賈春千

【摘要】幾何圖形是初中數(shù)學(xué)的重要組成內(nèi)容，在幾何圖形基礎(chǔ)上求線段或距離之和的最值既能考查學(xué)生對(duì)幾何性質(zhì)和定理的掌握情況，也能考查學(xué)生對(duì)圖形的熟悉程度，屬于屢見不鮮的初中數(shù)學(xué)問題.本文主要對(duì)三種不同類型的幾何最值問題進(jìn)行分析，總結(jié)題型特點(diǎn)和解題思路，幫助學(xué)生理解和掌握幾何最值問題.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；幾何；最值問題

1 胡不歸問題

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，求形似“PA+kPB”的距離之和最小值的問題稱為“胡不歸”題型，其中參數(shù)k是不大于1的任意常數(shù).解答這類題型，應(yīng)考慮從動(dòng)點(diǎn)P出發(fā)構(gòu)造斜邊為PB的直角三角形，利用正弦值將PA+kPB轉(zhuǎn)化為等價(jià)的垂線段問題，進(jìn)而解答問題.一般解題思路為：①過點(diǎn)P（公共點(diǎn)）作斜邊為PB的直角三角形；②根據(jù)正弦定理，將PA+kPB轉(zhuǎn)化為等價(jià)的PA+sin∠PBC·PB，等價(jià)于求點(diǎn)A到垂足點(diǎn)的距離最小值；③過點(diǎn)A作垂線，根據(jù)垂線段距離最短求出問題最終答案.

解析 如圖2所示，作AN⊥BC于點(diǎn)N.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，∠ABC=60°，

所以∠DBC=30°，

2 將軍飲馬問題

“將軍飲馬”出自《古從軍行》，也由此引申出一個(gè)常見的數(shù)學(xué)幾何最值題型，具體指求直線上任意點(diǎn)到直線同側(cè)兩定點(diǎn)距離之和的最小值.這類問題通常借助“兩點(diǎn)之間線段最短”來解答，即根據(jù)軸對(duì)稱使其中一定點(diǎn)處于直線另一側(cè)，連接兩端點(diǎn)求線段值可得知距離之和最值.一般解題思路為：①分析題意，選擇一個(gè)定點(diǎn)作關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一定點(diǎn)；②憑借兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，可求得距離之和最小值和對(duì)應(yīng)直線上的點(diǎn).

例2 如圖3，直線y=x+4與x、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C、D分別是線段AB、OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是OA上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+PD的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

分析 將問題看作點(diǎn)C、D到直線y=0上點(diǎn)P距離之和的最小值問題，可作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接對(duì)稱點(diǎn)D′與點(diǎn)C得到的線段長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)問題所求的PC+PD值，故根據(jù)D′點(diǎn)坐標(biāo)和C點(diǎn)坐標(biāo)，可求得x軸上P點(diǎn)坐標(biāo).

解析 作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，如圖4所示.

連接CD′交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PC+PD的值最小，最小值為CD′.

令y=x+4中x=0，可得y=4，

故點(diǎn)B的坐標(biāo)為0，4，

令y=x+4中y=0，可得x=－4，

故點(diǎn)A的坐標(biāo)為－4，0，

因?yàn)辄c(diǎn)C、D分別是線段AB、OB的中點(diǎn)，

所以C－2，2，D0，2，

因?yàn)辄c(diǎn)D′和點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，

所以D′0，－2，

設(shè)直線CD′的解析式為y=kx+b，

故直線CD′為y=－2x－2，

令y=0，求得x=－1，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－1，0）.

3 費(fèi)馬點(diǎn)問題

費(fèi)馬點(diǎn)是指到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離之和最小的點(diǎn)P，找到費(fèi)馬點(diǎn)點(diǎn)P并求出距離之和PA+PB+PC的最小值是初中幾何最值問題的常見題型之一，解答的關(guān)鍵在于把三條線段轉(zhuǎn)化為連續(xù)的折線，主要通過旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、平移手段對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而求得最小值和對(duì)應(yīng)點(diǎn).一般解題思路為：①對(duì)含有任意兩段線段（如PA和PB）的圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、平移或軸對(duì)稱變換，使線段PA、PB、PC得到等價(jià)替換；②根據(jù)等價(jià)替換后的線段和，判斷最小值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和圖形情況，列式運(yùn)算求解.

例3 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB+PC的最小值是.

分析 首先對(duì)含PB、PC線段的三角形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，使其等價(jià)替換成其他相等長(zhǎng)度的線段，使PA+PB+PC轉(zhuǎn)化為連續(xù)的折線，此時(shí)只要對(duì)動(dòng)點(diǎn)共線情況進(jìn)行分析，即可求得最小值.

解析 如圖5所示，以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將△PBC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△MNC，連接BN、PM.

由旋轉(zhuǎn)可得△BPC≌△NMC，

所以MN=BP，PC=MC，

∠PCM=60°=∠BCN，CB=CN，

所以△PCM，△CBN是等邊三角形，

所以PC=PM，

則PA+PB+PC=AP+PM+MN.

當(dāng)A、P、M、N四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，如圖6，

因?yàn)锳B=AC，BN=CN，

所以AN垂直平分BC，

4 結(jié)語

上述例題對(duì)三種不同幾何最值模型作出分析與解答，胡不歸問題與垂線段有關(guān)，將軍飲馬問題與軸對(duì)稱有關(guān)，費(fèi)馬點(diǎn)問題與旋轉(zhuǎn)、平移有關(guān)，大部分問題都是在這些模型基礎(chǔ)上進(jìn)行變換，學(xué)生只有掌握基礎(chǔ)的幾何最值模型和解題思路，才能更加靈活地理解和解答這些問題.

參考文獻(xiàn)：

［1］田海霞.初中數(shù)學(xué)幾何圖形中有關(guān)最值問題的解題思路分析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2022（25）：155-157.

［2］王春麗.立足教材 鏈接中考——例析平面幾何最值問題的求解方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2011（7）：2.