朱月蘭 彭飛

[摘? 要] 數(shù)學(xué)思辨能力是重要的數(shù)學(xué)基本素養(yǎng). 數(shù)學(xué)思辨，即用數(shù)學(xué)的思想方法、知識、語言去理解、描述和解決各類問題的一種數(shù)學(xué)思維能力. 要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思辨能力，教師需要充分理解教材，遵循學(xué)生的認知規(guī)律，設(shè)計有思辨力的課堂教學(xué).

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);思辨力;初中數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)思辨，即用數(shù)學(xué)的思想方法、知識、語言去理解、描述和解決各類問題的一種數(shù)學(xué)思維能力. 數(shù)學(xué)思辨能力的提升有助于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的培養(yǎng).數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操，而作為構(gòu)建數(shù)學(xué)體系、獲得數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)成數(shù)學(xué)思維的重要形式，理性思維不僅能夠促使學(xué)生把握事物發(fā)展的脈絡(luò)，應(yīng)用所學(xué)知識條理清晰地解決實際問題，而且能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和解決問題的能力[1].

數(shù)學(xué)思辨能力是重要的數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思辨能力，教師需要充分理解教材，遵循學(xué)生的認知規(guī)律，設(shè)計有思辨力的課堂教學(xué). 下面筆者以“相似三角形的性質(zhì)2”的教學(xué)為例，設(shè)計一節(jié)有思辨力的數(shù)學(xué)課堂，以期拋磚引玉.

教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)內(nèi)容是蘇科版九年級數(shù)學(xué)下冊第六章第五節(jié)的第2課時，是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)完相似三角形判定的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的. 通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生需要對相似三角形的定義、判定和性質(zhì)有全面的了解. 從知識的前后聯(lián)系來看，相似三角形可以看作是全等三角形的拓展，相似三角形的性質(zhì)研究也可以看成是全等三角形性質(zhì)的進一步拓展、研究.此外，相似三角形的性質(zhì)不僅是研究相似多邊形性質(zhì)的基礎(chǔ)，還是今后解決圓類綜合題中線段關(guān)系的有效工具.

筆者仔細研讀新的課程標(biāo)準(zhǔn)后發(fā)現(xiàn)，新的課程標(biāo)準(zhǔn)不僅要求學(xué)生掌握幾何結(jié)論，更重視學(xué)生演繹推理能力的培養(yǎng)和提升. 從這個角度來說，這節(jié)課需要培養(yǎng)學(xué)生有條理地思考和有條理地表達的能力，即教師要在課堂上引導(dǎo)學(xué)生會思、善辨，讓他們逐步提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

學(xué)生學(xué)情分析

這節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了“相似三角形的判定”“相似三角形的對應(yīng)角相等”“相似三角形的對應(yīng)邊成比例”“相似三角形周長之比等于相似比”“相似三角形面積之比等于相似比的平方”等知識之后展開的，學(xué)生已經(jīng)有了一定的知識、方法儲備，也已經(jīng)養(yǎng)成了一定的觀察與分析問題的能力，這為本節(jié)課的教學(xué)提供了基礎(chǔ). 但初中生還處于識記、感性等階段，所以他們在轉(zhuǎn)化與化歸、邏輯推理等能力和素養(yǎng)方面還有待提高.

教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

教材基于學(xué)生知道相似三角形的性質(zhì)，提出了這節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)：理解相似三角形的性質(zhì)，經(jīng)歷探索相似三角形性質(zhì)的過程，并在探索過程中積極發(fā)展學(xué)生的情感、態(tài)度、價值觀，體現(xiàn)解決問題策略的多樣性，同時力圖在學(xué)習(xí)過程中逐步達到學(xué)生的情感態(tài)度目標(biāo).在以上分析的基礎(chǔ)上，根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，現(xiàn)針對這節(jié)課提出如下四維目標(biāo).

1. 知識技能

經(jīng)歷探索相似三角形中對應(yīng)線段之比與相似比的關(guān)系的過程，理解相似三角形的性質(zhì);利用相似三角形的性質(zhì)解決一些實際問題.

2. 數(shù)學(xué)考慮

在觀察、猜測、證明及綜合運用的活動中，培養(yǎng)學(xué)生合情推理和演繹推理的能力，讓他們明晰地表達出自己的想法.

3. 問題解決

提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，讓學(xué)生體驗解決問題方法的多樣性，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識;讓學(xué)生學(xué)會與別人合作、交流.

4. 情感態(tài)度

引導(dǎo)學(xué)生積極參與課堂活動，增強好奇心和求知欲;在學(xué)習(xí)的過程中，讓學(xué)生體驗獲得成功的樂趣，鍛煉克服困難的意志，建立學(xué)習(xí)自信心;培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成實事求是的科學(xué)態(tài)度.

教學(xué)重、難點

通過探索得出相似三角形對應(yīng)線段之比等于相似比，利用相似三角形對應(yīng)線段之比與相似比相等的性質(zhì)解決問題.

教學(xué)方法

這節(jié)課的教學(xué)方法以問題串的形式為主，即把多個問題串起來，由淺入深，逐步引導(dǎo)學(xué)生思辨，同時融入探究式教學(xué)、小組合作學(xué)習(xí)、多媒體教學(xué)等教學(xué)手段.

教學(xué)過程

1. 復(fù)習(xí)回顧

問題1 由△ABC∽△A′B′C′，可以得到哪些性質(zhì)？

設(shè)計意圖 旨在幫助學(xué)生回顧相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)邊之比叫相似比，并在三角形相似的基礎(chǔ)上回顧相似三角形周長之比等于相似比，為接下來探索“相似三角形中三條重要線段是否成比例，對應(yīng)線段之比等于什么”做鋪墊.

2. 探索新知

問題2 如圖1所示，△ABC∽△A′B′C′，D，D′兩點分別為BC，B′C′上的點. 若AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，設(shè)△ABC與△A′B′C′的相似比為k，那么■的值是多少？證明你的結(jié)論.

設(shè)計意圖 從學(xué)生熟悉的直角三角形入手，學(xué)生從感性的角度得出線段的比值為三角形的相似比. 接著，教師引導(dǎo)學(xué)生從理性的角度進行證明，并示范證明過程，總結(jié)證明的方法（兩角相等且夾邊成比例），同時教師運用多媒體將核心詞“對應(yīng)”進行展示與板書，引發(fā)學(xué)生淺層次的思與辨.

問題3 如圖2所示，△ABC∽△A′B′C′，D，D′兩點分別為BC，B′C′上的點. 若AD，A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的角平分線，設(shè)△ABC與△A′B′C′的相似比為k，你能求出的值嗎？你能證明嗎？

設(shè)計意圖 問題中的三角形為斜三角形，在“問題2”的基礎(chǔ)上進行了升級.學(xué)生從觀察、感性的角度仍會覺得線段之比為相似比. 三角形雖然由直角三角形變成了斜三角形，但證明方法不變.在“問題2”示范與總結(jié)的基礎(chǔ)上，學(xué)生可以給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過程. 從“問題2”到“問題3”，由靜到動、由“直”到“斜”，思維上升，能引發(fā)學(xué)生進一步的思與辨.

問題4 如圖3所示，△ABC∽△A′B′C′，D，D′兩點分別為BC，B′C′上的點. 若D，D′兩點分別是BC，B′C′的中點，設(shè)△ABC與△A′B′C′的相似比為k，那的值仍然等于k嗎？你能證明嗎？

設(shè)計意圖 “問題4”拋出的三角形為斜三角形，學(xué)生能從教師的語言暗示中、感性的直覺思維中，猜測出線段之比仍為相似比. “問題4”與其他問題相比，證明方法發(fā)生了變化，思維要求也在不斷提升. 在實際教學(xué)中，我們能清晰地看到，學(xué)生仍然想證明△ABD∽△A′B′D′，但至于如何證明，他們顯得有些吃力. 由于需要轉(zhuǎn)化思維方法，所以學(xué)生所思與所辨陷入困境.

問題5 對于“問題4”，在證明△ABD∽△A′B′D′的過程中，我們發(fā)現(xiàn)不能繼續(xù)應(yīng)用“兩角相等，夾邊成比例”來解決問題，你們還能用其他方法解決這個問題嗎？

設(shè)計意圖 通過小組合作探究，類比前面的探究過程，教師培養(yǎng)學(xué)生的主動探究意識，提高他們的合作交流能力. 通過教師的引導(dǎo)、學(xué)生的合作交流，學(xué)生能夠自主地發(fā)現(xiàn)要證明兩個三角形相似，還可以通過“兩邊成比例，夾角相等”來證明. 解決該問題能很好地發(fā)展學(xué)生思的深度、辨的能力，能提升學(xué)生理性認識問題的素養(yǎng).

問題6 已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比為k，D為BC邊上一點. 要在△A′B′C′中找點D的對應(yīng)點D′，該如何找？請說明理由.

（學(xué)生討論、交流后選出一個學(xué)生代表到黑板上演示如何找點D′的位置）

設(shè)計意圖 “問題6”既是前面幾個問題的總結(jié)，又是前面幾個問題的應(yīng)用與延伸. 學(xué)生通過交流，可以得到點D′的大概位置. 在具體說明需滿足的數(shù)量關(guān)系時，則需要教師點撥. 隨著該問題的解決，問題從三角形的高、角平分線、中線等特殊情況過渡到了一般情況，學(xué)生的思維得到了不斷的升華，不僅獲得了線段比與相似比之間的關(guān)系，還獲得了由特殊到一般、由淺入深的學(xué)習(xí)方法. 這樣能潛移默化地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3. 數(shù)學(xué)應(yīng)用

例1 （1）已知兩個相似三角形的中線之比為2∶3，那么它們的對應(yīng)角平分線之比為_____，周長之比為_____，面積之比為_____.

（2）若兩個相似三角形的面積之比為16∶9，那么它們的對應(yīng)高之比為_____，對應(yīng)中線之比為_____.

變式 如圖4所示，在△ABC中，D，E兩點分別在AC，AB上，∠ADE=∠B，AF⊥BC，AG⊥DE，垂足分別為F，G. 若AD=3，AB=5，則=_____.

設(shè)計意圖 例1的第（2）問，要求對應(yīng)線段之比，得先從條件中找出相似比，再應(yīng)用定理得到答案. 變式的題設(shè)條件未涉及相似，但通過對條件的分析并結(jié)合圖形可知實際為兩相似三角形對應(yīng)高之比. 教學(xué)時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目條件得到兩個三角形相似，再找出相似比，進而解決問題.

例2？搖如圖5所示，AF是△ABC中BC邊上的高，D，E兩點分別在AB，AC上，且DE∥BC，DE交AF于點G. 若DE=6，BC=10，GF=5，求點A分別到DE，BC的距離.

變式1？搖如圖6所示，AF是△ABC中BC邊上的高，P，Q兩點均在BC上，點D在AB上，點E在AC上. 若四邊形DEPQ是正方形，BC=12，AF=8，求正方形DEPQ的邊長.

變式2 如圖7所示，AF是△ABC中BC邊上的高，P，Q兩點均在BC上，點D在AB上，點E在AC上，四邊形DEPQ是矩形. 若BC=48，AF=16，DQ∶DE=5∶9，求矩形DEPQ的面積.

設(shè)計意圖 一題兩變式的設(shè)計能讓學(xué)生感受到“題目條件不斷變化，但解題思路和方法不變”，體會到運動變化中的“守恒”. 在例題、習(xí)題中體現(xiàn)思辨的過程，不僅是這節(jié)課知識的學(xué)習(xí)過程，還有助于學(xué)生在未來的學(xué)習(xí)和生活中解決問題.

4. 歸納、小結(jié)

（1）一個定理：相似三角形的對應(yīng)線段之比等于相似比.

（2）兩種思想：類比思想、方程思想.

課后反思

數(shù)學(xué)思辨能力是一種綜合的數(shù)學(xué)思維能力，包括數(shù)學(xué)思考、推理、判斷、交流等能力，數(shù)學(xué)思辨能力的強弱既是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)高低的一個重要指標(biāo)，也是新課改背景下數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是否達到基本要求的一個標(biāo)準(zhǔn).

1. 輕松的氛圍，讓課堂“活”起來，為思辨保駕護航

這節(jié)課是在他校借班公開課，聽課的人數(shù)較多. 剛開始，筆者由于緊張、放不開，整個課堂的氣氛比較緊張、稍顯沉悶，某些問題留給學(xué)生思考的時間不夠，故沒能大范圍地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，學(xué)生的主體地位沒有得到保證. 但隨著課堂節(jié)奏逐步舒緩、有序、漸入佳境，學(xué)生的思維逐漸活躍了起來. 所以筆者認為，課堂要想充滿思辨，教師首先要給學(xué)生營造輕松的學(xué)習(xí)氛圍，要讓學(xué)生在心理上接納教師，畢竟“親其師，才能信其道”;其次，教師在調(diào)動課堂氣氛的時候，語言表達要通俗易懂、生動有趣，教態(tài)要自然;再次，教學(xué)過程中，教師要讓學(xué)生多到講臺展示自己的解題思路、解題過程;最后，在學(xué)生展現(xiàn)自我的過程中，教師應(yīng)不吝嗇自己的表揚與肯定，多多激發(fā)學(xué)生的積極性，讓他們感受到成功的喜悅，從而讓課堂活起來、動起來.

2. 類比推理，在“變”中追求“不變”，提高思辨高度

為了體現(xiàn)這節(jié)課定理的完整性，筆者將第一課時的“相似三角形的對應(yīng)高之比等于相似比”嫁接到這節(jié)課中，因此復(fù)習(xí)回顧環(huán)節(jié)筆者設(shè)計了“由三角形相似可以得到哪些結(jié)論”這一問題情境，然后引導(dǎo)學(xué)生思考：相似三角形除了對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例而外，還有別的性質(zhì)嗎？并在對應(yīng)邊BC，B′C′上分別設(shè)計動點D，D′，當(dāng)AD，A′D′分別是這兩個三角形的對應(yīng)高時，學(xué)生通過猜想很快得到結(jié)論“相似三角形的對應(yīng)高之比等于相似比”. 至于如何證明，筆者則讓學(xué)生獨立完成，并概括相應(yīng)的性質(zhì)（性質(zhì)1），同時用符號表示. 接著，在D，D′兩點運動的過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生猜想相似三角形對應(yīng)角平分線、對應(yīng)中線之比的值，并嘗試自行證明，總結(jié)相應(yīng)的性質(zhì)（性質(zhì)2和性質(zhì)3），同時用符號表示. 接下來，筆者為了引發(fā)學(xué)生思考問題“當(dāng)動點在運動變化的過程中，是不是所到之處皆有這樣的性質(zhì)？”給出了如下問題：已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比為k，D為BC邊上一點. 要在△A′B′C′中找點D的對應(yīng)點D′，該如何找？請說明理由. 學(xué)生在思考、解決這一問題（即問題6）的過程中，能加深對“對應(yīng)”這一詞語的理解. 最后，筆者通過例題和變式加深了學(xué)生對4種“比”之間的關(guān)系的認識，突出了“比”的“同一性”. 這節(jié)課通過運動變化的問題情境得到了這樣的結(jié)論：對于兩個相似三角形，就算對應(yīng)邊的長度、對應(yīng)特殊線段的長度都發(fā)生變化，但它們的對應(yīng)角不變，對應(yīng)線段的比也不變. 學(xué)生能在此過程中體會到：以“不變應(yīng)多變”，在“運動變化”中依然存在“守恒”！

3. 開展思辨教學(xué)，提升思辨能力，為學(xué)生深度學(xué)習(xí)與創(chuàng)造奠基

深度學(xué)習(xí)和創(chuàng)造，是對認識對象進行系統(tǒng)、深刻和完整的研究. 對于這節(jié)課，學(xué)生在研究“相似三角形對應(yīng)線段之比等于相似比”這一性質(zhì)時，筆者先從學(xué)生已有的知識（相似三角形對應(yīng)邊的比等于相似比）出發(fā)，到淺層次的高之比的探究，再深入到角平分線、中線之比的探究，最終到一般對應(yīng)線段之比的探究，遵循了學(xué)生的認知規(guī)律——由淺入深，由特殊到一般. 這一過程不僅能讓學(xué)生充分體會到數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，還讓他們經(jīng)歷了一個系統(tǒng)的、深刻的知識學(xué)習(xí)過程. 這節(jié)課，筆者除了教給學(xué)生相似比的有關(guān)知識、解決相似問題的常見方法而外，還指導(dǎo)學(xué)生如何學(xué)習(xí)——展開豐富的聯(lián)想，找出相近或相似事物之間的聯(lián)系與區(qū)別，以加深對問題的認識與理解. 在“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的空間給教師學(xué)習(xí)、課前備課、課堂教學(xué)、課后反思等，學(xué)生的課前預(yù)習(xí)、小組合作、課后鞏固、交流探討、反饋評價等方面提供了很好的平臺，給枯燥的數(shù)學(xué)課堂帶來了活力[2]. 開展思辨的教與學(xué)還可以借助網(wǎng)絡(luò)信息技術(shù)去進行探討、探究，因為網(wǎng)絡(luò)信息技術(shù)不僅方便學(xué)生查找更為豐富的學(xué)習(xí)資源，還能幫助學(xué)生準(zhǔn)確作圖、精確計算等，能為學(xué)生的聯(lián)想、思辨提供一個很好的途徑. 當(dāng)然這節(jié)課在這方面還有些欠缺. 深度學(xué)習(xí)需要思辨，沒有思辨，學(xué)生就只能機械模仿，無法提升創(chuàng)造能力. 學(xué)生只要掌握思辨的方法，提升思辨能力，就能為未來的深度學(xué)習(xí)與創(chuàng)造奠基.

結(jié)束語

數(shù)學(xué)學(xué)科需要思辨能力. 初中數(shù)學(xué)思辨能力是指，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中思考問題，對問題加以辨析、推理，進而解決問題的能力. 思辨能力包含抽象思維、邏輯思維、創(chuàng)新思維等思維方式，是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可或缺的能力. 新課程改革對數(shù)學(xué)思辨能力的培養(yǎng)非常重視. 思辨能力是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識所進行的思維活動中智力特征的表現(xiàn)，是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的重要支點. 因此，對學(xué)生數(shù)學(xué)思辨能力的培養(yǎng)任重而道遠. 作為教師，我們應(yīng)在充分理解教材的基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)生的認知水平和認知規(guī)律，設(shè)計有思辨力的數(shù)學(xué)課堂，通過教學(xué)實例實踐操作，促進學(xué)生內(nèi)思，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)和表達興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的思辨能力.

參考文獻：

[1] 孫玉梅. 用數(shù)學(xué)思辨引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)[J]. 河南教育（教師教育），2021（08）：78-79.

[2] 彭飛，王平. 基于網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)空間下高中數(shù)學(xué)教與學(xué)方式變革的案例、原則與策略——以蘇教版必修5《等差數(shù)列的前n項和》為例[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（12）：3-6+12.

作者簡介：朱月蘭（1983—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.