吳啟虎

【摘要】數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的基礎(chǔ)課程，問題是數(shù)學(xué)的心臟，可見數(shù)學(xué)問題與數(shù)學(xué)建模有著密切的關(guān)系.基于數(shù)學(xué)建模過程分析，用解決問題培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，同時通過數(shù)學(xué)建模用數(shù)學(xué)眼光看待世界，對核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中有效實施具有實踐意義.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;素養(yǎng)評價

數(shù)學(xué)是一門抽象概括客觀現(xiàn)象的科學(xué)語言和工具，數(shù)學(xué)學(xué)科的工具性集中體現(xiàn)在數(shù)學(xué)建模、用模上，數(shù)學(xué)建模就是為了解決實際問題.因此，構(gòu)建全面客觀的指標體系對學(xué)生在問題解決中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)進行評價，提出針對性教學(xué)策略，促進學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)發(fā)展，對數(shù)學(xué)教學(xué)實踐意義重大.

1 數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)評價綜述

數(shù)學(xué)建模是學(xué)生體驗和理解數(shù)學(xué)與世界的聯(lián)系的過程，將現(xiàn)實世界和數(shù)學(xué)世界打通聯(lián)系，用數(shù)學(xué)眼光看待世界，用數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實問題[1].學(xué)者們提出經(jīng)典數(shù)學(xué)建模內(nèi)涵，如Niss（1991）數(shù)學(xué)建模七階段循環(huán)[2]、Initiative（2010）數(shù)學(xué)建模四階段循環(huán)[3]、PISA（2021）數(shù)學(xué)建模三階段循環(huán)[4]等，覆蓋數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)求解、數(shù)學(xué)解釋三個關(guān)鍵環(huán)節(jié)，強調(diào)數(shù)學(xué)問題解決中數(shù)學(xué)化的問題表述，數(shù)學(xué)問題解決后需要解釋還原問題情境，尋求最終答案.

國內(nèi)學(xué)者們提出不同視角的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)評價框架，如朱婭梅（2018）構(gòu)建了含有“情境-過程-內(nèi)容-水平”的四要素數(shù)學(xué)建模能力評價框架，并從低到高劃分了“再現(xiàn)-聯(lián)系-反思”三個數(shù)學(xué)建模能力水平.魯小莉等（2019）建立了融合過程性和結(jié)果性數(shù)學(xué)建模能力評價框架，呈現(xiàn)實際情境-情境模型-數(shù)學(xué)模型-數(shù)學(xué)解答-解釋與檢驗-實際結(jié)果的完整數(shù)學(xué)建模流程，并針對五狀態(tài)和四環(huán)節(jié)提出六個層級建模水平，兼顧學(xué)生數(shù)學(xué)建模所經(jīng)歷的關(guān)鍵步驟和數(shù)學(xué)建模子能力水平.邵光華等（2020）結(jié)合新課標重新構(gòu)建了數(shù)學(xué)建模水平劃分要求和表現(xiàn)一致的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)評價模型，并結(jié)合具體數(shù)學(xué)建模案例說明模型評價過程.

本文借鑒研究成果，完善評價體系用以有效評估學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，是亟待面臨的關(guān)鍵問題，具有重要研究意義.

2 問題解決中學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)評價體系構(gòu)建

將問題解決中學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)看作一個閉環(huán)系統(tǒng)，正如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》指出：“從具體情境或現(xiàn)實生活中抽象出數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)學(xué)符號建立數(shù)學(xué)問題中蘊含的不等式、方程、函數(shù)等數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義.”論文評價體系指標在現(xiàn)有研究成果基礎(chǔ)上，遵循重視學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)整體性和階段性評價，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)建模過程和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)達成，認為學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)評價體系中，準則層包括數(shù)學(xué)化、建立數(shù)學(xué)模型、求解數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)解釋、檢驗?zāi)Ｐ徒Y(jié)果.

論文邀請5位具有豐富教學(xué)經(jīng)驗的數(shù)學(xué)一線教師，確定數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)評價體系的合理性和科學(xué)性，按照Saaty的標度法對各指標重要性進行判斷打分，構(gòu)建準則層和指標層判斷矩陣，利用層次分析法在通過一致性檢驗后得出各指標權(quán)重，最終問題解決中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)評價體系指標權(quán)重如表1所示.

3 案例分析

3.1 數(shù)學(xué)建模題測試

本文利用典型初中數(shù)學(xué)建模題對學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)進行評價，數(shù)學(xué)建模題滿分100分，其中第一題為手拉手模型，30分，第二題為將軍飲馬模型，30分，第三題為阿氏圓模型，40分.

數(shù)學(xué)建模測試中，要求學(xué)生嚴格按照數(shù)學(xué)建模過程書寫，寫明題目分析過程，解題過程和反思結(jié)論，便于教師打分計算.

3.2 數(shù)據(jù)來源

選擇徐州市毛莊中學(xué)初三學(xué)生作為研究樣本，基于已構(gòu)建的學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)評價指標體系，對測試題的標準答案進行量化表述，確定各測試題打分標準.每道題按照打分標準由教師進行各指標量化統(tǒng)計，初步篩選出學(xué)生的有效成績.

本次測試共發(fā)出100份測試題，經(jīng)過篩選有效成績87份，對學(xué)生成績進行信度和效度分析，結(jié)果顯示各指標校正項總計相關(guān)性（CITC）均大于0.5，Cronbach α系數(shù)為0.76，說明問卷信度較好;KMO值為0.744，p值為0<0.05，說明問卷效度良好.

3.3 成績計算

教師對學(xué)生測試成績按照數(shù)學(xué)建模指標體系進行打分，統(tǒng)計結(jié)果顯示：變異系數(shù)反饋轉(zhuǎn)譯數(shù)學(xué)結(jié)果、評估模型、確定數(shù)學(xué)參數(shù)和變量三個指標成績最差，其中確定數(shù)學(xué)參數(shù)和變量指標的成績均值低于中位數(shù)，需要重點關(guān)注.并且，確定數(shù)學(xué)參數(shù)和變量指標的統(tǒng)計置信區(qū)間CI值差異值為1.657，是所有指標中最大，因此估計可靠性不好，意味著學(xué)生該指標成績極不穩(wěn)定.

利用方差分析學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的性別差異，統(tǒng)計如表2，結(jié)果顯示：不同性別學(xué)生對簡化情境作出問題假設(shè)，確定數(shù)學(xué)參數(shù)和變量，建立變量關(guān)系，結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)變量，用數(shù)學(xué)知識得出方案，用數(shù)學(xué)知識處理信息，解決問題，轉(zhuǎn)譯數(shù)學(xué)結(jié)果，論證方案并推廣，解釋結(jié)論反思過程，評估模型，調(diào)整模型12個指標未表現(xiàn)出顯著性差異，對解釋意義指標呈現(xiàn)顯著性差異.

4 對策

4.1 “確定數(shù)學(xué)參數(shù)和變量”素養(yǎng)教學(xué)建議

數(shù)學(xué)化是學(xué)生將問題情境簡化后，能夠從存在多變量的問題中確定合適的參數(shù)和變量，從而揭示問題情境背后的數(shù)學(xué)關(guān)系，讓問題解決變得簡單清晰.建議：（1）加強學(xué)生審題閱讀能力，培養(yǎng)學(xué)生處理題干關(guān)鍵信息的自信和能力.閱讀是審題的必備能力，是數(shù)學(xué)建模首要環(huán)節(jié)，通過審題從問題中抽象出問題本質(zhì)，對題干大量信息進行有效處理提取，抓住要害、分清主次，簡化問題情境，學(xué)會抽取數(shù)學(xué)信息，形成穩(wěn)定建模思維.（2）給學(xué)生留有充足的思考空間.初三學(xué)生接觸了初中階段所有的數(shù)學(xué)模型，但是他們還難以從問題情境中快速反應(yīng)出數(shù)學(xué)模型.因此，教師應(yīng)給學(xué)生留足思考空間，引導(dǎo)學(xué)生認真觀察分析，相機對學(xué)生進行點撥引導(dǎo)，思考一般數(shù)學(xué)模式表達，讓學(xué)生慢慢體會和理解數(shù)學(xué)建模過程，鍛煉學(xué)生對問題情境進行歸類，尋找題目中已知存在范圍和待求解范圍的量，確定數(shù)學(xué)參數(shù)和變量，找準問題解決切入點.

4.2 “結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)變量”素養(yǎng)教學(xué)建議

初三學(xué)生能否理清問題情境中各參數(shù)和變量的數(shù)學(xué)關(guān)系是影響結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)變量的主要原因，且指標相對權(quán)重較大.建議：（1）引導(dǎo)學(xué)生分解問題情境，確定數(shù)學(xué)問題難點.學(xué)生從題目已知存在范圍的量抽象出變量，待求解范圍的量定義為參數(shù)，教師再引導(dǎo)學(xué)生從簡化后的問題情境中，還原數(shù)學(xué)問題，學(xué)生更容易理解問題所屬數(shù)學(xué)模型，結(jié)合題目信息類型，建立起模型關(guān)聯(lián).（2）師生互動交流教學(xué)，促進學(xué)生實踐體驗學(xué)習(xí).教師通過實踐活動，幫助學(xué)生將所學(xué)數(shù)學(xué)知識和思想方法內(nèi)化，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)思維，在問題情境中相互交流探討，帶領(lǐng)學(xué)生再發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造知識，體驗數(shù)學(xué)信息和數(shù)據(jù)的收集處理過程，從實際問題中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，慢慢應(yīng)用數(shù)學(xué)工具建立數(shù)學(xué)參數(shù)和變量的關(guān)系，體驗數(shù)學(xué)建模過程，解決實際問題、解釋回答實際問題，真正掌握結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)變量能力.

4.3 解釋意義方面教學(xué)建議

基于性別差異提出“解釋意義”素養(yǎng)教學(xué)建議：注重數(shù)學(xué)的生活應(yīng)用價值教學(xué).數(shù)學(xué)源于生活，現(xiàn)實生活中有很多數(shù)學(xué)建模問題，選取生活中數(shù)學(xué)建模案例進行練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實情境中體會數(shù)學(xué)建模在身邊，學(xué)生利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實際問題，體會數(shù)學(xué)的生活應(yīng)用價值.教師鼓勵學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，從數(shù)學(xué)角度解決生活問題，讓數(shù)學(xué)學(xué)以致用，加強生活和數(shù)學(xué)聯(lián)系，提高數(shù)學(xué)建模解釋意義素養(yǎng).

參考文獻：

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