于淼紅

摘 要：好的試題往往具有良好的教學(xué)導(dǎo)向作用，教師應(yīng)挖掘典型好題的育人功能，盤活好題資源，開發(fā)試題的教學(xué)功效，拓寬學(xué)生的思考視角，提高教學(xué)效能，使學(xué)生將知識融會貫通，輕松地學(xué)數(shù)學(xué)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)至簡.

關(guān)鍵詞：至簡教學(xué)；轉(zhuǎn)化思想；解題教學(xué)

1 深研課標(biāo)，細(xì)品教材

數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和知識結(jié)構(gòu)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源.在教學(xué)設(shè)計(jì)之前，教師應(yīng)該認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)，深入研讀教材，揣摩教材編寫意圖，體會教材如何承載課程目標(biāo)，過程中不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)知識本身，而且要思考知識背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)，包括數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程、數(shù)學(xué)思想方法的提煉和數(shù)學(xué)理性精神的體驗(yàn).在此基礎(chǔ)上，靈活地、創(chuàng)造性地使用教材.本節(jié)課意圖在深入理解教材的基礎(chǔ)上用教材進(jìn)行教學(xué).

例題：（人教版八上62頁習(xí)題） 在△ABC中，AD為角平分線，∠ABC＝2∠ACB，求證：AB+BD=AC.

2 在情境引學(xué)中將思維由淺表引向深入

數(shù)學(xué)是一門訓(xùn)練思維，提升能力的學(xué)科.“解法開放”是全國各地歷年中考數(shù)學(xué)壓軸題的特色之一.但只要認(rèn)真探索這些數(shù)學(xué)試題，均能發(fā)現(xiàn)隱藏其中的“共性”，即試題大都回歸數(shù)學(xué)本源，注重通性通法，凸顯數(shù)學(xué)能力的考察.

方法探究一（核心思想一：轉(zhuǎn)換，造等角——出等腰）

在平面幾何中，相等的角有著重要價(jià)值，相等的角可以聯(lián)想到等腰三角形，可以聯(lián)想到角平分線，可以構(gòu)造全等，可以構(gòu)造相似等.二倍角問題又是平面幾何中的一個(gè)常見問題，也是一個(gè)難點(diǎn)問題，所以當(dāng)二倍角出現(xiàn)時(shí)我們可以把二倍角轉(zhuǎn)化成相等的角，利用相等的角去解決問題.

已知條件∠ABC＝2∠ACB是解題的關(guān)鍵.現(xiàn)在我們來研究一下，如何處理二倍角問題.

方法1：延等腰：延長CB至D，使得BD＝AB，可以得到∠D＝∠C＝∠BAD，通過這組等角我們得到兩個(gè)等腰三角形和一個(gè)斜A相似.

方法2：截等腰：在BC邊上取點(diǎn)D，連接AD，使得AD＝CD，得到∠C＝∠CAD，∠B＝∠ADB，這樣通過這組等角我們可以得到兩個(gè)等腰三角形.

方法3：作角平分線：做△ABC的角平分線BD，得到∠CBD＝∠C＝∠ABD，通過這組等角我們得到一個(gè)等腰三角形，一個(gè)角平分線，一個(gè)斜A相似.

方法4：翻折：把直線CB沿AC翻折得到直線CD，設(shè)CD交BA延長線于D，得到∠B＝∠BCD，∠ACB＝∠ACD，這樣通過這組等角我們可以得到一個(gè)等腰三角形和一個(gè)角平分線.

總結(jié)：關(guān)于二倍角問題，上面介紹了四種添加輔助線的方法，主要目的都是為了構(gòu)造相等的角，進(jìn)而推出角平分線、等腰三角形等，然后再利用相關(guān)的性質(zhì)探求解題途徑.由于種種原因，學(xué)生的思維往往處于沉睡狀態(tài).數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要努力尋求問題之間的連接點(diǎn)、生長點(diǎn)，循序漸進(jìn)，形成自然聯(lián)系的整體，為思考鋪路，為探究引航，不斷喚醒和激活思維，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，讓學(xué)生建立“屬于自己”的知識結(jié)構(gòu)、思維方式和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

例題賞析

例1 在△ABC中，AD為角平分線，∠ABC＝2∠ACB，求證：AB+BD=AC.

方法1：延等腰：如圖7，延長AB至E，BE＝BD，連接DE，△ADE≌△ADC，AE＝AC，所以AC＝AB +BD.

方法2：截等腰：在AC邊上截取AE＝AB，則△ABD≌△AED，易得BD＝DE＝CE，所以AC＝AB + BD.

方法3：作角平分線：過B做BE平分∠ABC交AD于E，EF平行BC交AC于F，導(dǎo)角得BD＝BE，易證△ABE≌△AFE，所以AB＝AF，易得CF＝BE，所以AC＝AB+BD.

方法4：翻折：把直線CB沿AC翻折得到直線CE，AE∥BC，得到∠ABC＝∠BCE，∠ACB＝∠ACE，易得AB＝CE＝AE，在AC上取點(diǎn)F，在AD上取點(diǎn)G，使得AF＝AE、BG＝BD，△BGA≌△CFE，所以BD＝BG＝CF，所以AC＝AB+BD.

通過這一道教材習(xí)題，聚焦基本圖形，深入引導(dǎo)學(xué)生挖掘基本圖形中隱含的數(shù)學(xué)知識.這一過程在學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ)上，利用問題引導(dǎo)學(xué)生感受發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的過程，通過從特殊到一般、從具體到抽象的引導(dǎo)過程激發(fā)學(xué)生深度思考，促進(jìn)高階思維的發(fā)生.

3 探究研學(xué)，激發(fā)思維

專題探究課應(yīng)注重層層深入、揭示問題的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生思維深入發(fā)展.蘇聯(lián)教育家霍姆林斯基說：“只有讓學(xué)生在認(rèn)知過程中感受自己的智力，體會到創(chuàng)造的愉快，才能激發(fā)學(xué)生高昂持久的興趣.”本節(jié)課通過有效設(shè)置問題變化情境，精心設(shè)計(jì)探究過程，有效組織探究活動，引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)有序地對模型本質(zhì)進(jìn)行探究.

例2 如圖12，在△ABC中，∠B＝2∠C，求線段AB、BD與CD的數(shù)量關(guān)系.

方法1：延等腰：延長CB至E，使得BE＝AB，得到∠E＝∠C＝∠BAE，易得DE＝CD，所以AB+BD＝CD.

方法2：截等腰：在BC邊上取點(diǎn)E，連接AE，使得AE＝CE，得到∠C＝∠CAE，∠B＝∠AEB，所以BD＝DE，AB＝AE＝CE，所以AB+BD＝CD.

方法3：作角平分線：過B做BE平分∠ABD交AD于E，EF∥BC交AC于F，在線段AF上取點(diǎn)G，AE＝EG，可證△BDE≌△CHF，△ABE≌△EFG，所以BD＝CH，AB＝EF＝DH，所以CD＝AB+BD.

方法4：翻折：把直線CB沿AC翻折得到直線CE，AE∥BC，得到∠B＝∠BCE， ∠ACB＝∠ACE，易得BD＝CF，AB＝DF，所以CD＝AB+BD.

高階思維的發(fā)生需要問題的驅(qū)動.如何從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)設(shè)置問題，開展有效的思維活動？如何通過問題引導(dǎo)，讓學(xué)生在解決問題的過程中感悟數(shù)學(xué)思想方法？如何讓學(xué)生體會到習(xí)題課中的思維升華，通過類比、拓展實(shí)現(xiàn)思維創(chuàng)造，生成數(shù)學(xué)知識，積累基本經(jīng)驗(yàn)，基于以上思考，本節(jié)課的問題引導(dǎo)從特殊到一般，從方法類比到圖形構(gòu)造.在問題引導(dǎo)中溯源問題本質(zhì)，在思想方法的感悟中探求新知，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成、鞏固和深化的過程.

方法探究二：（核心思想二：導(dǎo)特殊）

有一些二倍角的問題中往往隱藏了某種特殊，可以是隱藏特殊三角形，特殊角，特殊關(guān)系，需要我們導(dǎo)角把特殊找到，然后根據(jù)特殊解決問題.

例題賞析

例3 如圖17，在△ABC中，AD為高線，BD＝2，CD＝3，∠BAD＝2∠C，求線段AD的長度.

解析：如圖，設(shè)∠ACB＝x，則∠BAD＝2x，∠CAD＝90°-x，∠BAC＝90°+x，導(dǎo)出AC為△ABD的外角平分線，所以過C做CE⊥AB于E，所以CE＝CD＝3，勾股定理得BE＝4，得到∠B的正切值，所以AD＝1.5.

總結(jié)：本題就是通過導(dǎo)角得到一個(gè)特殊條件：AC為角平分線，然后利用角平分線的相關(guān)性質(zhì)解決問題.

例4 如圖19，在△ABC中，D、E分別在AB、AC邊上，AD＝CD，∠CDE＝60°，∠ADE＝2∠BCD，BD＝3，DE＝5，求線段CE的長度.

解析：如圖設(shè)∠BCD＝x，則∠ADE＝2x，∠ACD＝60°-x，∠ABC＝60°+x，所以∠ACB＝60°，得到特殊角∠ACB，延長DE至F，使得DF＝CD，連接CF，在BC邊上截取DG＝DB，可證△CFE≌ △CDG，所以BD＝DG＝EF＝3，DE＝5，∠F＝60°，△CEF可得CE＝7.

綜上所述，處理二倍角問題的思想主要是：一是造相等，構(gòu)造出相等的角，利用等角處理問題;二是導(dǎo)特殊，導(dǎo)出特殊關(guān)系，利用特殊關(guān)系解決問題.

4 培養(yǎng)遷移能力，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維

學(xué)習(xí)遷移是指學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中把之前學(xué)習(xí)的知識或解決問題的能力自覺地應(yīng)用到新知識的學(xué)習(xí)和實(shí)際問題的解決中.通過學(xué)習(xí)遷移能力的培養(yǎng)，可以有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，優(yōu)化思維品質(zhì)，為學(xué)生終身發(fā)展打好能力基礎(chǔ).

例5 在△ABC中∠C=60°，D、E分別在BC、AC上，AD=AB，AE=EB.

（1） 求證∠ADE=30°.

（2） 點(diǎn)M在CB的延長線上，DM=AE，AM=c，AD=b，DE=a，試確定a、b、c的數(shù)量關(guān)系.

解析：（1） ［對稱法］α，α+60°，60°-2α.

［法1］中垂線GEF，［369△AGF］，兩個(gè)α，AF＝2AG＝AB＝AD，△AED和△AEF全等［SAS］，兩個(gè)30°.

［法2］F、B關(guān)于AC對稱，正△ADF，△ADE和△FDE全等［SSS］，兩個(gè)30°.

（2） ［等邊轉(zhuǎn)換與角度轉(zhuǎn)換］

［法1］∠EBA＝∠EAB＝60°-α，∠ABD＝∠ADB＝60°+α，∠DBE＝2α ∠EDC＝90°-α，作BN＝BE，則DE＝EN＝α，DN＝MB＝n ［美人魚相似］△NDE∽△NEB［AA］，a²＝n（n+2m）.

［雙勾股］c²-b²＝（n+m）²-m²＝n（n+2m），故a²＝c²-b².

［法2］正△AMN，［對頂點(diǎn)O］兩個(gè)θ，兩個(gè)黃色三角形全［SAS］正△DNE，Rt△ADN，c²＝a²+b².

5 深度反思，內(nèi)化思想

反思1：通過本節(jié)課可以看出，活動內(nèi)容只是探究的一個(gè)載體，經(jīng)過探究活動，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)、找出其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，從而帶動思維能力的發(fā)展.筆者通過對課堂探究教學(xué)的嘗試與反思，意識到探究教學(xué)不是對數(shù)學(xué)內(nèi)容的機(jī)械重復(fù)，而是對數(shù)學(xué)內(nèi)容的重置與延伸.

反思2：熟練解題模型，提煉解題規(guī)律.解體模型是指教師在解題教學(xué)中發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出一些結(jié)論性認(rèn)識，具體指一般化程度較高的結(jié)論或圖形.G·波利亞認(rèn)為，解決一個(gè)問題之后，要善于去總結(jié)一個(gè)模型，并井然有序地儲備起來，以后才可以隨時(shí)支取它去解決類似的問題，進(jìn)而提高自己的解題能力.如本題解決二倍角問題用到的幾個(gè)基本模型.教師不僅要熟悉一些常見的解題模型，還要在解題教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)提煉解題規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題直覺，啟迪學(xué)生思考方向，進(jìn)而順利解決問題.

反思3： 著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾說過：“與其說讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如說讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化.”意思是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的終極目標(biāo)應(yīng)該是形成自己的數(shù)學(xué)思想和方法，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去看待事物，學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法解決問題.因此我們的教學(xué)，不應(yīng)該僅僅是一節(jié)課做完這一題及其變式就了結(jié).我們還應(yīng)做好梳理總結(jié)工作，反思本節(jié)課中問題的解決路徑、運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識和思想方法.除了課后反思這一重要環(huán)節(jié)，教師還需要引導(dǎo)學(xué)生在問題解決的核心處深度思考、深切體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法的滲透.這便是學(xué)生從數(shù)學(xué)的知識學(xué)習(xí)走向數(shù)學(xué)思維化學(xué)習(xí)的必經(jīng)之路.

反思4：好的試題往往具有良好的教學(xué)導(dǎo)向作用，深研細(xì)究試題的內(nèi)涵并盤活類似的學(xué)習(xí)資源，能開發(fā)試題的教學(xué)功效，拓寬學(xué)生的思考視角，提高教學(xué)效能，使學(xué)生將知識融會貫通，輕松地學(xué)數(shù)學(xué)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)至簡.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 王眉燕.滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（13）：55-56.