陳瑞華

【摘 要】在澄清知識(shí)本質(zhì)的基礎(chǔ)上，基于教學(xué)目標(biāo)細(xì)化，從畫圖、列表、遞推推理三個(gè)角度對(duì)三節(jié)“計(jì)數(shù)方法”課進(jìn)行解決問題策略的學(xué)習(xí)進(jìn)階比較研究，理解教材編排的意圖，提出進(jìn)一步完善教學(xué)的建議。

【關(guān)鍵詞】計(jì)數(shù)方法 解題策略 學(xué)習(xí)進(jìn)階

“計(jì)數(shù)方法”的學(xué)習(xí)內(nèi)容與我們的日常生活密切相關(guān)，小學(xué)數(shù)學(xué)中涉及“計(jì)數(shù)方法”的學(xué)習(xí)內(nèi)容有哪些？它解決問題的策略有哪些？筆者擬借鑒國際教育領(lǐng)域中先進(jìn)的“學(xué)習(xí)進(jìn)階”理論，對(duì)北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行系統(tǒng)的研究，為進(jìn)一步優(yōu)化教學(xué)提出合理的建議。

一、教材簡介

在北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，涉及“計(jì)數(shù)方法”的課有三節(jié)：三年級(jí)上冊(cè)“搭配中的學(xué)問”，四年級(jí)上冊(cè)“數(shù)圖形的學(xué)問”和六年級(jí)上冊(cè)“比賽場(chǎng)次”，它們同屬“數(shù)學(xué)好玩”板塊，都是“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

（一）三年級(jí)上冊(cè)“搭配中的學(xué)問”簡介

教材創(chuàng)設(shè)了搭配服裝、營養(yǎng)配餐、去動(dòng)物園的路線三個(gè)具有現(xiàn)實(shí)意義的情境，先通過擺一擺、說一說經(jīng)歷有序思考的實(shí)踐活動(dòng)，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生用圖、符號(hào)表示對(duì)象，用連線表示搭配進(jìn)行有序思考。在此基礎(chǔ)上用圖、符號(hào)、連線方法解決營養(yǎng)配餐問題，進(jìn)而用符號(hào)、連線解決去動(dòng)物園的路線問題。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生通常能用加法或乘法表示列舉的結(jié)果，通過比較三個(gè)問題的共性，對(duì)解決搭配問題的數(shù)學(xué)模型有所感悟。

（二）四年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)圖形的學(xué)問”簡介

教材先引導(dǎo)學(xué)生把“鼴鼠鉆洞”的實(shí)際情境抽象成線段和其上的點(diǎn)，通過有序思考解決問題，并用加法表示結(jié)果。菜地旅行引導(dǎo)學(xué)生用點(diǎn)表示站點(diǎn)，線段表示路線，借助圖形直觀引導(dǎo)學(xué)生通過有序思考數(shù)線段解決單程票的問題。通過站點(diǎn)數(shù)遞增的練習(xí)、遞推策略的運(yùn)用幫助學(xué)生感悟數(shù)圖形中蘊(yùn)含的規(guī)律。

（三）六年級(jí)上冊(cè)“比賽場(chǎng)次”簡介

教材呈現(xiàn)10個(gè)學(xué)生兩兩比賽的場(chǎng)次安排問題，引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖、列表、連線的方法尋找規(guī)律，體會(huì)“從簡單情形開始尋找規(guī)律”解決問題的必要性，進(jìn)而利用這一策略解決問題；借助遞推策略感悟蘊(yùn)含其中的規(guī)律；運(yùn)用“從簡單情形開始尋找規(guī)律”的策略解決聯(lián)絡(luò)方式問題。

二、教學(xué)內(nèi)容的知識(shí)背景分析

（一）教學(xué)內(nèi)容的知識(shí)背景概述

“計(jì)數(shù)方法”的基礎(chǔ)是所謂的“計(jì)數(shù)原理”，包括加法原理和乘法原理。加法原理是分類計(jì)數(shù)，乘法原理是分步計(jì)數(shù)。

排列組合是組合學(xué)最基本的概念，所謂排列，就是指從給定的n個(gè)元素中取出m個(gè)元素進(jìn)行排序，計(jì)算公式：，是乘法原 理的直接應(yīng)用。組合則是指從給定的n個(gè)元素中取出指定m個(gè)元素，不考慮排序，計(jì)算公式：。即先計(jì)算排列，再除掉重復(fù)計(jì)數(shù)。

（二）教學(xué)內(nèi)容的知識(shí)背景分析

1.“搭配中的學(xué)問”與“乘法原理”

“搭配中的學(xué)問”本質(zhì)上是“乘法原理”。以教材搭配服飾為例，第一步選帽子，有2種選法；第二步選褲子，有3種選法，一共有2×3種方法，也可以用加法或乘法表示搭配結(jié)果，即3+3、2+2+2或2×3，但教材中這樣的列式是基于加法和乘法的運(yùn)算意義的，并沒有進(jìn)行“加法原理”“乘法原理”抽象。

2.“數(shù)圖形的學(xué)問”與“排列”

“鼴鼠鉆洞”問題與通常的“數(shù)線段”問題有著本質(zhì)的不同。“數(shù)線段”問題本質(zhì)上是排列問題，如線段上有5個(gè)點(diǎn)（包含兩端），兩個(gè)點(diǎn)確定一條線段，先定一個(gè)點(diǎn)有5種方法，再定一個(gè)點(diǎn)有4種方法，一共有5×4種方法，即20條線段，由于同一條線段被重復(fù)計(jì)數(shù)，所以實(shí)際有20÷2=10條線段?！褒B鼠鉆洞”問題雖然也可以用5×4÷2計(jì)算，5×4是“往返路線”的種數(shù)，“除以2”的原因是問題只要求考慮“單程”計(jì)數(shù)，但教材中在處理這個(gè)問題時(shí)只用了有序列舉找規(guī)律，沒有進(jìn)行“排列”的意義與方法抽象。

3.“比賽場(chǎng)次”與“組合”

“比賽場(chǎng)次”本質(zhì)是“組合問題”，即從一個(gè)集合中取兩個(gè)元素組合。但教材呈現(xiàn)的處理方式上是用了有序列舉的方法尋找規(guī)律，基于有序列舉的方式讓學(xué)生進(jìn)行感受遞推的方法，體會(huì)“從簡單的情形尋找規(guī)律”解決問題的策略，并沒有進(jìn)行“組合”的意義與方法抽象。

三、解決問題策略的學(xué)習(xí)進(jìn)階

三節(jié)課中涉及的主要解題的策略包括畫圖、列表格遞推推理。

（一）畫圖策略的學(xué)習(xí)進(jìn)階分析

三節(jié)課中畫圖策略的基本出發(fā)點(diǎn)是用點(diǎn)表示集合中的元素，用線表示元素間的關(guān)系。

在“搭配中的學(xué)問”中，學(xué)生運(yùn)用不同的圖形或字母來表示帽子和褲子、用連線表示搭配的方法解決問題；在解決去動(dòng)物園的路線問題時(shí)，也用到了連線畫圖的方式來解決問題。

在“數(shù)圖形的學(xué)問”中，相對(duì)于前一課兩個(gè)集合間的畫圖連線解決問題，本課在一個(gè)集合的元素間畫圖連線解決問題——按出發(fā)點(diǎn)的不同來計(jì)數(shù)，相對(duì)來說更容易混淆，也更難一些。

在“比賽場(chǎng)次”中學(xué)生的畫圖策略比較多樣，包括線段圖、連線圖等。

綜合來看，三個(gè)課時(shí)在畫圖這一策略方面存在著明顯的學(xué)習(xí)進(jìn)階，從只用一種畫圖的策略到運(yùn)用多種畫圖的策略，是有一定的進(jìn)階上升的。

（二）列表策略的學(xué)習(xí)進(jìn)階分析

在“搭配中的學(xué)問”內(nèi)容中，教材沒有應(yīng)用列表的策略來解決問題。

在“數(shù)圖形的學(xué)問”中，教材也沒有應(yīng)用列表的策略解決問題。

但通過列表解決問題的策略在教材中還是有所體現(xiàn)的，如三年級(jí)下冊(cè)的“有趣的推理”中就有相關(guān)的內(nèi)容（見圖1）。

“比賽場(chǎng)次”中教材呈現(xiàn)的列表策略就比較多樣，既可以在表格中利用示意圖的方式尋找規(guī)律，也可以在表格中利用連線圖的方式尋找規(guī)律，還可以在表格中用數(shù)線段圖的方式來尋找規(guī)律。利用從簡單情形開始，尋找一般的規(guī)律，充分體會(huì)遞推的必要性。

綜合來看，三個(gè)課時(shí)在列表這一策略上的進(jìn)階安排是有所不足的。

（三）“遞推推理”策略的學(xué)習(xí)進(jìn)階分析

遞推是序列計(jì)算中的一種常用算法，是基于前一項(xiàng)的推理答案，結(jié)合下一步的推理，得到新的序列答案的過程?！按钆渲械膶W(xué)問”并沒有出現(xiàn)遞推推理，下面著重分析后兩節(jié)課。

1.“數(shù)圖形的學(xué)問”的遞推推理進(jìn)階分析

本課學(xué)習(xí)是學(xué)生第一次接觸遞推推理。教材是在練習(xí)中出現(xiàn)遞推方法的提示的（見圖2）。通過操作，學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要添加新加的這個(gè)站點(diǎn)跟原有站點(diǎn)的票數(shù)就可以了。

從遞推推理的動(dòng)手操作到算式表示和意義解釋是學(xué)習(xí)的進(jìn)階。在解釋算式意義的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生尋找站點(diǎn)數(shù)與加法中加數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而對(duì)這種關(guān)系進(jìn)行意義解釋：每增加一個(gè)站點(diǎn)，增加的票數(shù)就是站點(diǎn)總數(shù)減1，因?yàn)樾抡军c(diǎn)與自身不需要票，所以要減1，可利用這種關(guān)系列式解決問題。

2.“比賽場(chǎng)次”的遞推推理進(jìn)階分析

本課的遞推推理是借助“退”的策略引出的：解決10個(gè)學(xué)生比賽場(chǎng)次問題比較復(fù)雜，所以要“從簡單的開始”思考問題，尋找規(guī)律解決問題。遞推推理的展開利用了列表、數(shù)線段、連線等多種策略，每增加一人比賽，用一個(gè)點(diǎn)或增加表格的行和列表示，并用不同顏色的符號(hào)標(biāo)示出來，便于學(xué)生清晰地看出遞推推理的過程，找出遞推推理后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的關(guān)系。不同于“數(shù)圖形的學(xué)問”中加數(shù)依次遞減的加法，本課采用了加數(shù)依次遞增的加法算式，更切合遞推推理的特點(diǎn)，意義解釋也更為合理。

綜合兩個(gè)課時(shí)的教材研究，從“數(shù)圖形的學(xué)問”直接呈現(xiàn)，到“比賽場(chǎng)次”中基于“退”的策略的自主運(yùn)用，從單一策略到多種策略，從遞減算式到遞增算式，是一個(gè)明顯的進(jìn)階過程。但是，遞推推理從“教”到“用”，間隔兩年，后續(xù)學(xué)習(xí)顯然難以喚醒以往經(jīng)驗(yàn)，教師就要聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際展開教學(xué)。

四、縱向研究的教學(xué)啟示與建議

（一）主要解題策略的教學(xué)啟示與建議

在“搭配的學(xué)問”中，教材呈現(xiàn)的解題策略是畫圖和連線，缺少列表的解題策略，建議增加列表的解題策略，讓學(xué)生更好地體會(huì)乘法原理在搭配問題中的應(yīng)用。例如，在解決去動(dòng)物園的路線問題時(shí)可以呈現(xiàn)這樣的解決方法：從學(xué)校到少年宮有A、B兩條路，從少年宮到動(dòng)物園有C、D、E三條路，第一步可以從“列”選，有2種選擇，如先選A，第二步選“行”，有3種選擇，再選B，重復(fù)第二步（見表1）。當(dāng)然也可以先行后列。這樣設(shè)計(jì)更利于學(xué)生感悟乘法原理。

在“數(shù)圖形的學(xué)問”中，教材中呈現(xiàn)的也只有一種解題策略——畫線段圖，實(shí)際上也可以應(yīng)用列表的策略來解決問題。例如，在一條線段上有A、B、C、D共4個(gè)端點(diǎn)，問：一共有多少條線段？由于兩個(gè)端點(diǎn)決定一條線段，可以列出表2。有序列舉分兩步：先選一個(gè)端點(diǎn)，再選一個(gè)端點(diǎn)，A與B組合了，B就不用跟A組合了，由此出現(xiàn)了遞減的現(xiàn)象。

從“比賽場(chǎng)次”目前的教學(xué)來看，很少有學(xué)生采用列表的策略，如果有了前面兩節(jié)課教學(xué)改進(jìn)的鋪墊，采用這一策略的學(xué)生人數(shù)比例可能會(huì)增加。

（二）“遞推推理”的教學(xué)啟示與建議

“搭配的學(xué)問”在教材中并沒有遞推推理的內(nèi)容，建議安排增加一頂帽子或增加一條褲子讓學(xué)生思考更多的搭配方式，通過推理找到增加后的搭配數(shù)量與增加前的數(shù)之間的關(guān)系，滲透遞推推理的思想。

“數(shù)圖形的學(xué)問”的遞推推理是在增加站點(diǎn)的過程中實(shí)現(xiàn)的，缺乏線段增加條數(shù)與端點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系總結(jié)，教師如果能加強(qiáng)算式的意義解釋，可以幫助學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)與解釋規(guī)律。

針對(duì)“比賽場(chǎng)次”，教材中呈現(xiàn)了更加完善的遞推推理，但是學(xué)生在解決問題時(shí)一般不用這種推理方式，更多的是關(guān)注問題本身的答案，運(yùn)用以往的經(jīng)驗(yàn)孤立地解決問題。引入遞推推理需要更多地發(fā)揮教師的主導(dǎo)及提示引領(lǐng)作用。

五、需要進(jìn)一步研究的問題

在小學(xué)階段，“計(jì)數(shù)方法”雖有所體現(xiàn)，但學(xué)生主要是基于示意圖、列表格、連線的解題策略的有序列舉積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，然后運(yùn)用加法或乘法的意義列式計(jì)算，對(duì)加法原理和乘法原理以及排列和組合思想方法的體驗(yàn)不深。為此，筆者以為需要進(jìn)一步加強(qiáng)下列問題的研究：（1）如何基于有序列舉，根據(jù)“計(jì)數(shù)原理”和排列組合的基本概念展開更加結(jié)構(gòu)化的教學(xué)，使學(xué)生更好地積累結(jié)構(gòu)化的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)？（2）排列組合的思想方法是否需要在小學(xué)階段滲透？在教學(xué)中應(yīng)該滲透到哪一步？如何滲透？