束曉松

【摘要】數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性和邏輯性很強的學(xué)科，要求學(xué)生具備較強的思維能力.逆向思維是發(fā)散性思維的一種，對學(xué)生理解數(shù)學(xué)公式與概念以及運用數(shù)學(xué)知識具有較大幫助，能夠有效地提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.本文在闡述逆向思維概念及特征基礎(chǔ)上，分析培養(yǎng)學(xué)生逆向思維對初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的重要意義，并結(jié)合初中數(shù)學(xué)例題對逆向思維在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用予以介紹，最后提出應(yīng)從夯實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、培養(yǎng)學(xué)生逆向思維以及加強逆向思維專項解題練習(xí)等方面培養(yǎng)初中學(xué)生的逆向思維，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；逆向思維

2022年4月21日，教育部頒布了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《新課標(biāo)》）.新課標(biāo)中指出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)由：“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界以及會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界等構(gòu)成.”通過初中階段數(shù)學(xué)課程教學(xué)的開展，在引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識和學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的同時，應(yīng)當(dāng)促進學(xué)生思維、價值觀以及情感態(tài)度等多方面的進步和發(fā)展[1].逆向思維是一種極具創(chuàng)造性特征的思維，是建立在對已有思路的方向思考和分析，繼而獲得解決問題的新思路、新辦法的一種思維方式[2].在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，引導(dǎo)學(xué)生善于正向思維與逆向思維的交替運用，促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量的提升和學(xué)生個體數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

1逆向思維的概念及特征

逆向思維是正向思維的逆向發(fā)展，是反方向思考、分析和解決問題的一種思維方式.逆向思維通過突破傳統(tǒng)思維，以新的角度思考問題，繼而獲得區(qū)別于傳統(tǒng)方式的新的解決方案[3].例如，司馬光砸缸的典故、電磁感應(yīng)定律的提出等，都是對逆向思維的應(yīng)用.同時，通過逆向思維可以將復(fù)雜的問題簡單化，降低學(xué)生理解問題和解決問題的難度.

逆向思維的特征主要體現(xiàn)在三個方面：一是普遍性，即要求學(xué)生全方位多角度的對問題進行審視，站在與正向常規(guī)思維對立的角度進行分析思考，利于提升解決問題的效率；二是新穎性，即解決問題的方案區(qū)別于循規(guī)蹈矩的傳統(tǒng)思維，更加關(guān)注事物的多方面屬性.三是批判性，即強調(diào)對思維定式的批判性看待，破除固化習(xí)慣和經(jīng)驗對學(xué)生個體認(rèn)知的影響.總之，通過應(yīng)用逆性思維可以以一種“另辟蹊徑”達到解決問題的目的，其優(yōu)勢主要在于可以將看似凌亂的問題簡單化、高效化處理，可以幫助學(xué)生轉(zhuǎn)變思考方式，有利于學(xué)生個體思維的發(fā)展以及感知能力的提升.

2逆向思維培養(yǎng)對初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的重要意義

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維利于增進學(xué)生對數(shù)學(xué)定理、公式、定義的理解和運用[4].相比傳統(tǒng)正向思維，逆向思維的優(yōu)勢在于可以培養(yǎng)學(xué)生想象空間、促進學(xué)生邏輯發(fā)展以及強化學(xué)生基礎(chǔ)掌握.在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的重要意義主要體現(xiàn)在三個方面：

第一，可以有效地拓展學(xué)生的思維空間，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.教師通過引導(dǎo)學(xué)生從與傳統(tǒng)思維相反的方向進行思考，可以轉(zhuǎn)變學(xué)生思考問題的角度和方向，幫助學(xué)生更加透徹的對問題進行分析、思考，繼而獲得更加有效的解決方案[5].在整個過程中，學(xué)生個體的思維將會一步一步被打開，不拘泥于傳統(tǒng)的正向思維，而是形成主動、積極地運用逆向思維的能力，以最快的速度得到問題的最佳答案.在數(shù)學(xué)解題練習(xí)中，許多題型都涉及到了雙向性知識.例如，定理與逆定理的轉(zhuǎn)化等.但是，受傳統(tǒng)教學(xué)思想以及思維定式的影響，許多學(xué)生習(xí)慣于“從左往右”的正向思考，而少有運用“從右往左”，不利于學(xué)生思維發(fā)展和持續(xù)成長.

第二，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力.逆向思維是發(fā)散思維的一種形式，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維可以使學(xué)生想象力更加豐富、思維更加靈活，并能夠形成自己獨到的見解.教師應(yīng)深度挖掘教材，從教材中尋找富有創(chuàng)造力的因素，引導(dǎo)學(xué)生探索，在分析題型、解決難題的過程中實現(xiàn)自身創(chuàng)造意識和創(chuàng)造能力的提升.通過拓展學(xué)生想象空間，學(xué)生可以對數(shù)學(xué)知識進行開拓性探索，形成創(chuàng)造性的解題思路.通過這個過程學(xué)生形成了逆向思考方式，對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科思維形成和想象力的提升具有重要意義.

第三，可以有效地提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力.教師通過結(jié)合教材內(nèi)容布置融入雙向思維知識的數(shù)學(xué)題型，可以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，利于學(xué)生自主探究能力的提升.初中階段的學(xué)生普遍對新鮮的東西、方法等持有濃厚的興趣.教師結(jié)合學(xué)生生活經(jīng)驗、興趣愛好，設(shè)計與生活緊密結(jié)合的雙向思維的數(shù)學(xué)題型，可以以興趣為牽引，以教材為基礎(chǔ)，以多樣化的題型為載體，促進學(xué)生自主探究，并在探究過程中實現(xiàn)學(xué)習(xí)效果的提升.通過這個過程可以促進學(xué)生自主學(xué)習(xí)習(xí)慣的形成和逆向思維的發(fā)展，促進學(xué)生解題能力的持續(xù)提升.

總之，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師必須重視學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)和訓(xùn)練，合理地選擇合適的題型，與正向思維題型教學(xué)緊密結(jié)合，讓學(xué)生在對比分析、思考探索中掌握不同的思考方式，掌握更加豐富的解題技巧，有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)效率和質(zhì)量，為后續(xù)深層學(xué)習(xí)奠定扎實的基礎(chǔ).

3逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的具體應(yīng)用

教師在教學(xué)中應(yīng)突出培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，可以突破傳統(tǒng)思維定式，引導(dǎo)學(xué)生從一個嶄新的角度思考和解決問題，提升解題效率和質(zhì)量，并實現(xiàn)學(xué)生個體創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力的有效提升.在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師應(yīng)著力從如下幾個方面培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維：

3.1教師做好課前備課工作，科學(xué)地設(shè)計數(shù)學(xué)例題

教師應(yīng)在明確自身組織者、引導(dǎo)者的角色定位前提下，圍繞學(xué)生這一課堂主體做好備課工作，科學(xué)地設(shè)計數(shù)學(xué)例題，突出逆向思維培養(yǎng)和訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生形成對逆向思維的正確認(rèn)知和理解.在備課時，應(yīng)注意如下幾個方面：

第一，調(diào)研學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和逆向思維能力情況.教師應(yīng)對學(xué)生數(shù)學(xué)解題情況進行充分調(diào)研和分析，掌握學(xué)生的真實學(xué)習(xí)情況.教師可以設(shè)計能夠體現(xiàn)雙向思維的數(shù)學(xué)例題，組織學(xué)生進行測驗，根據(jù)測驗結(jié)果了解學(xué)生數(shù)學(xué)知識掌握情況、運用能力，并通過對測驗結(jié)果的深度分析了解是否具備一定的逆向思考能力.同時，測驗結(jié)果也可以為教師科學(xué)地設(shè)計和安排教學(xué)內(nèi)容提供參考.

第二，科學(xué)設(shè)計逆向思維訓(xùn)練題型.教師應(yīng)依據(jù)所收集的學(xué)生的學(xué)習(xí)情況以及學(xué)生集中反映的數(shù)學(xué)問題設(shè)計數(shù)學(xué)題，引導(dǎo)學(xué)生從反向角度思考，掌握運用逆向思維解決問題的能力.首先，教師圍繞數(shù)學(xué)定義和公式設(shè)計包含雙向思維知識的基礎(chǔ)練習(xí)題.教師從正反兩個方面進行講解和分析，設(shè)計對應(yīng)的聯(lián)系訓(xùn)練題目，培養(yǎng)學(xué)生辯證思考的思維，引導(dǎo)學(xué)生掌握靈活運用公式定理的方法.其次，教師圍繞反推法、反向否定、舉例法等多種逆向思維解題方法設(shè)計數(shù)學(xué)練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生掌握特殊解題方法，促進學(xué)生逆向思維的培養(yǎng).此外，教師可以通過安排專項練習(xí)題的方式，引導(dǎo)學(xué)生熟悉“執(zhí)果索因”與“由因?qū)Ч钡乃季S方法，實現(xiàn)自身數(shù)學(xué)解題能力的有效提升.

3.2培育學(xué)生逆向解析題目的能力，培養(yǎng)學(xué)生逆向分析和判斷能力

分析題目是數(shù)學(xué)解題第一環(huán)節(jié).學(xué)生是否能夠?qū)︻}目進行準(zhǔn)確的分析直接關(guān)系到其是否能夠找到正確的解題途徑.學(xué)生要是要從相對繁雜的題目描述中獲取關(guān)鍵信息，單純依靠傳統(tǒng)的正向解題思路，可能會陷入題目設(shè)計者所埋下的“陷阱”中，從而無法進行高效解題.因此，教師在解題教學(xué)中，首先應(yīng)向?qū)W生講解逆向思維相關(guān)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生形成對逆向思維重要性、方法等的認(rèn)識.其次，將學(xué)生分別運用正向化思維和方向思維對課程涉及的定義、公式等進行講解，并結(jié)合典型題型向?qū)W生展示逆向分析的過程，探索新的解題路徑.通過培養(yǎng)學(xué)生逆向解析題目的能力，可以引導(dǎo)學(xué)生找出問題的本質(zhì).解題實踐中，學(xué)生要能夠抓到關(guān)鍵信息，并能夠結(jié)合已有的信息進行有效地推導(dǎo)，尋找信息之間的潛在聯(lián)系.例如，在代數(shù)教學(xué)中，遇到三元一次方程組時，引導(dǎo)學(xué)生運用不同的審題方法尋找未知數(shù)之間的關(guān)系.

例如在講解“解一元二次方程”知識時，教師可以引入典型例題展示逆向分析的基本方法，引導(dǎo)學(xué)生形成運用逆向思維解決問題的意識.在例題“關(guān)于x的一元二次方程x2+x+a=0的根是1，則a的值為（）”中，教師可以在學(xué)生嘗試的基礎(chǔ)上，引入逆向思維的點撥，即根據(jù)對題目進行分析可知，x=1是方程的根.那么可以將x=1代入方程進行計算，進而將一元二次方程轉(zhuǎn)化為簡單的一元一次方程，并由此計算出結(jié)果，即a=-2.在這一典型例題中，可以幫助學(xué)生認(rèn)識到定理的反向推理也是成立的，利于學(xué)生逆向分析能力的提升.

總之，通過培養(yǎng)學(xué)生逆向解析題目的能力，可以促進學(xué)生逆向分析能力和判斷能力的提升，可以幫助學(xué)生更加深刻地理解數(shù)學(xué)中的概念、定義和定理.當(dāng)學(xué)生在運用這些數(shù)學(xué)知識時，可以從更多角度進行思考分析.教師應(yīng)當(dāng)有意識的引導(dǎo)學(xué)生對定義的逆命題及其應(yīng)用給予更多的關(guān)注，學(xué)會判斷逆命題正確性的方法.學(xué)生自身必須具備一定的逆向化判斷能力，才能判斷逆命題的真假，才能在解題過程中正確的應(yīng)用.

3.3引導(dǎo)學(xué)生掌握逆向證明的方法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題效率

在培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的過程中，教師應(yīng)將引導(dǎo)學(xué)生掌握逆向證明方法作為重點內(nèi)容.逆向證明是從問題的結(jié)果出發(fā)進行推導(dǎo)，即由果及因.通過逆向證明可以幫助學(xué)生掌握正向推導(dǎo)無法輕易解決的綜合性較強的問題的方法.一般而言，常用的逆向推理方法有反證法、分析法、逆證法等.例如，在代數(shù)教學(xué)中，公式變形的證明、不等式的證明和三角函數(shù)的證明等均涉及到逆向證明.學(xué)生可以通過逆向思考，從結(jié)果出發(fā)，反向推到求初始條件，繼而獲得解決問題的新思路.

例如教師可以結(jié)合幾何中的例題向?qū)W生示范逆向證明的方式.教師圍繞“等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）”的知識點可以設(shè)計典型的證明題，在引導(dǎo)學(xué)生思考的基礎(chǔ)上拓展學(xué)生的解題思維.在如圖1的例題中“證明等腰三角形兩底角必為銳角”中，可以先做出假設(shè)，即分別假設(shè)等腰三角形的兩個底角∠B，∠C為直角或鈍角，則顯然內(nèi)角和均大于180°，均與三角形內(nèi)角和為180°存在矛盾.由此可以推斷出等腰三角形兩底角為直角或鈍角時，均不成立.根據(jù)這一反向推理，可以判斷出等腰三角形的底角只能為銳角.

總之，在解題中，學(xué)生掌握逆向證明的方法可以顯著地提升解題的效率，避免因記憶錯誤或原理應(yīng)用錯誤而造成的解題錯誤.在解題教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合例題向?qū)W生講解逆向證明法的實際應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生善于假設(shè)，正確假設(shè)的意識，并在教師的引導(dǎo)和示范下掌握這種解題的思路，突破固定思維的影響，實現(xiàn)解題效率的有效提升.

3.4加強逆向思維專項習(xí)題練習(xí)，促進學(xué)生逆向思維能力提升

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師設(shè)計逆向思維專題練習(xí)活動，引導(dǎo)學(xué)生多觀察、多思考、多聯(lián)想，尋找普通問題的特色解法，掌握將復(fù)雜問題簡單化處理技巧.通過這個過程可以培養(yǎng)學(xué)生正難則反的數(shù)學(xué)解題思路，并將這種思路靈活地運用到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實踐中.

例如專門針對分析法、反證法等設(shè)計典型例題，安排學(xué)生利用這些典型例題有意識的鍛煉逆向思維，學(xué)會逆向使用公式、排除法等進行解題.教師在安排專項習(xí)題時不可過多，應(yīng)力求典型、靈活，并形成對學(xué)生有效的引導(dǎo)，讓學(xué)生在保持濃厚興趣的前提下主動地思考和探索，實現(xiàn)逆向思維能力的發(fā)展.

例如在解如圖2例題中的方程，從反面去考慮，可能會獲得更為簡捷的解題方法.解方程（組）時，一般需將多元化為一元，然后求解.但上述方程去根號后將得高次方程，求解困難.若逆向考慮增元，即設(shè)5x2-1=y（y≥0），于是，原方程變?yōu)閥2-xy+x-1=0，左邊分解因式，得（y-1）（y-x+1）=0.從而解得y=1或y=x-1，5x2-1=1或5x2-1=x-1，由此很容易求出x.

又如，在解答“已知x2+x-1=0，求代數(shù)式2x3+4x2+3的值”這一例題時，采用傳統(tǒng)的解題思路較為繁瑣.這時，可以考慮運用逆向思維，借助整體代入的方式，可以得到如下解答過程：先把已知變?yōu)閤2+x=1，將2x3+4x2+3作如下的變化逐步代入2x3+4x2+3=2x3+2x2+2x2+3=2x（x2+x）+2x2+3=2x+2x2+3=2（x2+x）+3=5，這里在代入的方法上，一個是直接代入字母的數(shù)值，另一個是不求出x的值，而是求出x的代數(shù)式的值，這是互逆的兩種思維方法[6].

總之，解題教學(xué)中，教師通過加強對學(xué)生開展逆向思維轉(zhuǎn)向訓(xùn)練，可以拓展學(xué)生的思維空間，增進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，進而轉(zhuǎn)變以往對題目的解答思路，從更加簡便和有效的角度進行思考，另辟蹊徑，以逆向的思路來輕松解決運用正向思維較難解決的題型，有效提升學(xué)生的解題效率.

4初中解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的具體建議

在闡述初中解題教學(xué)中逆向思維的具體應(yīng)用基礎(chǔ)上，下文主要圍繞如何培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維展開簡要論述.本文認(rèn)為主要應(yīng)從如下幾個方面入手：

第一，夯實學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ).學(xué)生能力的提升必須是建立在扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識學(xué)習(xí)上.這是學(xué)生各方面能力得以獲得提升的前提條件.因此，在日常教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)高度重視鞏固學(xué)生對基本定義、公式、定理的理解，并定期進行考查，確保學(xué)生具備足夠扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識.扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的重要保障.所謂熟能生巧.唯有充分地熟悉和理解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，才能借助逆向思維靈活的進行運用，進而達到提升學(xué)習(xí)效率的目的.

第二，定期組織開展逆向思維專題式的解題訓(xùn)練活動.教師在深入挖掘教材內(nèi)容的前提下形成逆向思維專題集，并定期開展小測驗，讓學(xué)生充分地接觸各種類型的逆向思維題型，掌握靈活運用逆向思維解決數(shù)學(xué)解題問題的方法.專題式訓(xùn)練要發(fā)揮出應(yīng)有的效果需要教師與學(xué)生共同努力.從教師的角度，應(yīng)當(dāng)充分利用課外時間廣泛地收集典型的逆向思維應(yīng)用例題，對這些例題進行合理的歸類、篩選，最終將最具參考價值，且符合學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的題目作為日常課堂或課后練習(xí)的主要內(nèi)容.在題目選擇上要尊重學(xué)生的實際情況，不可太難或太簡單，應(yīng)堅持循序漸進、逐步提升的原則，分階段、有步驟的安排，逐步提升學(xué)生逆向思維能力，讓學(xué)生逆向思考成為本能，繼而更加高效的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).從學(xué)生自身的角度，應(yīng)當(dāng)提升學(xué)習(xí)和運用逆向思維意識的積極性和主動性，認(rèn)真做典型題，并做好相應(yīng)的記錄和分析，在不斷地努力的過程中必將看到自身逆向思維能力的提升.

第三，加強對學(xué)生逆向思維意識的培養(yǎng).在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師必須要打破傳統(tǒng)固化思維對學(xué)生的影響.固化思維容易讓學(xué)生陷入思維泥沼，造成學(xué)生創(chuàng)新能力、邏輯能力等均受影響.因此，在教學(xué)中，教師要有意識的向?qū)W生介紹逆向思維的重要性，將逆向思維應(yīng)用貫徹到課前、課堂以及課后等每個環(huán)節(jié)，讓學(xué)生學(xué)會用逆向思維來解決問題的良好習(xí)慣.例如，正面不行用反面、順推不行則逆推以及直接不行換間接等都是逆向思維的典型應(yīng)用.通過有針對性的訓(xùn)練，轉(zhuǎn)變學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)，增強學(xué)生思維的靈活性，提升學(xué)生雙向思考能力，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題時自然而然的從正面思維轉(zhuǎn)到逆向思維的能力，繼而促進學(xué)生數(shù)學(xué)能力的不斷提升.

5結(jié)語

逆向思維能力是站在傳統(tǒng)解題思路對立方向思考問題，其對定義、公式、定理等的運用均是反向的.培養(yǎng)學(xué)生逆向思維對提升初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)效果，提升學(xué)生數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)質(zhì)量具有重要意義.在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆性思維是一個循序漸進的過程.因此，教師在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，應(yīng)將逆向思維訓(xùn)練融入數(shù)學(xué)課程教學(xué)的全過程，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中掌握更多的數(shù)學(xué)知識和解題技巧，并有意識、有步驟將正向思維訓(xùn)練與逆向思維訓(xùn)練有機結(jié)合，拓展學(xué)生思維空間、豐富學(xué)生解題思路，進一步增進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，促進學(xué)生核心素養(yǎng)的有效培育.

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