范雷 馮姣

［摘 ?要］ 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課既要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鞏固已學(xué)知識(shí)，又要注意前后聯(lián)系，溫故知新，構(gòu)建知識(shí)體系. 在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，教師要發(fā)揮創(chuàng)意，用新穎的題型引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，不斷提升學(xué)生的思維水平.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)；三角函數(shù)；溫故知新

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課既要做到回頭望，對(duì)已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行鞏固復(fù)習(xí)，又要在復(fù)習(xí)過程中產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí)，構(gòu)建新的知識(shí)體系，產(chǎn)生新的理解. 在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，要防止學(xué)生對(duì)學(xué)過的知識(shí)感到厭倦，在課堂上沒有積極性，因此教師要進(jìn)行精巧的設(shè)計(jì)，用新穎的題型和情境吸引學(xué)生的注意力. 在復(fù)習(xí)過程中還要注意通過歸納和總結(jié)，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，理解解題的思路和方法，提升解題能力. 下面筆者以復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)為例，談一談復(fù)習(xí)課的教學(xué)策略，如何提高復(fù)習(xí)效率.

有效提問，有效指導(dǎo)

復(fù)習(xí)課教學(xué)都是知識(shí)再現(xiàn)，因此教師設(shè)問顯得尤為重要，“好的問題”能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，能帶給學(xué)生深刻的感悟，能促使學(xué)生不斷成長(zhǎng). 故教師設(shè)問不能隨意，必須有的放矢，有重點(diǎn)、有目標(biāo)，能最大限度地激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，使課堂教學(xué)的開展更加流暢自然.

案例1 如圖1所示，在Rt△ABC中，∠ACB是直角，AB⊥CD，已知BD=2，CD=2，求AC的長(zhǎng)度.

師：要解決這個(gè)問題，可以通過解哪些直角三角形完成？

生1：在Rt△BCD中，因?yàn)镃D⊥BD，BD=2，CD=2，故tanB===，所以∠B的度數(shù)為60°，所以∠A的度數(shù)為30°；在Rt△ACD中，AC==4.

師：這是由特殊的三角函數(shù)得到的.

生2：在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理可得BC=4. 在Rt△ABC中，AC=BC·tan60°=4.

師：很好，這是由勾股定理得到的.

生3：在Rt△ABC中，∠ACB為直角，CD垂直于AB，所以∠ADC和∠CDB相等，∠ACD和∠B相等，所以△ADC和△CDB相似，所以=，所以AC=4.

師：很好，生3是通過相似三角形的性質(zhì)得到的.

生4：老師，我也是通過勾股定理得到的，但是具體步驟與生2不同. 在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理可得BC=4. 設(shè)AC=x，則AD=，由面積法可得（+2）×2=x×4，解得AC=x=4.

師：非常精彩. 由同學(xué)們給出的幾種方法，我們可以看到三角函數(shù)多個(gè)角度的運(yùn)用.

在進(jìn)行定義和概念的復(fù)習(xí)時(shí)，教師應(yīng)該盡量避免問題的碎片化和零散化，如復(fù)習(xí)三角函數(shù)時(shí)直接提問：“說出銳角三角函數(shù)的定義；特殊角的三角函數(shù)的定義.”這樣的問題缺少思考性，難以調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣，也不利于營(yíng)造良好的課堂氛圍. 本例中，通過將三角函數(shù)知識(shí)蘊(yùn)含于題目中，使學(xué)生從多個(gè)角度觀察問題，培養(yǎng)了思維的靈活性，真正理解三角函數(shù)的定義，在輕松的氛圍中提升了學(xué)習(xí)效果.

有效閱讀，透析本質(zhì)

復(fù)習(xí)課教學(xué)中需要從學(xué)生已有的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在體驗(yàn)情境的過程中理解數(shù)量關(guān)系和變化的規(guī)律，使學(xué)生能在體驗(yàn)情境的過程中建立數(shù)學(xué)模型，將知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際問題的解決中去，加強(qiáng)方程、不等式以及三角函數(shù)等知識(shí)之間的聯(lián)系.

案例2 如圖2所示，在廣場(chǎng)上空有一個(gè)氣球A，地面上三點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，BC長(zhǎng)20 m，在點(diǎn)B，C處分別測(cè)得氣球A的仰角∠ABD為45°，∠ACD為56°，求氣球A距離地面的高度AD（精確到0.1 m，tan56°≈1.483）.

師：怎樣用好三角函數(shù)知識(shí)解決這個(gè)問題呢？同學(xué)們思考一下：氣球A距離地面的高度AD可以利用哪個(gè)直角三角形求解？

生5：可以利用Rt△ABD或Rt△ACD求解.

師：圖中的這兩個(gè)直角三角形除了已知∠ABD=45°，∠ACD=56°外，缺少什么條件？它們之間有什么內(nèi)在的聯(lián)系？

生6：這兩個(gè)直角三角形都缺少已知邊的條件，但是它們有一條公共的直角邊AD，我們可以設(shè)CD為x m，用x的代數(shù)式表示BD，再通過公共邊AD得到變量之間的相等關(guān)系. 即（20+x）tan45°=xtan56°，所以AD=tan56°≈61.4（m）.

師：根據(jù)生6的思路，我們需要找到固定不變的量，也就是氣球的高度，再通過三角函數(shù)求高.

生7：可以設(shè)AD為x m，在Rt△ACD中，CD=；在Rt△ABD中，BD=. 所以-=20，解得AD≈61.4（m）.

師：這兩種方法分別從直接和間接兩個(gè)角度求解，我們的生活中也有這樣的問題嗎？接下來讓我們看看下面兩道題，能否進(jìn)行類比和轉(zhuǎn)化呢？

題1：如圖3所示，一條小河的旁邊有一座山，從山頂?shù)腁點(diǎn)俯瞰小河的C點(diǎn)和D點(diǎn)，分別得到夾角的度數(shù)為30°和45°，這條小河的寬度CD為50米. 若現(xiàn)在從山頂?shù)腁點(diǎn)拉一條筆直的纜繩AC到小河對(duì)岸的C點(diǎn)，你能求出纜繩AC的長(zhǎng)嗎？

生8：作CD的垂線AB，且AB與CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)B. 根據(jù)俯角的定義，可知AE與CD平行，得到∠C和∠ADB的度數(shù)分別為30°和45°，從而得到類似于案例2的問題.

題2：某礦物探測(cè)隊(duì)探測(cè)到一幢廢墟建筑的下方點(diǎn)C處有礦物質(zhì)，觀察圖4可知，在地面上探測(cè)隊(duì)挖掘了兩個(gè)探測(cè)點(diǎn)A和B，它們之間的距離為3米，A點(diǎn)處的探測(cè)線與地面形成的夾角為30°，B點(diǎn)處的探測(cè)線與地面形成的夾角為60°，試確定點(diǎn)C的深度.（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）

生9：如圖4所示，本題同樣通過作輔助線進(jìn)行解決，即過點(diǎn)C作CD垂直于AB，與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，然后通過所學(xué)的相關(guān)定理轉(zhuǎn)化為上一類問題.

在掌握所學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，再次尋找新的問題，經(jīng)過反思和總結(jié)可以鞏固已學(xué)知識(shí)，并促進(jìn)知識(shí)深化以及思維進(jìn)一步發(fā)展. 經(jīng)過習(xí)題的拓展和延伸，引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象抓住問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，在解題和反思中鞏固知識(shí)，深化理解，學(xué)會(huì)解直角三角形的方法，提升學(xué)生的適應(yīng)能力，掌握解題技巧.

有效探究，深入反思

復(fù)習(xí)課教學(xué)中，教師應(yīng)基于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，給學(xué)生充分的參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地探索和交流，掌握數(shù)學(xué)的基本技能，體會(huì)數(shù)學(xué)思想，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

案例3 根據(jù)市里對(duì)建筑的要求，建筑樓房需要保證采光時(shí)間，因此樓房之間的距離不能太小，至少要保證中午12時(shí)是有陽光照射的.

如圖5所示，現(xiàn)在需要在一幢舊樓的正南方建一幢新樓，兩樓的距離為40 m，舊樓的一樓窗臺(tái)高1 m，根據(jù)統(tǒng)計(jì)該地冬天中午12時(shí)太陽從正南方照射的光線與水平線的最小夾角為30°，為了提高收益，需要計(jì)算新樓最高可建多少米.

生10：在符合規(guī)定的情況下，我們可以利用三角函數(shù)求解，圖5中新樓與舊樓之間可以建構(gòu)直角三角形，保證陽光照射到一樓窗臺(tái).

解法1 如圖6所示，過點(diǎn)F作輔助線EF垂直于AB，與AB相交于點(diǎn)E，在Rt△AEF中，AE=EF·tan30°=40×=（m），則AB=EB+AE=1+≈1+23=24（m）.

解法2 如圖7所示，AF的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，在Rt△ABG中，BG=，則CG=BG-BC=-40. 由于AB與CF平行，故△FCG和△ABG相似，因此=，即=，可以解得AB=≈24（m）.

教學(xué)要挖掘知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)涵，案例3在傳授知識(shí)的同時(shí)，通過試題訓(xùn)練，并且采用一題多解的方法，鍛煉學(xué)生思維的靈活性，讓其掌握多種解題方法，深入體會(huì)數(shù)學(xué)思想和本質(zhì).

變式練習(xí)，彌補(bǔ)缺陷

銳角三角函數(shù)的知識(shí)需要在直角三角形的基礎(chǔ)上應(yīng)用，但是在解決問題的過程中，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)很多問題的難點(diǎn)就在于沒有現(xiàn)成的直角三角形可以利用，必須進(jìn)行構(gòu)造. 因此在銳角三角函數(shù)的教學(xué)中，構(gòu)造直角三角形與銳角三角函數(shù)進(jìn)行聯(lián)系是一個(gè)重要的教學(xué)內(nèi)容，需要通過變式練習(xí)加強(qiáng)引導(dǎo)和思考，提升學(xué)生的思維深度.

案例4 如圖8所示，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinA的值是多少？

師：同樣需要用到三角函數(shù)，我們?cè)鯓硬拍苷业竭@個(gè)“三角函數(shù)”，如何使用它？想要解決這個(gè)問題，先要將∠A放到直角三角形中，但觀察圖形△ABC并不是直角三角形，因此必須通過添加輔助線來構(gòu)造直角三角形，那么如何構(gòu)造這個(gè)直角三角形呢？

生11：觀察圖9，線段AB在網(wǎng)格的對(duì)角線上，而C是格點(diǎn)，過點(diǎn)C作AB的垂線CD，垂足為O，△ABC的AB邊上的高線就是線段CO，則S=×2×3=×3CO，解得CO=，AC=，所以sinA===.

變式1：六個(gè)小正方形組成一個(gè)網(wǎng)格（如圖10所示），小正方形的邊長(zhǎng)相同，小正方形有頂點(diǎn)A，B，C，D，AB和CD相交于點(diǎn)P，則tan∠APD的值是多少？

生12：如圖11所示，通過對(duì)頂角相等、正方形的對(duì)角線性質(zhì)可得∠APD=∠BPF，△PBF為直角三角形. 在Rt△PBF中，可得tan∠BPF==2.

生13：我還有其他方法，如圖12所示，首先連接AE和BE，可得Rt△AEB；由平行線的性質(zhì)、正方形的對(duì)角線性質(zhì)和同位角定理可得：在Rt△AEB中，tan∠APD=tan∠ABE==2.

通過變式訓(xùn)練，應(yīng)用一題多變、一題多解等多種習(xí)題講評(píng)的有效方式，使得學(xué)生可以從多個(gè)角度調(diào)動(dòng)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的系統(tǒng)化、網(wǎng)格化，有利于建構(gòu)知識(shí)體系，提高學(xué)習(xí)效率，實(shí)現(xiàn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí).

綜上所述，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)思維不斷完善的過程，本課通過勾股定理、特殊角的三角函數(shù)和相似三角形等知識(shí)解決問題，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到生活中三角函數(shù)應(yīng)用的廣泛性. 在例題設(shè)計(jì)的過程中，通過有效的提問，抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)和變式訓(xùn)練等對(duì)學(xué)生所學(xué)知識(shí)加以鞏固，全方位地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)生思維的能動(dòng)性，讓學(xué)生在輕松愉快的氛圍中提升學(xué)習(xí)效率.