陳連生

摘要：幾何變換思想是初中數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想，其所體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)運(yùn)動變化以及在運(yùn)動變化過程中仍然存有不變量的數(shù)學(xué)理念。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以利用裁剪活動、多媒體教學(xué)工具等手段，增強(qiáng)學(xué)生對于幾何變換過程的動態(tài)直觀體驗(yàn)，奠定幾何變換思想基礎(chǔ)，同時(shí)引入一題多解的教學(xué)手段，幫助學(xué)生形成運(yùn)用幾何變換思想的解題意識，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思想水平。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);幾何變換思想;數(shù)學(xué)思想;解題意識

伴隨著課程改革的不斷深入，義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)開始構(gòu)建“四基”教學(xué)體制和理念，數(shù)學(xué)思想教育成為義務(wù)階段數(shù)學(xué)教育的核心。相較傳統(tǒng)教學(xué)模式，新課程背景下數(shù)學(xué)思想的引入，不僅幫助學(xué)生樹立了正確的數(shù)學(xué)觀念，而且有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識理論體系的融會貫通，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。在初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生對于幾何證明知識學(xué)習(xí)起來比較困難，其主要原因在于學(xué)生缺少幾何變換的思想認(rèn)知，缺少邏輯性的思維構(gòu)建。因此，在開展教學(xué)的過程中，教師應(yīng)當(dāng)注重幾何變換思想的融入和滲透，通過創(chuàng)新教學(xué)手段，為學(xué)生打開認(rèn)識數(shù)學(xué)規(guī)律、理解數(shù)學(xué)思想的思維大門。

1? ?初中階段學(xué)生接受的幾何變換思想

1.1新課程標(biāo)準(zhǔn)對于數(shù)學(xué)思想教學(xué)的新要求

早在2001年，在教育部頒布實(shí)施的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)中，便將幾何變換作為義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)體系當(dāng)中的重要內(nèi)容，學(xué)生通過初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，需要能夠掌握合同變換、相似變換等不同變換形式，理解數(shù)學(xué)幾何當(dāng)中的變換關(guān)系。2011年，對義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了內(nèi)容革新，新課程標(biāo)準(zhǔn)從教育理念視角出發(fā)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中幾何變換的數(shù)理特點(diǎn)應(yīng)當(dāng)以外顯性的知識形態(tài)呈現(xiàn)在學(xué)生面前，同時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)還需要將其背后隱含的思想方法滲透到學(xué)生的學(xué)習(xí)和實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中。初中階段的幾何變換對于學(xué)生來說既是一種認(rèn)識各種幾何圖形的思維工具，同時(shí)也是數(shù)學(xué)當(dāng)中運(yùn)動變化思想的重要體現(xiàn)。教師需要認(rèn)識到幾何變換本身所具有的思想特性，進(jìn)而通過組織開展?jié)B透幾何變換思想的教學(xué)，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)思想體系。

1.2初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生接觸到的初等幾何變換知識

在初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生主要接觸幾何學(xué)中的初等幾何變換知識。根據(jù)類型特征進(jìn)行分類，初中的幾何變換主要分為平移變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換以及位似變換等。其中，平移變換主要是指在圖形F當(dāng)中的所有點(diǎn)，沿同一方向移動，經(jīng)過相同的移動長度后，得到圖形F′，整個(gè)變換過程為平移變換。在變換特性方面，平移變換主要由向量決定，向量的實(shí)際方向以及向量的模最終決定了平移的數(shù)量。

反射變換主要是指在平面內(nèi)有兩個(gè)圖形F和F′，兩個(gè)圖形呈軸對稱關(guān)系。其中F與F′以直線L作為對稱軸，此時(shí)該圖形變換被稱為反射變換，其中直線L則是變換圖形的反射軸。兩個(gè)圖形彼此轉(zhuǎn)向相反。在圖形變換當(dāng)中，兩個(gè)圖形自身全等，圖形上對應(yīng)點(diǎn)之間的連線能夠被反射軸垂直平分。

旋轉(zhuǎn)變換是指圖形F上的每個(gè)點(diǎn)，沿著點(diǎn)O做順時(shí)針或逆時(shí)針的圓周運(yùn)動，通過旋轉(zhuǎn)α角度后，得到新的圖形F′，其中圖形F通過旋轉(zhuǎn)的方式得到圖形F′的過程為旋轉(zhuǎn)變換，O是旋轉(zhuǎn)變換的旋轉(zhuǎn)中心，α是旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)變換中，旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形為全等關(guān)系，旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所形成的角與旋轉(zhuǎn)角相等。

位似變換是指在平面上有圖形F和F′，這兩個(gè)圖形在點(diǎn)與點(diǎn)之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，滿足任意連接對應(yīng)頂點(diǎn)時(shí)連接直線都經(jīng)過同一點(diǎn)O，若A與A′為任意對應(yīng)點(diǎn)，則有OA′=|k|OA。

1.3初中學(xué)生需要形成的幾何變換思想

幾何變換當(dāng)中所呈現(xiàn)的思想源于幾何變換過程中所表現(xiàn)出的運(yùn)動規(guī)律。在幾何學(xué)中，幾何變換主要通過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似變換等方式完成一種或多種疊加，但是其中圖形之間仍然保持一些量不變的特性，在運(yùn)動過程中仍然存在一些沒有變化的量，對于變化中不變量的正確認(rèn)知的思想，便是學(xué)生需要掌握的幾何變換思想。在初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要認(rèn)識到幾何變換思想對于學(xué)生形成全面認(rèn)知數(shù)學(xué)思維的重要作用，通過巧妙的數(shù)學(xué)教學(xué)滲透，使學(xué)生正確認(rèn)識到幾何變換思想的價(jià)值。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生不斷嘗試運(yùn)用并理解幾何變換思想在圓的認(rèn)知、輔助線應(yīng)用等方面的重要作用，奠定學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)矩陣變換知識的思想基礎(chǔ)。

2? ?初中數(shù)學(xué)現(xiàn)階段教學(xué)中幾何變換思想教學(xué)的困局

2.1教師在教學(xué)中對幾何變換思想不夠重視

幾何變換思想是新課程改革背景下初中數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行教學(xué)創(chuàng)新的重要方向，是滲透數(shù)學(xué)思想、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。但是，在調(diào)查分析中可以發(fā)現(xiàn)，大部分教師對于幾何變換思想的教學(xué)認(rèn)知不足，教師普遍將幾何變換作為一種工具概念，學(xué)生只需要在學(xué)習(xí)過程中了解幾何變換的形態(tài)即可。在這種教學(xué)方式之下，教師很難主動進(jìn)行幾何變換的思想拓展，無法將幾何變換思想與其他知識進(jìn)行系統(tǒng)融合來幫助學(xué)生更加深層次地理解幾何規(guī)律。就目前的教學(xué)情況來看，初中階段學(xué)生面臨著嚴(yán)峻的升學(xué)壓力，課時(shí)較短、教學(xué)內(nèi)容繁重，教師多采用傳統(tǒng)快節(jié)奏的教學(xué)方式，更追求課堂中的內(nèi)容容量，以保證課程教學(xué)進(jìn)度。但是這種教學(xué)方式忽視了學(xué)生對于知識的學(xué)習(xí)和掌握，沒有給學(xué)生預(yù)留充足的思考和反思時(shí)間，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能夠?qū)W習(xí)的思想十分有限，也很難從整體視角出發(fā)，將零散的數(shù)學(xué)知識整合起來，實(shí)現(xiàn)知識的觸類旁通。教師在教學(xué)中大多是要求學(xué)生對已經(jīng)學(xué)習(xí)過的幾何模型進(jìn)行機(jī)械式記憶。通過機(jī)械記憶，學(xué)生雖然能夠?qū)缀文Ｐ瓦M(jìn)行描述，但是對于幾何模型的數(shù)理特點(diǎn)以及不同幾何模型之間存在的聯(lián)系，學(xué)生卻知之甚少。學(xué)生的思想觀念沒有得到培養(yǎng)塑造，只是在不斷的“題海戰(zhàn)術(shù)”中進(jìn)行重復(fù)訓(xùn)練，逐漸消磨他們的學(xué)習(xí)興趣，導(dǎo)致學(xué)生很難投入熱情，無法自主反思，也不能產(chǎn)生思維探索和創(chuàng)新能力。而這也恰恰是當(dāng)前幾何變換思想在初中教學(xué)滲透過程中面臨的困局之一。

2.2學(xué)生缺少主動運(yùn)用幾何變換思想的意識

在對學(xué)生的數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)思想的實(shí)踐情況進(jìn)行觀察后發(fā)現(xiàn)，初中階段學(xué)生的數(shù)學(xué)思想運(yùn)用較少，面對問題時(shí)，很難利用數(shù)學(xué)思想找尋到巧妙解決問題的辦法。其中，幾何變換思想在幾何證明題中有著十分廣泛的應(yīng)用，但是學(xué)生在做幾何證明題時(shí)卻很少利用幾何變換的方式獲取未知信息，更多情況下，他們還是會采用相似、全等等更加熟悉的證明方法進(jìn)行論證。也有部分學(xué)生在面對可以利用輔助線解決的問題時(shí)束手無策，對于題目當(dāng)中給出的各項(xiàng)信息有著怎樣的邏輯關(guān)聯(lián)無法有清晰的認(rèn)知。造成這種情況的主要原因在于學(xué)生長久以來都處于被動接受知識的狀態(tài)，對于數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)也缺乏積極主動性，只是為了應(yīng)付考試，學(xué)生很少主動運(yùn)用數(shù)學(xué)思維，沒有形成探究意識和創(chuàng)新意識，進(jìn)而缺少思維的靈活性，無法做到舉一反三。一些能夠利用旋轉(zhuǎn)、平移等幾何變換解決的問題，學(xué)生卻并未意識到幾何變換在其中的作用，最終無法將幾何變換融入其中。就目前的教學(xué)情況來看，傳統(tǒng)教學(xué)模式在一定程度上提高了教學(xué)效率，保證了教學(xué)進(jìn)度和教學(xué)節(jié)奏，對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平具有顯著作用。但是從長遠(yuǎn)發(fā)展角度來看，這種教學(xué)方式對于學(xué)生的思維成長和思想成熟來說是有害的，學(xué)生無法理解數(shù)學(xué)當(dāng)中運(yùn)動變化的規(guī)律特征，無法形成對于幾何學(xué)習(xí)的正確認(rèn)知，很難在后續(xù)學(xué)習(xí)中投入學(xué)習(xí)熱情，甚至在接觸到矩陣與變換的學(xué)習(xí)時(shí)，由于數(shù)學(xué)思想基礎(chǔ)薄弱，會產(chǎn)生無法理解的思維問題。

3? ?初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透幾何變換思想的教學(xué)策略

3.1利用手工剪切方式增強(qiáng)學(xué)生對于幾何變換的直觀印象

傳統(tǒng)課堂教學(xué)中所開展的幾何變換教學(xué)，主要是由教師通過展示圖形形態(tài)和描述圖形性質(zhì)來實(shí)現(xiàn)，這種教學(xué)方式對于學(xué)生直觀感受幾何變換的過程，形成幾何變換思想，能夠起到的幫助作用并不大。教師應(yīng)當(dāng)轉(zhuǎn)變教學(xué)思路，突出幾何變換當(dāng)中能夠呈現(xiàn)直觀動態(tài)和不變量的形象特點(diǎn)，以此培養(yǎng)學(xué)生直觀感受加理性思考相結(jié)合的思維能力，幫助學(xué)生樹立幾何變換思想。教學(xué)方面，教師可以結(jié)合一些日常的手工活動，通過設(shè)計(jì)折紙、裁剪等手工藝品制作的動手活動，幫助學(xué)生直觀感受幾何變換的實(shí)際過程。例如，教師可以將裁剪活動引入三角形中位線以及圖形運(yùn)動中，通過教學(xué)指導(dǎo)的方式，引導(dǎo)學(xué)生思考怎樣將一張四邊形的紙片裁剪成平行四邊形。學(xué)生在裁剪紙片之前，首先需要掌握四邊形本身的性質(zhì)，通過裁剪紙片的四個(gè)角得到一個(gè)平行四邊形。接下來，教師繼續(xù)追問，裁剪下來的四個(gè)角能夠組成什么圖形。此時(shí)學(xué)生根據(jù)教師的指引，再次進(jìn)行圖形的拼合，隨后學(xué)生發(fā)現(xiàn)，裁剪下的四個(gè)角仍然能夠拼合成一個(gè)完整的平行四邊形。通過這種親身體驗(yàn)的方式，學(xué)生逐漸體會到圖形的變換特點(diǎn)，了解到四邊形裁剪后得到的兩個(gè)平行四邊形四個(gè)角之和仍然為360°的不變量特性。

3.2利用多媒體作圖教學(xué)展示幾何變換的規(guī)律

在課堂教學(xué)中，教師還需要認(rèn)識到初中階段的幾種幾何變換類型之間存在的緊密關(guān)系，通過強(qiáng)化聯(lián)系的方式培養(yǎng)學(xué)生的整體性思維。例如，多次平移與一次平移之間存在的關(guān)系、經(jīng)過兩次軸對稱之后圖形發(fā)生了怎樣的變化等。為了能夠清晰展示幾何變換當(dāng)中圖形的變化特點(diǎn)，教師可以通過多媒體作圖演示的方式，展示幾種類型的變換規(guī)律和內(nèi)在關(guān)系。例如，教師可以在軸對稱的教學(xué)中將平行對稱軸和相交對稱軸兩種對稱軸形式下出現(xiàn)的軸對稱變化差別演示出來。學(xué)生通過觀看教師的演示后可以發(fā)現(xiàn)，平行對稱軸當(dāng)中圖形經(jīng)過了兩次軸對稱變換，獲取到了位置不同的全等圖形。兩個(gè)圖形之間的變化與一次平移的結(jié)果相同。而在相交的對稱軸當(dāng)中，圖形經(jīng)過兩次軸對稱平移后得到了全等圖形，兩個(gè)圖形之間所呈現(xiàn)的變換關(guān)系與旋轉(zhuǎn)變換的結(jié)果相同，其中旋轉(zhuǎn)角即為兩個(gè)對稱軸的相交角。通過直觀的演示，教師幫助學(xué)生建立了更加全面的軸對稱聯(lián)系觀念。

3.3采用一題多解教學(xué)手段強(qiáng)化學(xué)生對于幾何變換思想的運(yùn)用

幾何變換思想的教學(xué)主要目的是幫助學(xué)生了解更加廣闊的數(shù)學(xué)認(rèn)知視域，引導(dǎo)學(xué)生更加全面深刻地理解數(shù)學(xué)問題。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要通過實(shí)踐教學(xué)方式培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用幾何變換思想解決數(shù)學(xué)問題的意識，提高他們對于幾何變換思想的認(rèn)知水平。

例如，在三角形證明題目中，可以采用一題多解的教學(xué)方式。題目：在△ABC中，有點(diǎn)D，滿足DA=3，DB=4，DC=5，求△ABC的邊長。在解題過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，嘗試從旋轉(zhuǎn)變換以及軸對稱變換兩個(gè)角度出發(fā)，通過繪制輔助線對已知條件進(jìn)行整理，最終完成解答。在旋轉(zhuǎn)變換解題方法中，學(xué)生首先將△ABD中A作為旋轉(zhuǎn)中心，對其進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ACE，連接DE，并延長，得到線段BD，DB與AE相交于點(diǎn)F。根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，此時(shí)∠DAE為60°，因此△ABD≌△ACE。由此可得到AE=AD=3，CE=BD=4，因此△ADE為等邊三角形，DE=3，∠AED為60°，因此△DCE中DE=3，CE=4，CD=5。根據(jù)勾股定理的逆定理得，△CDE為直角三角形，∠DEC為90°，而∠AEC為∠AED與∠DEC之和為150°，因此∠ADB為150°，∠ADF為30°，∠DAE+∠ADF為90°，DF⊥AE。根據(jù)勾股定理AB2=BF2+AF2，可得到AB=。

此外，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在旋轉(zhuǎn)變換之外，再次找尋其他解題方法，如通過軸對稱的方式制作圖形輔助線進(jìn)行解題，最終會得到相同的答案。利用一題多解的教學(xué)方式，學(xué)生逐漸形成了利用幾何變換思想解決問題的意識，提高了學(xué)生在數(shù)學(xué)應(yīng)用當(dāng)中的思維能力。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要充分認(rèn)識到數(shù)學(xué)思想在學(xué)生全面發(fā)展中的意義和價(jià)值。其中幾何變換思想是此前學(xué)科教學(xué)中的薄弱環(huán)節(jié)，學(xué)生在實(shí)際數(shù)學(xué)思維運(yùn)用和數(shù)學(xué)問題解答過程中很難將幾何變換思想運(yùn)用其中，存在思維機(jī)械、靈活性不足等問題。教師應(yīng)當(dāng)在課堂中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)感知體驗(yàn)，幫助學(xué)生理解幾何變換中重要的不變量思想特點(diǎn)，認(rèn)識幾何圖形在發(fā)生變換過程中的規(guī)律及其所具有的重要意義。學(xué)生只有建立幾何變換思想，才能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得心應(yīng)手，觸類旁通，打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

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