徐黎明

[摘? 要] 幾何變式訓(xùn)練是通過一題多練、一題多解的方法培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的有效方法. 教學(xué)中可以通過圖形變化、條件變化、結(jié)論變化等方式，拓展學(xué)生思維，有效提升學(xué)生的解題能力.

[關(guān)鍵詞] 變式訓(xùn)練;解題技巧;思維訓(xùn)練

習(xí)題練習(xí)可以檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握情況，推動(dòng)教師的教學(xué)工作做出有效調(diào)整，能夠?qū)W(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行查漏補(bǔ)缺，可以有效提升學(xué)生的解題技巧，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心. 然而在習(xí)題教學(xué)中很容易落入“就題講題”的俗套，掉進(jìn)“題?！睉?zhàn)術(shù)，為了避免這種低效教學(xué)的模式，教師要發(fā)揮主觀能動(dòng)性進(jìn)行變式訓(xùn)練. 從不同的角度、不同的層次水平、不同的背景，在不改變習(xí)題本質(zhì)的情況下對(duì)習(xí)題進(jìn)行改編，可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想，有效掌握解題技巧，拓展思維的廣泛性[1]. 如何進(jìn)行快速高效地變式訓(xùn)練，在減輕教師負(fù)擔(dān)的同時(shí)，又能提升教學(xué)效果，筆者進(jìn)行了一些思考，總結(jié)出一些方法，與各位同行進(jìn)行討論.

原題簡(jiǎn)單變式

簡(jiǎn)單變式是在原題的基礎(chǔ)上不改變?cè)械募軜?gòu)和內(nèi)容，僅僅將結(jié)論和條件進(jìn)行互換，或者只是簡(jiǎn)單改變一個(gè)條件，又或者將結(jié)論作簡(jiǎn)單改變的一種變式訓(xùn)練. 這樣的變式訓(xùn)練難度不大，旨在使學(xué)生能夠熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，所以這樣的變式訓(xùn)練主要適用于新課的練習(xí).

案例1 如圖1所示，點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段AC上，AB和AC相等，∠B和∠C相等，求證：AD和AE相等.

變式1：（1）如圖1所示，點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段AC上，∠B和∠C相等，AD和AE相等，求證：AB和AC相等.

（2）如圖1所示，點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段AC上，AB和AC相等，AD和AE相等，求證：∠B和∠C相等.

變式2：如圖1所示，點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段AC上，AB和AC相等，∠B和∠C相等，求證：BD和CE相等.

變式3：如圖1所示，點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段AC上，AB和AC相等，CD垂直于AB，BE垂直于AC，求證：BD和CE相等.

思路評(píng)析 變式1只是將條件和結(jié)論進(jìn)行了簡(jiǎn)單互換，所以在解題思路上既有聯(lián)系又有區(qū)別，共同點(diǎn)在于都需要通過三角形全等進(jìn)行求證，但不同的是原題是通過角邊角進(jìn)行判定，而變式則分別是通過角角邊和邊角邊進(jìn)行判定.變式2和變式3雖然對(duì)結(jié)論和條件都進(jìn)行了簡(jiǎn)單的變化，但是解題思路沒有發(fā)生改變，仍然是通過三角形全等進(jìn)行求解. 通過這樣的變式練習(xí)，學(xué)生對(duì)于三角形全等的求證方法得到了進(jìn)一步的鞏固.

上述的變式訓(xùn)練筆者的選材沒有脫離教材，但是又對(duì)教材進(jìn)行了深入挖掘，讓學(xué)生在感悟試題條件、結(jié)論等發(fā)生變化的基礎(chǔ)上，對(duì)解題思路做出相應(yīng)的改變，在變化中尋找不變，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生積極思考，體驗(yàn)獲得成果的喜悅.

幾何圖形變式

幾何證明題的變式練習(xí)離不開圖形變式訓(xùn)練，通過對(duì)圖形的改變，形成一組圖形變式系列題，加大了題目的難度，需要學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決，因此這樣的變式練習(xí)適合單元復(fù)習(xí)使用. 圖形變式練習(xí)著重考查學(xué)生面對(duì)不同的條件，學(xué)會(huì)同類轉(zhuǎn)化，能采用相同的解題思路解決問題，提升學(xué)生的識(shí)圖能力，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果.

案例2 已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（除B點(diǎn)和C點(diǎn)）. 以AD為邊作菱形ADEF，使∠DAF=60°，連接CF.

（1）如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)D在BC邊上時(shí)，求證：①∠ADB和∠AFC相等;②判斷∠AFC是否等于∠ACB與∠DAC的和.

（2）如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)D在BC邊的延長線上時(shí)，若其他條件不變，那么∠AFC是否等于∠ACB與∠DAC的和？你認(rèn)為∠AFC，∠ACB，∠DAC之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的證明過程.

（3）如圖4所示，當(dāng)點(diǎn)D在CB邊的延長線上時(shí)，且點(diǎn)A，F(xiàn)分別在直線BC的兩側(cè)，其他條件不變，請(qǐng)將圖形補(bǔ)全，并且寫出∠AFC，∠ACB，∠DAC之間存在的數(shù)量關(guān)系.

思路評(píng)析 通過動(dòng)點(diǎn)D的變化，形成了不同的圖形結(jié)構(gòu)，隨之∠AFC，∠ACB，∠DAC之間存在的數(shù)量關(guān)系也發(fā)生變化. 但是學(xué)生透過現(xiàn)象抓住本質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)證明的思路都是通過三角形全等從而得到∠ADB和∠AFC相等，再利用三角形的內(nèi)外角定理去尋找等量關(guān)系. 幾何證明題的圖形變化多端，圖形變式訓(xùn)練對(duì)于學(xué)生的識(shí)圖能力有很大的提升作用，通過這種訓(xùn)練，學(xué)生能在類似的圖形中找到共同點(diǎn)，從而進(jìn)行類比找到相同的解題思路，實(shí)現(xiàn)了快速高效的解題目標(biāo).

證明過程變式

過程變式是一種綜合性的變式訓(xùn)練，問題的本質(zhì)未變，但是可能圖形、條件和結(jié)論都已經(jīng)變了，這樣的變式題綜合性強(qiáng)、解題思路隱蔽，主要適用于綜合性的復(fù)習(xí). 其作用是訓(xùn)練學(xué)生能從復(fù)雜的變化中抽離出不變的本質(zhì)，在知識(shí)點(diǎn)之間構(gòu)建聯(lián)系，提高學(xué)生的思維能力和解題能力，鍛煉思維的靈活性.

案例3 如圖5所示，A是線段BC上任意一點(diǎn)，分別以AB，AC為邊在BC的同側(cè)作等邊三角形ABD，等邊三角形ACE，連接BE和DC.

求證：CD和BE相等，并且CD與BE的夾角為60°.

變式1：如圖6所示，△ABD，△ACE分別是以△ABC的邊AB，AC為邊作的等邊三角形，連接BE和DC相交于點(diǎn)P. 求證：DC和BE相等，并且∠DPB=60°.

變式2：如圖6所示，△ABD，△ACE分別是以△ABC的邊AB，AC為邊作的等邊三角形，連接BE和CD相交于點(diǎn)P，如果把△ACE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn). 求證：無論△ACE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到任何位置，DC和BE都相等，并且∠DPB=60°.

變式3：如圖7所示，把等邊三角形ABD和等邊三角形ACE改為正方形ABEF和正方形ACMN，那么BN與CF的長度和夾角發(fā)生了什么變化？如果改為正五邊形、正六邊形……正n邊形呢？

思路評(píng)析 原題及變式1、變式2都通過等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，得到結(jié)論DC和BE相等，通過三角形全等和等邊三角形的內(nèi)角為60°，利用等量轉(zhuǎn)換，得到CD與BE的夾角為60°. 變式3則是訓(xùn)練學(xué)生類比方法的運(yùn)用，在變式1、變式2的基礎(chǔ)上，利用等邊三角形的內(nèi)角度數(shù)，類比思考其他正五邊形、正六邊形等.

教學(xué)反思

變式訓(xùn)練是教學(xué)中有效提升解題技巧，鍛煉學(xué)生思維的一種方式，巧用變式訓(xùn)練，可以跳脫出題目的束縛，從更高的角度進(jìn)行知識(shí)的提煉和概括，為了提升變式訓(xùn)練的效果，筆者認(rèn)為可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行思考：

1. 變式題型的選擇要有目標(biāo)性

變式訓(xùn)練是通過情境的變化，問題條件、結(jié)論的變化等，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)情況進(jìn)行的進(jìn)一步的訓(xùn)練和檢測(cè)，培養(yǎng)學(xué)生能夠識(shí)別不同的問題情境，透析數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，學(xué)會(huì)使用恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，從而實(shí)現(xiàn)高效的訓(xùn)練. 因此在選擇變式習(xí)題時(shí)，為了提高效率，習(xí)題的選擇需要有針對(duì)性，變式需要有典型性和目標(biāo)性，避免大量的無效訓(xùn)練，不要讓變式訓(xùn)練變成另一種形式的“題海戰(zhàn)術(shù)”.

2. 選擇典型的變式題型

變式訓(xùn)練是有針對(duì)性的訓(xùn)練學(xué)生的思維靈活性和發(fā)散性，因此選擇的變式題型需要有典型性，能做到“抓住一例，涉及一片”. 教師在設(shè)計(jì)時(shí)要做好規(guī)劃，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況選擇具有典型性的題型，使學(xué)生能夠?qū)W會(huì)解題方法，體會(huì)數(shù)學(xué)思想，高效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

3. 注意有層次的進(jìn)行變式題型的訓(xùn)練

鼓勵(lì)學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng)是學(xué)生真正獲得學(xué)習(xí)體驗(yàn)的方法，而激發(fā)學(xué)生積極學(xué)習(xí)的方法是在學(xué)習(xí)過程中使學(xué)生能夠體會(huì)到學(xué)習(xí)的成功. 因此在設(shè)計(jì)變式訓(xùn)練時(shí)，要從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，安排難度適宜的試題，既有一定的難度，又能使學(xué)生通過努力可以達(dá)到目標(biāo). 在一個(gè)班級(jí)當(dāng)中，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力有所差別，因此在進(jìn)行題目設(shè)計(jì)時(shí)，需要進(jìn)行有梯度的題型設(shè)計(jì)，由易到難，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，隨著學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高，不斷提高題目的難度. 學(xué)生經(jīng)過自己的努力，可以克服困難，收獲成就感，激發(fā)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力[2].

4. 注重教學(xué)方式的多樣化

變式練習(xí)主要訓(xùn)練學(xué)生能夠多角度地觀察、分析和解決問題，因此解題思路多樣，解答方式多樣. 幾何證明題的知識(shí)點(diǎn)較多，需要學(xué)生能夠綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題，能夠在知識(shí)之間建構(gòu)聯(lián)系，因此很容易讓學(xué)生感覺到疲倦. 教師在教學(xué)中可以通過多樣的教學(xué)方式營造學(xué)習(xí)的氛圍，搭建學(xué)生參與的平臺(tái)，鼓勵(lì)學(xué)生自己實(shí)踐和表達(dá)，激發(fā)學(xué)習(xí)的熱情，減少學(xué)習(xí)的疲倦感，有效提升教學(xué)效果.

總之，變式訓(xùn)練的目的是在探究問題的過程中滲透數(shù)學(xué)方法、傳達(dá)數(shù)學(xué)思想.教的目的在于不教，授之以魚不如授之以漁. 真正的教學(xué)不在全盤的灌輸知識(shí)，而在于引導(dǎo)學(xué)生參與學(xué)習(xí)，體驗(yàn)活動(dòng)，使學(xué)生在一次次的體驗(yàn)中，鍛煉思維，增長智慧，拓寬視野，解題能力不斷提高，使數(shù)學(xué)思想得到升華.

參考文獻(xiàn)：

[1] 孫學(xué)東. 數(shù)學(xué)需要教“解題模型”嗎？[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（29）：6-9.

[2] 鞏子坤. 數(shù)學(xué)知識(shí)的特征與學(xué)習(xí)方式的有效選擇[J]. 中國教育學(xué)刊，2005（11）：55-58.