［摘? 要］ 思維貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)整個(gè)過(guò)程，不論是教師的思維，還是學(xué)生的思維，對(duì)課堂的“意義建構(gòu)”都有著至關(guān)重要的影響. 文章以“基本不等式”的教學(xué)為例，具體從“情境創(chuàng)設(shè)，誘發(fā)思維”“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，激活思維”“實(shí)際應(yīng)用，提升思維”三方面，談一談基于“意義建構(gòu)”的數(shù)學(xué)課堂思維的引導(dǎo)措施.

［關(guān)鍵詞］ 意義建構(gòu)；思維；情境；應(yīng)用

布倫達(dá)·德?tīng)栁模˙renda Dervin）在1972年提出“意義建構(gòu)”理論，認(rèn)為知識(shí)由學(xué)習(xí)者主觀建構(gòu)而成. 該理論是在皮亞杰“認(rèn)知發(fā)展”理論的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)實(shí)踐與研究而來(lái)的，其中“同化”與“順應(yīng)”為認(rèn)知發(fā)展的主要過(guò)程，學(xué)習(xí)者的內(nèi)部行為與外部行為的共同作用促進(jìn)了意義建構(gòu). 如何在課堂中引導(dǎo)學(xué)生充分暴露思維過(guò)程，有效促進(jìn)意義建構(gòu)呢？本文以“基本不等式”的教學(xué)為例展開(kāi)分析，與同行交流.

情境創(chuàng)設(shè)，誘發(fā)思維

數(shù)學(xué)是思維的體操. 想要誘發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，教師就要站在學(xué)生的立場(chǎng)上，通過(guò)合適的情境激發(fā)學(xué)生的熱情，調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，讓學(xué)生主動(dòng)參與到知識(shí)的建構(gòu)中來(lái). 豐富的教學(xué)情境，能誘發(fā)學(xué)生的多向思維，促使學(xué)生從不同角度客觀認(rèn)識(shí)知識(shí). 在教學(xué)實(shí)踐中，良好的情境常能帶給學(xué)生較好的情感體驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行思考與探究，幫助學(xué)生更好地把握數(shù)學(xué)本質(zhì).

初學(xué)基本不等式，學(xué)生的思維仍停留在“式子”“大于”“小于”等基本知識(shí)層面，想讓學(xué)生立即認(rèn)識(shí)到基本不等式是一種新的知識(shí)模式，確實(shí)存在一定的難度. 為此，教師需要研究學(xué)生的思維起點(diǎn)與思維習(xí)慣，通過(guò)豐富的情境讓學(xué)生感知基本不等式與之前接觸的方程、函數(shù)等的區(qū)別. 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這是一種新的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，主要研究的是兩個(gè)變量所組成的代數(shù)式間的不等關(guān)系.

“兩個(gè)變量”“兩個(gè)代數(shù)式”“一個(gè)恒成立的不等關(guān)系”是基本不等式的特點(diǎn)，但學(xué)生對(duì)此是陌生的. 想要幫助學(xué)生突破思維定式的影響，需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)豐富的情境，在耐心等待中誘發(fā)學(xué)生的多向思維，促使學(xué)生多方位建構(gòu)新知.

情境1 如圖1所示，此為2002年在我國(guó)北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，該圖案是根據(jù)趙爽弦圖設(shè)計(jì)的，透過(guò)明暗色彩不難看出這是一個(gè)風(fēng)車圖案. 大家能從這幅精美的圖案中探尋出一些相等或不等的關(guān)系嗎？

學(xué)生分組合作學(xué)習(xí)，每組派一名代表匯報(bào)探究結(jié)果. 為了充分暴露學(xué)生的思維過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)意義建構(gòu)，筆者開(kāi)始點(diǎn)撥如下.

師：圖2為會(huì)標(biāo)的簡(jiǎn)圖，大家從中發(fā)現(xiàn)了哪些熟悉的幾何圖形？

生1：分別有大正方形ABCD、小正方形EFGH以及四個(gè)全等的直角三角形.

師：很好！既然我們發(fā)現(xiàn)了這些圖形，能否從這些圖形的面積著手，探尋出其中存在哪些相等與不等的關(guān)系呢？

生2：從圖中發(fā)現(xiàn)，大正方形ABCD的面積S=a2+b2，小正方形EFGH的面積S=（a-b）2，四個(gè)全等的直角三角形的面積和S=2ab，其中S>S，也就是a2+b2>2ab.

生3：若a=b，可將直角三角形理解成等腰直角三角形，小正方形EFGH縮成一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)S=S. 因此，S≥S，不等關(guān)系應(yīng)是a2+b2≥2ab.

將數(shù)學(xué)史作為情境素材，不僅能起到激發(fā)學(xué)生興趣、滲透數(shù)學(xué)文化的作用，還能發(fā)展學(xué)生的人文素養(yǎng). 通過(guò)適時(shí)點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生自主從背景豐富的圖案中探尋出面積間的數(shù)量關(guān)系，并抽象出不等關(guān)系. 該情境，成功地幫助學(xué)生從幾何與代數(shù)的角度認(rèn)識(shí)到了不等式.

情境2 如圖3所示，已知半圓的直徑為AB，點(diǎn)C位于圓周上，且CH⊥AB，H為垂足. 若AH=a，BH=b，為算術(shù)平均值，為幾何平均值.

師：說(shuō)一說(shuō)圖中的哪些線段可以代表a，b的算術(shù)平均值？

生4：線段AO，OB，OC都可以，它們都是圓的半徑.

師：很好，那么圖中哪些線段為a，b的幾何平均值呢？

生5：結(jié)合射影定理，不難發(fā)現(xiàn)CH==.

師：若想比較它們的大小，該如何處理呢？

生6：可過(guò)點(diǎn)O作AB的垂線，與半圓相交于點(diǎn)E，OE為半徑. 觀察圖形發(fā)現(xiàn)，半弦CH不大于半徑OE，即CH≤OE，所以≤，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)H與圓心O重合，也就是a=b時(shí)，半弦和半徑為相等的關(guān)系，此時(shí)可取等號(hào).

師：很好！有其他意見(jiàn)嗎？

生7：若從Rt△CHO著手分析，或許更直觀也更容易理解CH≤OC.

師：非常好！從“幾何意義”的角度出發(fā)，咱們又獲得了一個(gè)不等式≥，這個(gè)不等式中的a，b的取值范圍有什么規(guī)律嗎？

生8：有，a>0且b>0.

生9：不對(duì)，應(yīng)該是a≥0，b≥0. 若a，b均為負(fù)數(shù)或一正一負(fù)，則該不等式不成立.

師：非常好！但咱們現(xiàn)在只研究該不等式成立的條件a>0，b>0.

該情境從學(xué)生熟悉的幾何圖形出發(fā)，讓學(xué)生從圖形中自主探索出基本不等式. 這種方式不僅鍛煉了學(xué)生的觀察能力與思考能力，還讓學(xué)生切身體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，同時(shí)深化了學(xué)生對(duì)基本不等式的認(rèn)識(shí)，為接下來(lái)的教學(xué)奠定了基礎(chǔ).

利用趙爽弦圖引出不等式，借助幾何圖形讓學(xué)生自主抽象出不等式，學(xué)生在兩個(gè)情境的啟發(fā)下，不僅發(fā)展了數(shù)形結(jié)合思想，還初步獲得了用幾何法證明不等式的能力.

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，激活思維

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟. 在教學(xué)中，不斷涌現(xiàn)的問(wèn)題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的生命力. 問(wèn)題分為外顯的知識(shí)性問(wèn)題與內(nèi)隱的經(jīng)驗(yàn)生成性問(wèn)題. 外顯的知識(shí)性問(wèn)題是單純的教學(xué)知識(shí)問(wèn)題化，而內(nèi)隱的經(jīng)驗(yàn)生成性問(wèn)題則是數(shù)學(xué)問(wèn)題意義化、形式化. 一般情況下，問(wèn)題能將知識(shí)間的邏輯關(guān)系暴露出來(lái)，讓學(xué)生的思維沿著問(wèn)題的深化螺旋式上升.

實(shí)踐證明，在數(shù)學(xué)概念、規(guī)律等的教學(xué)中，教師不能滿足于演繹問(wèn)題或形式地呈現(xiàn)問(wèn)題，而應(yīng)將數(shù)學(xué)本質(zhì)展露出來(lái)，讓學(xué)生在問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下提出更好的新問(wèn)題. 同時(shí)，課堂問(wèn)題應(yīng)具備啟發(fā)性、探索性、開(kāi)放性與推廣性等特征，遵循“少而精”的原則，如此才能讓學(xué)生擁有充足的時(shí)間進(jìn)行分析與思考.

師：通過(guò)剛才對(duì)兩個(gè)情境的分析，大家經(jīng)歷了不等式形成的過(guò)程，其實(shí)該過(guò)程實(shí)則為不等式的證明方法. 大家還有其他證明方法嗎？

生10：-==（-）2≥0，即≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

師：很好，這就是證明基本不等式的方法之一——作差法. 還有其他方法嗎？

生11：根據(jù)a>0，b>0的條件，要證明≥，即證明a+b≥2，也就是證明a+b-2≥0，即證明（-）2≥0. 我們知道（-）2≥0恒成立，所以≥成立.

師：非常好！這種方法以結(jié)論為起點(diǎn)，通過(guò)推導(dǎo)到已知條件而完成證明，這也是證明基本不等式的方法之一——分析法. 值得注意的是，書(shū)寫(xiě)“要證明”“即證明”“?”等文字或符號(hào)時(shí)，要保證每一個(gè)步驟都具有可逆性.

生12：能否將生11的證明方法反過(guò)來(lái)？如對(duì)正數(shù)a，b，因?yàn)椋?）2≥0，所以a+b-2≥0，即a+b≥2，因此≥.

師：這也是基本不等式的證明方法的一種——綜合法. 即以已知條件或結(jié)論為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)“由因索果”的方法獲得結(jié)論. 還有其他方法嗎？

生13：因?yàn)閍2+b2≥2ab，所以a2+2ab+b2≥4ab，也就是（a+b）2≥4ab. 由于a>0，b>0，因此可將（a+b）2≥4ab的兩側(cè)同時(shí)開(kāi)方，得a+b≥2，也就是≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

師：這里應(yīng)用到了“當(dāng)且僅當(dāng)”這個(gè)說(shuō)法，為什么會(huì)這么說(shuō)？

生14：為了表示兩者相等的關(guān)系，“當(dāng)且僅當(dāng)”可從以下兩個(gè)方面進(jìn)行理解. 一方面，當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，也就是a=b?=；另一方面，僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，也就是=?a=b.

師：對(duì)于“≥（a>0，b>0），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)”，大家是怎么理解的？

生15：可以理解為兩個(gè)正數(shù)的和與積之間的不等關(guān)系.

生16：可以理解為兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)必然不大于它們的算術(shù)平均數(shù).

生17：還可以從數(shù)列的角度來(lái)理解，即將視為正數(shù)a，b的等差中項(xiàng)，將視為正數(shù)a，b的等比中項(xiàng)，則基本不等式可作如下描述：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)必然不小于它們的等比中項(xiàng).

師：非常好！大家從不同角度對(duì)基本不等式進(jìn)行了理解與總結(jié)，今后若遇到涉及兩個(gè)正數(shù)的和與積的問(wèn)題，可嘗試從基本不等式的角度來(lái)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.

“還有其他證明方法嗎？”這是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，為學(xué)生思考提供了充裕的空間. 在此環(huán)節(jié)中，通過(guò)言簡(jiǎn)意賅的問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)與提煉，讓學(xué)生自主探索出幾種常用于證明基本不等式的方法（作差法、分析法、綜合法）. 每一種方法都由學(xué)生自主領(lǐng)略而來(lái)，讓學(xué)生從真正意義上實(shí)現(xiàn)了基本不等式的意義建構(gòu)，也充分揭示了知識(shí)的本質(zhì).

其中，生11的逆向思維令筆者驚嘆，該生能自主轉(zhuǎn)化思維方式，出其不意地從結(jié)論出發(fā)，為證明帶來(lái)新的突破. 由此可見(jiàn)，只要給予學(xué)生充足的時(shí)間與空間，學(xué)生就能給我們帶來(lái)驚喜. “執(zhí)果索因”的方法，不僅給所有學(xué)生都帶來(lái)了啟示，還從一定意義上突破了學(xué)生原有的認(rèn)知. 同時(shí)，筆者規(guī)范了書(shū)寫(xiě)要求，為培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣奠定了基礎(chǔ).

實(shí)際應(yīng)用，提升思維

數(shù)學(xué)結(jié)論為實(shí)際應(yīng)用服務(wù)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重在辨別、模仿與創(chuàng)新. 基本不等式的幾種證明方法，不僅開(kāi)闊了學(xué)生的視野，還為接下來(lái)的實(shí)際應(yīng)用夯實(shí)了知識(shí)基礎(chǔ).

例題：若a，b均為正數(shù)，求證（1）+≥2；（2）a+≥2.

生18：（1）+=，因?yàn)椋╝-b）2≥0，所以a2+b2≥2ab. 又a>0，b>0，所以≥2，也就是+≥2.

（2）a+=，因?yàn)椋╝-1）2≥0，所以a2+1≥2a. 又a>0，所以≥2，也就是a+≥2.

師（未置可否）：有沒(méi)有其他解題方法？

生19：（1）a2+b2≥2ab，因?yàn)閍>0，b>0，所以≥2，也就是+≥2.

（2）a+-2=，因?yàn)閍>0，所以≥0，也就是a+-2≥0，所以a+≥2.

師：還有其他意見(jiàn)嗎？

生20：若直接用基本不等式證明更簡(jiǎn)單.

（1）因?yàn)閍>0，b>0，所以+≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)=，也就是a=b時(shí)取等號(hào).

（2）由于a>0，故a+≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=，也就是a=1時(shí)取等號(hào).

三位學(xué)生分別從綜合法、重要不等式與基本不等式三個(gè)角度來(lái)分析并解決問(wèn)題. 雖然用基本不等式解決此題更簡(jiǎn)潔，但由于是新知，因此學(xué)生應(yīng)用時(shí)并不十分流暢. 為了增加學(xué)生的熟練度，筆者應(yīng)用變式題誘導(dǎo)學(xué)生思考，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

變式題：求函數(shù)f（x）=+x的值域.

生21：f（x）=+x≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=，也就是x=1時(shí)取等號(hào)，因此函數(shù)f（x）=+x的值域是［2，+∞）.

生22：不對(duì)，題設(shè)條件并沒(méi)有明確指出x>0，我們應(yīng)該將x<0的情況考慮進(jìn)去.

師：非常好！考慮得很周全，也就是說(shuō)要對(duì)x進(jìn)行分類討論，誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)x<0時(shí)該怎么處理呢？

生23：當(dāng)x<0時(shí)，則-x>0，-f（x）=-x≥2=2，因此f（x）≤ -2，當(dāng)且僅當(dāng)-x=-，也就是x=-1時(shí)取等號(hào). 綜上分析，函數(shù)f（x）=+x的值域?yàn)椋?∞，-2］∪［2，+∞）.

生24：函數(shù)f（x）=+x屬于對(duì)勾函數(shù)，通過(guò)作圖，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，也可獲得該函數(shù)的值域.

變式題的應(yīng)用不僅深化了學(xué)生對(duì)基本不等式的理解，還強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)“一正二定三相等”的認(rèn)識(shí)，將基本不等式和函數(shù)最值問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，從真正意義上實(shí)現(xiàn)了知識(shí)建構(gòu).

蘇霍姆林斯基認(rèn)為，每個(gè)人都希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者. 學(xué)生對(duì)知識(shí)的探索欲與生俱來(lái)，關(guān)鍵是教師如何利用好學(xué)生的這種心理. 涂榮豹先生認(rèn)為，在教學(xué)中，教師要注重啟發(fā)式的提問(wèn)，盡可能多采用一些元認(rèn)知問(wèn)題，少采用一些認(rèn)知性問(wèn)題，讓學(xué)生在開(kāi)放性的狀態(tài)下應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力.

總之，情境創(chuàng)設(shè)、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)與實(shí)際應(yīng)用是引導(dǎo)學(xué)生充分暴露思維過(guò)程，促進(jìn)知識(shí)意義建構(gòu)的重要途徑. 作為教師，應(yīng)想盡一切辦法了解學(xué)生的思維，提煉學(xué)生的思維，尤其將數(shù)學(xué)思想方法巧妙地融入教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生自主感悟、體會(huì)知識(shí)的意義建構(gòu)，從真正意義上發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

作者簡(jiǎn)介：蒯龍（1981—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.