劉佳

［摘? 要］ 解題反思在深化知識理解、強(qiáng)化方法意識、提煉數(shù)學(xué)模型、提高數(shù)學(xué)能力等方面有著重要的應(yīng)用價值，是解題教學(xué)的重要組成部分之一. 在解題教學(xué)中，教師要鼓勵學(xué)生進(jìn)行解題反思，在反思中實(shí)現(xiàn)自我優(yōu)化、自我完善、自我建構(gòu)，從而提高綜合學(xué)力.

［關(guān)鍵詞］ 解題反思；解題教學(xué)；綜合學(xué)力

解題反思是解題教學(xué)的重要一環(huán)，它關(guān)系著學(xué)生思維能力的發(fā)展和解題能力的提升. 不過，在實(shí)際教學(xué)中，為了追求解題的“量”，解題反思大多以教師為主，教師大多直接給出自己的優(yōu)化思路，點(diǎn)明其中蘊(yùn)含的思想方法等內(nèi)容，這樣，學(xué)生沒有經(jīng)歷自我反思過程，往往難以發(fā)現(xiàn)解題過程中的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，這樣的解題反思形同虛設(shè)，難以讓學(xué)生在反思中有所收獲. 因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)該為學(xué)生提供一定的反思時間和反思空間，通過一些有效的引導(dǎo)和訓(xùn)練方法，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度思考，以此激活學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化學(xué)生的元認(rèn)識，提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣和解題態(tài)度，進(jìn)而從根本上提高解題效率. 下面，筆者結(jié)合具體案例談幾點(diǎn)落實(shí)解題反思的方法，若有不足，請指正.

在思維受阻時鼓勵學(xué)生反思

數(shù)學(xué)問題抽象、復(fù)雜，學(xué)生解題時難免會出現(xiàn)思維受阻的情況，此時教師不要急于給出解題過程，可以嘗試通過一些有針對性的、啟發(fā)性的問題進(jìn)行引導(dǎo)，鼓勵學(xué)生通過嘗試、探索、反思，尋找解題思路，提升解題信心.

例1如圖1所示，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，分別以AD，BC為邊向兩邊作正方形ADEG和正方形CBHF，線段CD的垂直平分線交線段EF于點(diǎn)M. 求證：M為EF的中點(diǎn).

問題給出后，教師鼓勵學(xué)生獨(dú)立完成（教師巡視）. 幾分鐘后，教師發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生依然沒有找到證明的思路，便邊走邊說：“這個證明確實(shí)有一定的難度，大家不要著急，靜下心來想一想，看看能不能做一些變化. 如果將梯形ABCD變一變，你會不會證明呢？”在教師的暗示和鼓勵下，學(xué)生的思維活躍起來.

通過知識間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生聯(lián)想到：該結(jié)論既然對梯形成立，那么改變梯形上底邊的長，其結(jié)論同樣成立. 假如梯形的上底CD的長變?yōu)?，梯形就變成了三角形，那么是否可以在變化的圖形中找到解決問題的方法呢？順著這個思路，學(xué)生將問題做了如下變化：如圖2所示，在△ABC中，分別以AC，BC為邊作正方形ACEG和正方形BCFH，連接EF，過點(diǎn)C作AB的垂線l交EF于點(diǎn)M，垂足為K. 求證：M為EF的中點(diǎn).

做了改變后，學(xué)生可以分別過點(diǎn)E和點(diǎn)F作直線l的垂線，垂足分別為I，J. 由已知條件容易證明Rt△CEI≌Rt△ACK，Rt△CFJ≌Rt△BCK，故有EI=FJ=CK，由此可證M為EF的中點(diǎn). 學(xué)生將簡化后的證明方法帶回原題，問題迎刃而解.

分析以上過程不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)解題過程其實(shí)就是一個不斷嘗試、不斷探索的過程，解題思路的形成往往源于學(xué)生對問題本質(zhì)的把握，源于學(xué)生對不同類別知識內(nèi)在聯(lián)系的感悟，而這些內(nèi)容往往難以通過講授來實(shí)現(xiàn). 因此，在教學(xué)中，教師要提供一些機(jī)會讓學(xué)生進(jìn)行自主探究和反思實(shí)踐，在探究和反思的過程中認(rèn)清問題的本質(zhì)，逐漸形成解題策略，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu). 同時，解題后教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思和回顧，及時提煉數(shù)學(xué)思想和方法，以此培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

在優(yōu)化解題過程中鼓勵學(xué)生反思

解題時容易發(fā)現(xiàn)，對于同一個問題，若解題思路不同，計算量也會有所不同. 從解題效率的角度來講，計算量越小，解題效率就越高，錯解的風(fēng)險也就越低. 因此，解題后，教師要引導(dǎo)學(xué)生對解題過程進(jìn)行反思，要引導(dǎo)學(xué)生嘗試通過不同的解法優(yōu)化解題過程，規(guī)避復(fù)雜運(yùn)算，從而提高解題效率.

例2若實(shí)數(shù)x，y，z滿足=1，=2，=3，求x的值.

學(xué)生獨(dú)立求解，教師巡視，并指定學(xué)生板演解題過程.

生1：由=1，得y=，由=2，得z=，所以z==，將其代入=3，化簡后得=3，由此解得x=.

師：很多學(xué)生都運(yùn)用了與生1相同的解決方案. 觀察以上解題過程，你有什么想法？

生2：以上過程雖然能夠得到答案，但是運(yùn)算過程有些煩瑣，解題效率比較低. 根據(jù)已知條件，感覺這個問題應(yīng)該有其他的求解方法，不過我還沒有發(fā)現(xiàn).

師：說得很好. 解題時，我們不能單純地追求結(jié)果，還要關(guān)注過程. 觀察以上式子的結(jié)構(gòu)特征，你們能找到一個好一點(diǎn)的方法嗎？（學(xué)生積極思考）

生3：由=1，有=1，于是有+=1①；由=2，有=，于是有+=②；同理可以得到+=③. 由①+②+③，得

可見，通過反思和再認(rèn)識，能實(shí)現(xiàn)運(yùn)算過程的優(yōu)化，能提高解題效率，能有效避免復(fù)雜運(yùn)算所帶來的錯解風(fēng)險，能提高解題準(zhǔn)確率. 因此，在解題教學(xué)中，教師不要解題后就草草了事，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的反思，嘗試尋找解題中存在的不足，鼓勵學(xué)生通過再認(rèn)識、再思考發(fā)現(xiàn)其他解題路徑，從而不斷優(yōu)化解題過程，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

在命題的拓展與延伸中鼓勵學(xué)生反思

在解題教學(xué)中，若僅限于“就題論題”地單一講授，學(xué)生很難進(jìn)入深度思考，這樣的教學(xué)方式不利于學(xué)生思維能力的提升. 在實(shí)際教學(xué)中，教師要善于通過一題多解、一題多變等方式促進(jìn)學(xué)生對問題本質(zhì)的理解，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力.

例3如圖3所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD的中點(diǎn). 求證：CE⊥BE.

例3是一道典型的平面幾何證明題，在中考中較為常見. 分析例3不難發(fā)現(xiàn)，其證明方法不唯一，因此教師可鼓勵學(xué)生嘗試運(yùn)用不同的方法進(jìn)行證明.

方法1如圖4所示，延長CE交BA的延長線于點(diǎn)G. 通過證明△CED≌△GEA，得到CE=GE，AG=DC，所以GB=BC. 所以CE⊥BE.

方法2如圖5所示，過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，可結(jié)合已知條件，根據(jù)勾股定理及其逆定理進(jìn)行證明.

方法3取BC的中點(diǎn)H，連接EH，通過添加中位線的方法進(jìn)行證明.

運(yùn)用不同的方法進(jìn)行證明后，教師鼓勵學(xué)生對比分析不同的解題方法. 比較方法2和方法3容易發(fā)現(xiàn)，方法2運(yùn)用了“∠A=90°”這一條件，而方法3并沒有使用這一條件，這就是說，其實(shí)原題中的條件可以削弱. 另外，已知條件給出了邊的長度的具體數(shù)值，但是運(yùn)用方法1和方法3證明時，只需要條件“BC=AB+CD”，不需要具體的數(shù)值，所以原題中的條件“AB=2，BC=3，CD=1”也可以弱化. 此外，通過證明容易得到如下兩個結(jié)論：①BE與CE分別為∠ABC，∠BCD的平分線；②S=S. 通過對比分析，教師可以對原題進(jìn)行改編.

變式? 在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD的中點(diǎn)，連接CE，BE.

（1）求證：CE⊥BE；

（2）BE，CE分別為∠ABC，∠BCD的平分線；

（3）S=S.

在證明結(jié)論“S=S”時發(fā)現(xiàn)條件“BC=AB+CD”并無依賴性，為此可得到這樣的結(jié)論：在梯形ABCD中，AB∥CD，E是AD的中點(diǎn)，則有S=S. 繼續(xù)探究命題中條件與結(jié)論之間的關(guān)系，可得到逆命題：在梯形ABCD中，AB∥CD，E是腰AD上一點(diǎn)，若S=S，則E是AD的中點(diǎn).

通過拓展、延伸，將一個命題轉(zhuǎn)化為多個命題，再利用對比分析理清問題的來龍去脈，能加深學(xué)生對問題本質(zhì)的理解，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知. 由此可見，解題時，教師既要鼓勵學(xué)生進(jìn)行多角度探究，又要引導(dǎo)學(xué)生對不同解法進(jìn)行有效的對比分析，以此理解問題的本質(zhì). 另外，在保持問題本質(zhì)特征不變的情況下，“一題多變”能開闊學(xué)生的視野，能幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

在錯解中鼓勵學(xué)生反思

在解題過程中，錯誤是不可避免的，教師對待錯誤的態(tài)度直接影響著學(xué)生解題能力的提升. 若面對錯誤教師只是一筆帶過，那么學(xué)生難以對錯誤形成深刻的印象，解題時會出現(xiàn)“一錯再錯”的現(xiàn)象，因此，對錯誤進(jìn)行反思勢在必行. 進(jìn)行錯誤反思時，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行錯解分析，探明產(chǎn)生錯誤的原因，并充分挖掘錯誤資源，讓學(xué)生經(jīng)歷由“誤”到“悟”的過程，從而深化對知識的理解，避免“一錯再錯”.

例4四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，且滿足AB=CD，有下列四個條件：①OB=OC；②AD∥BC；③=；④∠OAD=∠OBC. 若只增加一個條件，使得∠BAC=∠CDB成立，則這個條件可以是（ ? ? ?）

A. ②④ ? ? ? ? ?B. ②

C. ③④ ? ? ? ? ? ?D. ④

例4是一道由結(jié)論探究條件的試題，具有一定的開放性. 該題的正確率不高. 調(diào)研分析后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生之所以出現(xiàn)錯誤，主要有以下兩個原因：一是審題不清，忽視了“只增加一個條件”這一要求，錯誤地選擇了A，C；二是探究不全面，當(dāng)AD∥BC時，若AD≠BC，則四邊形ABCD為等腰梯形，∠BAC=∠CDB成立；當(dāng)AD∥BC時，若AD=BC，則四邊形ABCD為平行四邊形，則∠BAC=∠CDB不一定成立，因未進(jìn)行有效的分類討論，而錯誤地選擇了B. 這樣有效的錯因分析，能發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維漏洞；這樣有效的修補(bǔ)，可以有效地提高學(xué)生的解題技能，避免“一錯再錯”“會而不對”等現(xiàn)象的發(fā)生.

總之，在解題教學(xué)中，師生一定要靈活地運(yùn)用好“反思”這一有力武器，充分發(fā)揮“反思”在優(yōu)化解題思路、提升解題技能、優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)等方面的作用，助力學(xué)生學(xué)習(xí)能力的全面提升.