倪湘麗

［摘? 要］ 數(shù)學教學應當激發(fā)學生的學習興趣，夯實“四基”的同時發(fā)展“四能”，形成基本的數(shù)學素養(yǎng). 疑問是興趣之源，思考是思維之本. 在課堂教學中，合理的設疑，可以極大地激起學生的探究欲望，進而促發(fā)思考. 變式教學可以培養(yǎng)思維的靈活性和多樣性，提升學生的思維品質(zhì).

［關鍵詞］ 設疑；啟發(fā)思考；變式教學

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出數(shù)學教學除了讓學生獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗外，還要能夠體會數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力. 另外，創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學教育的基本任務，應體現(xiàn)在數(shù)學教與學的過程之中. 學生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎；獨立思考、學會思考是創(chuàng)新的核心. 筆者在長期的教學中發(fā)現(xiàn)，課堂教學中運用“導疑—啟思—變式”的教學模式，可以充分調(diào)動學生的積極性、提高他們的課堂參與度、擴大他們的思維量，從而真正體現(xiàn)學生在課堂中的主體地位. 下面就筆者的這一教學主張進行簡單的闡述.

思起于疑 設疑釋惑

教育家蘇霍姆林斯基說過，求知欲、好奇心是人永不可改變的特性. 哪里沒有求知欲，哪里便沒有學校. 愛因斯坦也曾這樣表述，好奇心是科學工作者產(chǎn)生無窮的毅力和耐心的源泉. 因此充滿好奇心的學生將更富有潛力、活力和創(chuàng)造力. 課堂教學中，教師有必要激發(fā)學生的好奇心，激發(fā)好奇心的一個很好的途徑就是在教學中設疑. 通過適當設疑激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣與熱情，提升學生自主探索的能力，增強學生敢于質(zhì)疑權威的意識. 基于此，何時及如何設計啟發(fā)思考的問題串就成為關鍵.

1. 由易及難，分層推進式設疑

利用層層遞進的問題串可以化解學生思考中的困境. 如在蘇科版九年級上冊“一元二次方程的解法”一節(jié)中可以采取由淺入深分層設疑方式讓學生逐步掌握“整體法”解方程的思想，設置如下問題.

問題1：x2-16=0，則x=？

問題2：（x+2）2-16=0，則x=？

問題3：4（2-x）2-9=0，則x=？

學生可以根據(jù)平方根的定義輕松解決問題1. 問題2在形式上與問題1稍有區(qū)別，學生對此展開討論，有的建議利用完全平方公式將方程化成一般式再解決，而有些認為可以將“x+2”看成一個整體再求解，從解法的對比中可以發(fā)現(xiàn)整體思想的便利性. 問題3中的方程被再次加深難度，學生在自主探究中，自然地想到先把方程化成問題2的形式，將-9移到等號右邊，然后根據(jù)“整體法”這一思想將等號左邊化為［2（2-x）］2，或者兩邊同時除以4將左邊化為（2-x）2，此題便迎刃而解. 三個問題呈現(xiàn)出層層遞進的關系，學生的思維也在層層遞進中得到提升. 在數(shù)學教學中教師由易及難、由淺入深、層層遞進設疑可以幫助學生循序漸進地掌握知識內(nèi)容. 在教學的“重點”“難點”“銜接”“過渡”等關節(jié)點上利用遞進式設疑，能起到促進學生思維發(fā)展的教學作用.

2. 由表入里，承上啟下式設疑

研究問題不能只研究其表象，更重要的是研究其內(nèi)在的本質(zhì)，教師課堂設疑時，可以從由表及里的角度進行. 通過對疑問的探究，在教師的引導下，學生自主建立內(nèi)在的知識框架，從而讓思維“活”起來. 如八年級（蘇科版下冊） “分式的加減法”教學中，可以設計這樣的問題串.

問題1：請用自己的語言說明+的運算規(guī)則？

問題2：你能不能用代數(shù)式的形式表示上述數(shù)學式子呢？

問題3：對剛剛表示出的式子，大家想想該如何進行運算.

問題1和問題2學生獨立完成，對于問題3，鼓勵學生在觀察問題1的基礎上大膽猜想，從而找出一般的規(guī)律，在此基礎上教師繼續(xù)拋出問題：

問題4：+=？這個問題如何求解呢？

啟發(fā)學生類比異分母分數(shù)相加減的法則探索解法. 類比設疑，不僅教給學生相應的解題方法，還教給學生由表及里的研究問題的方法，使學生真正感受到數(shù)學知識框架的內(nèi)在邏輯關系，有助于學生構建知識體系，激發(fā)學生的學習興趣與求知欲望，促進學生在解決數(shù)學問題的過程中把知識轉化為能力.

3. 形似質(zhì)異，陷阱式設疑

學生經(jīng)常會犯審題不清的錯誤，陷阱式設疑無疑可以讓學生提高警惕，養(yǎng)成逐字逐句審題、畫關鍵詞的習慣，如下面的問題.

問題1：△ABC的三條邊的長分別為3，4，6，與△ABC相似的△A′B′C′的最長邊的長為18，求△A′B′C′的最短邊的長.

問題2：△ABC的三條邊的長分別為3，4，6，與△ABC相似的△A′B′C′的一邊為12，求△A′B′C′的最長邊的長.

學生在解決問題1時很輕松，由題中關鍵詞“最長邊”得△A′B′C′最長邊的長為18，它與△ABC 中的邊長為6的邊成對應關系，然后利用相似三角形對應邊成比例，求出△A′B′C′的最短邊為9. 在問題1的基礎上，教師設置問題2，問題2與問題1“形”上特別相似，但有本質(zhì)的區(qū)別. 學生有了第一題的解題經(jīng)驗后，往往會沿著慣性解下去，這樣就踏入了陷阱，出現(xiàn)錯誤. 通過教師設疑、講解后，學生知道了問題2與問題1有著不同之處，需要對已知邊長為12的邊進行分類討論，再利用相似三角形的性質(zhì)得最長邊為24，18或12. 這樣的陷阱設疑，很好地將“形似質(zhì)異”的問題曝光，引導學生在具體解決問題時，不能僅僅依靠經(jīng)驗解題，而是要仔細閱讀，審清題意，在“與眾不同”處多思考、多總結，這樣的設疑定能提升學生對知識點的理解.

4. 認知沖突，矛盾式設疑

當新學的知識與學生已有的知識結構產(chǎn)生矛盾時，就形成了認知沖突，此時設疑，可以啟發(fā)學生多角度思考，拓展思維廣度，激發(fā)學生的學習興趣. 如蘇科版九年級下冊“探索三角形相似的條件”第一課時的教學中，學習基本事實“兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例”時，學生先根據(jù)以下要求進行操作.

操作1：在練習本上作出3條互相平行的直線l1，l2，l3，再作出2條直線a，b，使a，b與l1，l2，l3分別相交于點A，B，C和點D，E，F(xiàn).

操作2：度量圖中的AB，BC，DE，EF的長度，并計算對應線段的比值.

問題1：根據(jù)計算所得比值，你有什么發(fā)現(xiàn)？

問題1的答案：在圖1中，有=，即線段AB，BC，DE，EF成比例.

問題2：請同學們再想想，還有哪些線段對應成比例？理由是什么呢？

學生對此進行了大膽猜想：①AB，AC，DE，DF成比例；②BC，AC，EE，DF成比例；③AD，BE，BE，CF成比例……在陳述以上猜想的理由時，直觀思維與理性思維形成了碰撞，同學之間產(chǎn)生了思維分歧，新舊知識產(chǎn)生了沖突，教師此時要充分抓住這一機遇，進行設疑，從而達到解惑的目的. 認識到線段AD，BE，BE，CF并不是平行線所截的對應線段，得出基本事實“兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例”. 趁著剛才的教學熱度，繼續(xù)設疑，讓思維碰撞的火花燃燒得再旺一些.

問題3：當圖1中的點A與點D重合時，如圖2所示，△ABE與△ACF相似嗎？

學生對此進行了熱烈的討論，有的認為相似，有的認為不相似. 認為相似的同學是通過觀察發(fā)現(xiàn)這兩個三角形形狀應該相同，認為不相似的同學則認為線段BE，CF不是被平行線截得的線段，所以應該和其他線段不成比例，所以不可能相似！辯論雙方都覺得對方說得有理，卻不知如何解決，在思維矛盾的節(jié)點上繼續(xù)設疑.

問題4：圖1中≠，圖2中=嗎？如果相等，如何證明？

學生再次進行思考、討論，發(fā)現(xiàn)過點B作BG∥EF（如圖3）交CF于點G，則易證四邊形BGFE為平行四邊形，得BE=GF，再根據(jù)基本事實===，得出△ABE∽△ACF. 本次探索中，充分利用了學生理解上的矛盾沖突，引起學生強烈的探究欲，在思維激烈的碰撞下完美解決了問題，學生已是滿滿的成就感，而此時教師繼續(xù)讓學生挑戰(zhàn)自我.

問題5：如圖4，AD∥BE∥CF，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點A，B，C和點D，E，F(xiàn)，已知AB=1，BC=3，DE=1.2，求DF的長.

此處學生在得到基本事實的基礎上，很容易求出DF的長.

問題6：在問題5的基礎上，若增加條件AD=2，CF=6，求BE的長.

學生瞬間展開爆炸式討論，充滿了征服欲，最終經(jīng)過探究給出了三種不同的方法：

如圖5，利用△GAD∽△GCF，且相似比為1 ∶ 3求出GA=2，再利用△GAD∽△GBE，且相似比為2 ∶ 3求出BE=3；如圖6，利用△CBH∽△CAD，且相似比為3 ∶ 4求出BH=1.5，再利用△DHE∽△DCF，且相似比為1 ∶ 4求出HE=1.5，從而BE=3；如圖7，利用平行四邊形求出IE=KF=AD=2，再利用△ABI∽△ACK，且相似比為1 ∶ 4，求出BI=1，因此BE=3. 這里通過變式題深化了學生在前面探索中的發(fā)現(xiàn)，創(chuàng)造性地運用知識和方法來解決問題.

當然，啟疑還有很多不同的方式，這要視教情和學情而定. 尤其要關注學情，因材施教、因生設疑，方式雖多樣化，但其目的都是在于能夠激起學生的探究欲望，從而主動進行多維度的思考、辯駁，提升學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題的能力以及在探究過程中形成良好的思維習慣.

由疑啟思，思則辨，辨而用，學生的思維經(jīng)過思考的沉淀積累，在運用所學知識解決問題時往往顯得較為輕松，此時再輔以變式教學，長久堅持，必定能夠使得學生在解決問題時游刃有余、創(chuàng)新不斷.

變式教學，變出高度

變式教學是一種以教學目標為基礎，靈活創(chuàng)新轉化命題的教學方式，具有適用范圍廣、學生參與度高、理解難度小的特點，被廣泛應用于數(shù)學教學過程中. 在筆者的教學經(jīng)驗中，變式教學一般有以下幾種.

1. 一題變多式，變出思維

數(shù)學題具有靈活多變的特點，但具有相同特點的題型往往是“形”變而“神”似. 教學中可以利用“一題多變”活躍學生的思維，啟發(fā)學生能夠觸類旁通地思考，而不是機械性地就題做題、思維定式.

問題1：如圖8，在△ABC中，AB=6，AC=4，BC=5，點D是AB的中點，過D點的直線交邊AC于點E，若△ADE∽△ABC，求AE的長.

變式1：如圖8，在△ABC中，AB=6，AC=4，BC=5，點D是AB的中點，過D點的直線交邊AC于點E，若以A、D、E為頂點的三角形和△ABC相似，求AE的長.

變式2：如圖8，在△ABC中，AB=6，AC=4，BC=5，點D是AB邊上的任意一點，過D點的直線交△ABC的另一邊于點E，若直線DE所截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線DE有幾條？請你把它們一一作出來.

變式3：如圖8，在△ABC中，AB=6，AC=4，BC=5，點D是AB邊上的任意一點，過D點的直線交△ABC的另一邊于點E，若直線DE所截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線DE有4條，請求出AD的取值范圍.

原題很簡單，學生由相似三角形對應邊成比例很容易求出AE=2. 比較變式1和原題，會發(fā)現(xiàn)變式1設置了陷阱，要分類討論，分別是△ADE∽△ABC時AE=2和△ADE∽△ACB時AE=4.5，但4.5>4，故第二種情況舍去，綜上AE=2. 而變式2中將中點D變更為AB邊上的任意一點，這時的分類就會很復雜，需要學生畫多幅圖進行分析和討論，思維的突破可見一斑，最終通過學生畫圖，輔助以幾何畫板發(fā)現(xiàn)隨著點D在AB邊上位置的變化，直線DE的條數(shù)可能是3條或4條. 變式3是對變式2問題的升華，只有在充分研究變式3的基礎上才會發(fā)現(xiàn)，當點D位于圖9中的點D1和D2及這兩點之間時，才能畫出4條滿足條件的直線DE，從而求得AD的取值范圍是≤AD≤.

2. 一題變多解，變出解法

通過不同的方式解決同一個問題可以讓學生的思維得到發(fā)散，使學生獲得更多的、更為優(yōu)化的解法.

問題1：已知兩個連續(xù)正偶數(shù)的積為48，求這兩個數(shù)分別是多少？

方法1：設較小的偶數(shù)為x，則較大偶數(shù)為x+2，利用兩個連續(xù)正偶數(shù)的積為48可列方程x（x+2）=48，解得x1=6，x2=-8（不符合題意，舍去），此時x+2=8，所以兩個數(shù)分別是6和8.

方法2：設較小的偶數(shù)為x，則較大偶數(shù)為，利用兩個連續(xù)正偶數(shù)可列方程-x=2，解得x1=6，x2=-8（不符合題意，舍去），此時=8，所以兩個數(shù)分別是6和8.

方法3：設x為任意正整數(shù)，則兩個連續(xù)正偶數(shù)可以表示為“2x”和“2x+2”，利用兩個連續(xù)正偶數(shù)的積為48可列方程2x（2x+2）=48，解得x1=3，x2=-4（不符合題意，舍去），此時2x=6，2x+2=8，所以兩個數(shù)分別是6和8.

以上三種解法中，方法1利用條件兩個連續(xù)正偶數(shù)的特點來設未知數(shù)，結論積為48列方程；方法2與方法1相反，利用結論積為48來設未知數(shù)，條件兩個連續(xù)正偶數(shù)的特點列方程. 方法3連續(xù)正偶數(shù)的規(guī)律設未知數(shù)，積為48列方程.

3. 一法變多用，變出多用途

一法多用是變式教學中相對難的部分，其需要學生深入掌握和了解知識，是在一題多變與一題多解的基礎上的延伸. 將變式教學應用在初中數(shù)學課堂中，不但能夠?qū)?shù)學知識進行整體概括，還能夠?qū)Χ鄠€知識點進行整理，以此來讓學生積累更多的學習經(jīng)驗，幫助學生形成知識體系.

問題1：通過平移把點A（2，-3）移到點A′（4，-2），按同樣的平移方式可將點B（-3，1）移到點B′，求點B′的坐標.

變式1：如圖10，在平面直角坐標系xOy中，將四邊形ABCD先向下平移，再向右平移得到四邊形A1B1C1D1，已知A（-3，5），B（-4，3），A1（3，3），求B1的坐標.

變式2：如圖11，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（，0），B（1，1）. 若平移點A到點C，使以點O，A，C，B為頂點的四邊形是菱形，則應當如何平移？

變式3：如圖12，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸、y軸上，對角線OB，AC相交于點F，點B的坐標為（4，t）（t>0），二次函數(shù)y=x2+bx（b<0）的圖象經(jīng)過點B，頂點為點D. 直線l平行于x軸，交二次函數(shù)y=x2+bx（b<0）的圖象于點M，N，連接DM，DN，當△DMN≌△FOC時，求t的值.

這幾道變式題看似沒有任何聯(lián)系，其實都可以化歸為與點的坐標平移規(guī)則相同的一類. 問題1不難理解是點A先向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到點A′，點B，B′的平移關系與點A，A′相同，于是得點B′（-1，2）；變式1看似四邊形的平移，通過分析發(fā)現(xiàn)仍然是點B，B1的平移關系與點A，A1相同，于是得點B1（2，1）. 變式2需要學生運用菱形的性質(zhì)分析出點O，B的平移關系與點A，C相同，得到點C（+1，1）. 變式3變更程度很大，對學生來說極具挑戰(zhàn)性，但前面三題中平移方法的使用對本題有著啟發(fā)作用，由點的平移發(fā)散到圖形的平移，于是學生想到將二次函數(shù)y=x2+bx（b<0）的圖象平移至頂點在原點的函數(shù)y=x2，由△DMN≌△FOC可知，點F的橫坐標即平移后點N的縱坐標，另MN=OC=t，點N的橫坐標為

，2，代入解析式y(tǒng)=x2，解得t=2.

結束語

筆者在長期的教學實踐中發(fā)現(xiàn)，課堂教學中運用“導疑—啟思—變式”的教學模式能夠給學生提供更多思考的時間和空間，有效激發(fā)學生的學習興趣，激起學生思維碰撞，強化教學效果，進而提高學生的數(shù)學綜合能力.