陳卓

課題信息：本文系江蘇省中小學教學研究第十三期課題“發(fā)展初中生代數(shù)推理能力的實踐研究”（課題編號：2019JK13-L017），南京市教育科學“十三五”規(guī)劃2018年度課題“培養(yǎng)初中生代數(shù)推理能力的教學研究”（課題編號：L/2020/264）的研究成果.

摘要：推理能力是初中數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一，在日常教學中，部分教師重視學生幾何推理能力的培養(yǎng)而忽視代數(shù)推理能力的培養(yǎng).為改變這種現(xiàn)狀，教師需要研究教材，在教學中適度滲透代數(shù)推理思想，培養(yǎng)學生代數(shù)推理能力.

關(guān)鍵詞：代數(shù)推理；教學設(shè)計；二次函數(shù)與一元二次方程

從推理類型來看，初中階段的推理有幾何推理和代數(shù)推理．代數(shù)推理側(cè)重數(shù)和式或數(shù)量關(guān)系的變形及轉(zhuǎn)換，相對比較抽象，代數(shù)推理是學生數(shù)學思維向更高層次發(fā)展的必備能力，教材也提供了豐富的代數(shù)推理素材，因此很有必要在初中階段點面結(jié)合、系統(tǒng)推進，逐步滲透代數(shù)推理.通過課題組研究發(fā)現(xiàn)，在函數(shù)教學中滲透代數(shù)思維培養(yǎng)學生推理能力非常有意義.筆者執(zhí)教了義務教育蘇科版數(shù)學教材九年級下冊第五章第4節(jié)“二次函數(shù)與一元二次方程”的專題研究課，借此談一談學生代數(shù)推理能力的培養(yǎng)問題.

1 代數(shù)推理視角下的內(nèi)容分析

1.1 挖掘內(nèi)容中的推理資源

教材從“函數(shù)值何時為0”著手，探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，通過函數(shù)圖象揭示一元二次方程解的幾何意義.以“特殊—一般”“具體—抽象”的路徑逐步推進，通過“數(shù)”和“形”的對比感受函數(shù)與方程之間的聯(lián)系，這樣的設(shè)計符合學生認知規(guī)律，也符合問題探究的一般規(guī)律.結(jié)合教材，在問題情境導入上，以學生熟悉的命題為切入口：（1）解一元一次方程x＋1＝0；（2）畫一次函數(shù)y＝x＋1的圖象；（3）說x＋1＝0與y＝x＋1的聯(lián)系.仿照以往幾何推理的經(jīng)驗進行說理，這樣就使解方程中演繹推理格式的得出更加自然，模仿“∵……，∴……”，依據(jù)寫在結(jié)論后面括號里的方式去表達x＋1＝0與y＝x＋1之間的聯(lián)系.這樣可以有效促進學生理解函數(shù)和方程內(nèi)容中演繹推理的表征，培養(yǎng)學生代數(shù)推理能力.

1.2 關(guān)于教學目標的落實

探索并獲得二次函數(shù)的圖象與x軸的三種位置關(guān)系和一元二次方程根的三種情況的對應關(guān)系是本節(jié)課的教學重點，在教學過程中，學生通過“思考—探索—嘗試—歸納”，自主參與知識的發(fā)生、發(fā)展和形成過程，深刻理解轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學生的推理能力.同時，使學生真正成為學習的主體，從“被動學會”變成“主動會學”.

2 教學實踐

2.1 溫故知新

（1）解一元一次方程x＋1＝0.

（2）畫一次函數(shù)y＝x＋1的圖象，并指出函數(shù)y＝x＋1的圖象與x軸有幾個交點.

（3）一元一次方程x＋1＝0與一次函數(shù)y＝x＋1有什么聯(lián)系？

設(shè)計意圖：讓學生通過對新知識的思考，梳理舊知識，起到承上啟下之效，同時，培養(yǎng)學生“一以貫之”的數(shù)學思維品質(zhì).從“數(shù)”的角度，方程的根是使函數(shù)值為0的自變量的值；從“形”的角度，方程的根是函數(shù)圖象與x軸公共點的橫坐標.仿照以往幾何推理的經(jīng)驗進行說理，促使學生理解函數(shù)和方程內(nèi)容中演繹推理的表征．

2.2 探索活動

活動1：畫出二次函數(shù)y＝x2－2x－3的圖象，解決下列問題.

（1）y＝x2－2x－3的圖象與x軸有公共點嗎？如果有，求出公共點的橫坐標.

（2）當x取問題（1）中公共點的橫坐標時，相應的函數(shù)值分別是什么？

（3）從關(guān)系式來看，二次函數(shù)y＝x2－2x－3成為一元二次方程x2－2x－3＝0的條件是什么？

（4）結(jié)合二次函數(shù)的圖象，直接說出x2－2x－3＝0的根.

設(shè)計意圖：從一個特例展開二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系的研究，讓學生感受研究的過程與前面所學知識的一致，并通過圖象進一步揭示函數(shù)與方程之間的關(guān)系.用幾何推理的經(jīng)驗、思維過程的說理，培養(yǎng)代數(shù)推理能力.

活動2：任意寫出一個二次函數(shù)，仿照剛才的研究自主探索該二次函數(shù)與其對應的一元二次方程的關(guān)系.

（1）結(jié)合多次分析，你能歸納出任意二次函數(shù)與其對應的一元二次方程的關(guān)系嗎？

（2）結(jié)合多次分析，你能歸納出二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系中起關(guān)鍵作用的要素嗎？

設(shè)計意圖：學生通過類比，進一步認識二次函數(shù)與對應的一元二次方程的關(guān)系，在“二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系”和“一元二次方程的根的情況”之間形成演繹推理關(guān)系，并在多個例子的基礎(chǔ)上，歸納（這是合情推理）得到一般性的結(jié)論.

注意引導學生感受代數(shù)推理的必要性和深刻性，并總結(jié)“活動2”，形成如圖1所示的板書.

2.3 例題教學

例題? 不畫圖象，判斷二次函數(shù)y＝－x2＋5x－8的圖象與x軸是否有公共點.

解：因為一元二次方程－x2＋5x－8＝0根的判別式

b2－4ac＝52－4×（－1）×（－8）＝－7＜0，

所以方程－x2＋5x－8＝0沒有實數(shù)根.

故二次函數(shù)y＝－x2＋5x－8的圖象與x軸沒有公共點.

設(shè)計意圖：進一步理解函數(shù)與方程互相轉(zhuǎn)化的思想，同時通過板書的展示感受推理的過程.

2.4 鞏固練習

（1）方程x2＋4x－5＝0的根是，則函數(shù)的圖象與x軸交點有個，其坐標是.

（2）下列函數(shù)的圖象中，與x軸沒有公共點的是（? ）.

A.y＝x2－x

B.y＝x2－2

C.y＝－x2＋6x－9

D.y＝x2－x＋2

（3）已知二次函數(shù)y＝x2－4x＋k＋2的圖象與x軸有公共點，求k的取值范圍.

設(shè)計意圖：通過鞏固練習加深學生對知識的理解，并根據(jù)反饋幫助學生理清思路，尋找解決問題的途徑，從而提高演繹推理能力．

2.5 課堂小結(jié)（略）

3 教學思考

3.1 建立“教學活動”與“代數(shù)推理”的關(guān)聯(lián)

通過數(shù)學活動，認識到二次函數(shù)和一元二次方程之間存在的關(guān)系.關(guān)注三個層面：一是從學生已有知識去構(gòu)建二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，在構(gòu)建聯(lián)系的過程中培養(yǎng)代數(shù)推理能力；二是從學生既有經(jīng)驗畫圖推理二次函數(shù)與一元二次方程的知識點；三是從課堂操作實踐推理歸納總結(jié)難點.在學習二次函數(shù)與方程時，強化點的坐標與方程的根的對應關(guān)系，幫助學生更好地直觀感受數(shù)形結(jié)合.

3.2 整體設(shè)計“例題示范”與“作業(yè)強化”

通過選擇合適的例題進行板書示范和設(shè)計有代表性的作業(yè)培養(yǎng)代數(shù)推理能力.例題教學中，筆者選擇多名學生演板，然后讓學生交流做法，優(yōu)化過程，糾正錯誤.學生在解決問題的過程中培養(yǎng)了代數(shù)推理能力，并且實實在在地感受到了用“數(shù)”的方法解決函數(shù)問題的優(yōu)越性.

3.3 “代數(shù)推理”與“幾何推理”相互轉(zhuǎn)換

本節(jié)課是搭建抽象概念與具象知識間的橋梁，學生在深入研究y＝ax2＋bx＋c的圖象與方程ax2＋bx＋c＝0的解后，借助表達式間的關(guān)系，構(gòu)建了二次函數(shù)和一元二次方程之間的關(guān)系，通過對函數(shù)和對應的方程的具體研究形成了對二次函數(shù)和一元二次方程的認識．

3.4 “合情推理”與“演繹推理”有機結(jié)合

本節(jié)課，二次函數(shù)與對應一元二次方程之間關(guān)系的建立是根據(jù)師生合作，畫出指定函數(shù)圖象，通過觀察、驗證對應一元次二方程推斷得出來的，而且把這個經(jīng)驗應用到所有的二次函數(shù)中，整個過程符合“合情推理”的特征.而利用二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系去解決具體問題是一般到特殊的過程，符合“演繹推理”的特征.本節(jié)課“合情推理”與“演繹推理”相互影響.在日常教學中，要多設(shè)計豐富的數(shù)學活動，培養(yǎng)學生的合情推理能力.在例題教學中，要強化規(guī)范、嚴謹，培養(yǎng)學生的演繹推理能力.在學習新知時，力求發(fā)展這兩種推理能力，這不僅是因為兩種推理方式是相輔相成的，而且有利于學生完整而嚴謹?shù)卣J識新知.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]錢德春.關(guān)于初中代數(shù)推理的理解與教學思考[J].中學數(shù)學教學參考，2020（11）：2-4.