事實(shí)上，從數(shù)學(xué)發(fā)展歷史來看，很多數(shù)學(xué)新概念、新性質(zhì)的出現(xiàn)往往經(jīng)歷了漫長的過程，這個(gè)過程伴隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展、數(shù)學(xué)研究工具的更新等，是眾多數(shù)學(xué)家智慧的貢獻(xiàn). 在現(xiàn)在看來很多習(xí)以為常的數(shù)學(xué)符號（如阿拉伯?dāng)?shù)字、運(yùn)算符號），它們的出現(xiàn)和傳播都經(jīng)歷了很曲折的過程. 比如，當(dāng)學(xué)生初次學(xué)習(xí)平方根時(shí)，特別是根號的引入時(shí)，教師要放慢節(jié)奏，不能“一帶而過”，要讓學(xué)生感受到“麻煩”和“認(rèn)知沖突”，且必須解決或攻克這個(gè)麻煩才能繼續(xù)向前研究. 此時(shí)教師引出或介紹根號“”這一符號，學(xué)生才能更好地理解并掌握. 再如，當(dāng)初中階段首次引出函數(shù)概念時(shí)，教師也要放緩節(jié)奏，要站在學(xué)生的立場思考問題，因?yàn)閷W(xué)生沒有這種概念，需要從大量熟悉的生活問題中不斷抽象、得出函數(shù)概念的一些要素（常量、變量）. 當(dāng)學(xué)生得出一系列等式時(shí)，教師可以組織學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系，最后引出“函數(shù)”的概念，讓學(xué)生感受到函數(shù)這種新概念在初中階段的本質(zhì)特征.

2. 第二，創(chuàng)設(shè)情境，顯露教學(xué)難點(diǎn)

教師在辨析教學(xué)難點(diǎn)之后，要善于創(chuàng)設(shè)情境為學(xué)生展現(xiàn)學(xué)習(xí)難點(diǎn)或認(rèn)知沖突［1］. 因?yàn)橛行┙虒W(xué)難點(diǎn)，如果不是通過恰當(dāng)?shù)那榫吵尸F(xiàn)，學(xué)生不容易想到難點(diǎn)或認(rèn)知沖突在哪兒. 仍以“平方根（第1課時(shí)）”的教學(xué)為例，學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，由于全章都回避了開方開不盡的運(yùn)算情形，所以學(xué)生不能意識到會(huì)遇到無理數(shù)這個(gè)麻煩. 而學(xué)習(xí)“平方根（第1課時(shí)）”時(shí)，通過必要的計(jì)算直角三角形的邊的長問題，特別是學(xué)生熟悉的一副三角尺中已知兩邊求第三邊的問題，就會(huì)碰到這類開方開不盡的運(yùn)算. 為了解決這一認(rèn)識沖突，教師有必要帶領(lǐng)學(xué)生研究開方運(yùn)算，以及平方根的表示方法，并將數(shù)的范圍從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù). 再如，運(yùn)用方程解決實(shí)際問題時(shí)，有時(shí)只有一個(gè)未知數(shù)時(shí)不易表示出問題之間的等量關(guān)系，但設(shè)出兩個(gè)未知數(shù)后，就能快速地找出2個(gè)等量關(guān)系，從而讓學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)二元一次方程組的必要性.

3. 第三，精心設(shè)計(jì)，突破教學(xué)難點(diǎn)

當(dāng)教學(xué)難點(diǎn)展示在學(xué)生面前時(shí)，教師還可以通過恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)，化解教學(xué)難點(diǎn)［2］，促進(jìn)學(xué)生更好地理解難點(diǎn). 比如，數(shù)的開方中的難點(diǎn)是這類新運(yùn)算的結(jié)果是平方根，而平方根有一個(gè)符號表示，這些都是學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)難以發(fā)現(xiàn)、發(fā)明出來的，所以教師可以基于“有指導(dǎo)的再創(chuàng)造”（弗賴登塔爾語）讓學(xué)生理解，將數(shù)學(xué)史融入講授過程，進(jìn)而讓學(xué)生初步感知這個(gè)難點(diǎn)在歷史上發(fā)展的艱辛與不易. 再如，為了讓學(xué)生深刻理解函數(shù)的概念，教師需要精選問題情境，突出兩個(gè)變量之間的單值對應(yīng)關(guān)系，然后引入字母分別表示這兩個(gè)變量，讓學(xué)生辨別自變量、因變量，最后給出函數(shù)的概念. 整個(gè)教學(xué)過程要體現(xiàn)抽象過程（即去情境化、數(shù)學(xué)化），要讓學(xué)生不但獲得數(shù)學(xué)新知，而且要學(xué)會(huì)從一個(gè)具體的問題情境中抽象、顯現(xiàn)出一類新的數(shù)學(xué)問題，并展開進(jìn)一步的研究，這本身也是突破難點(diǎn)的一種重要教學(xué)取向.

寫在最后

教學(xué)難點(diǎn)的研究是一個(gè)經(jīng)典的教研課題，本文只是對新授課中的教學(xué)難點(diǎn)進(jìn)行了一些初步思考. 事實(shí)上，解題教學(xué)、專題復(fù)習(xí)、作業(yè)的面批和答疑等，都需要教師對教學(xué)難點(diǎn)想清辨明，只有這樣，才能提高教學(xué)效率. 目前，筆者對教學(xué)難點(diǎn)的認(rèn)識與思考還不充分，期待更多的同行深入研究.

參考文獻(xiàn)：

［1］許海霞. 突破教學(xué)難點(diǎn)：鋪墊情境后跟進(jìn)啟發(fā)式講授——以“勾股定理的逆定理”為例［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（12）：24-25.

［2］夏冬平. 精選問題引出新知，明辨重點(diǎn)突破難點(diǎn)——以二次函數(shù)單元起始課為例［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（16）：26-27+33.