［摘? 要］ 在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要為學(xué)生提供機(jī)會(huì)參與課堂，在參與的過程中通過觀察、分析、對(duì)比、聯(lián)想、反思、總結(jié)等學(xué)習(xí)活動(dòng)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)、掌握解題方法、積累解題經(jīng)驗(yàn)，以此發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高自主學(xué)習(xí)能力，提升高三復(fù)習(xí)效率.

［關(guān)鍵詞］ 復(fù)習(xí)教學(xué)；解題經(jīng)驗(yàn)；復(fù)習(xí)效率

在高三復(fù)習(xí)課堂中，部分教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單的知識(shí)梳理后，就將學(xué)生帶入“題?！?，以期借助“題?！睂?shí)現(xiàn)知識(shí)的鞏固和強(qiáng)化，提升解題技能，提高解題效率. 但機(jī)械重復(fù)的練習(xí)不僅不能幫助學(xué)生積累豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，而且容易造成學(xué)生心理負(fù)擔(dān)，影響復(fù)習(xí)效率. 為了改變這一現(xiàn)狀，在習(xí)題的設(shè)計(jì)上應(yīng)該做到精挑細(xì)選，不貪多，不求快，充分發(fā)揮例題、習(xí)題的引導(dǎo)作用，通過其推廣應(yīng)用來拓展學(xué)生的思路，讓學(xué)生掌握和理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，以此提升復(fù)習(xí)有效性［1］. 筆者教學(xué)“空間幾何體的體積”時(shí)，為了更好地發(fā)展學(xué)生，讓學(xué)生獲得解題經(jīng)驗(yàn)，做了一些嘗試，取得了一點(diǎn)效果，現(xiàn)分享給大家，以期共鑒.

教學(xué)分析

1. 內(nèi)容分析

求幾何體的體積涉及空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，空間角和距離的數(shù)量關(guān)系等相關(guān)內(nèi)容，其綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)綜合運(yùn)用能力的要求較高，是公認(rèn)的教學(xué)難點(diǎn)，同時(shí)也是高考的熱門考點(diǎn).

2. 學(xué)情分析

本節(jié)課內(nèi)容在新知教學(xué)時(shí)重點(diǎn)講解過，并進(jìn)行過強(qiáng)化訓(xùn)練，因此學(xué)生具有一定的解題經(jīng)驗(yàn)和自主學(xué)習(xí)能力，以上知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法、能力為實(shí)現(xiàn)“生本”高效課堂提供了智力支持和精神動(dòng)力.

3. 教學(xué)目標(biāo)

（1）通過復(fù)習(xí)求幾何體體積的計(jì)算公式，幫助學(xué)生理解空間幾何體體積公式中各個(gè)量之間的內(nèi)在關(guān)系，幫助學(xué)生建構(gòu)完善的認(rèn)知體系.

（2）幫助學(xué)生理解并掌握求空間幾何體體積常用的方法.

（3）培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，增強(qiáng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化和化歸意識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4. 教學(xué)重點(diǎn)

幾何體體積的計(jì)算.

5. 教學(xué)難點(diǎn)

確定幾何體的高.

教學(xué)實(shí)錄

1. 知識(shí)梳理

根據(jù)導(dǎo)學(xué)案要求，學(xué)生獨(dú)立完成表1.

師：課前讓大家填寫表格，大家都填好了嗎？

生齊聲答：填好了. （筆者點(diǎn)名讓學(xué)生回答，并投影展示）

師：仔細(xì)觀察這些公式，它們之間有什么聯(lián)系？（學(xué)生不語）

師：結(jié)合圖1，說一說你有什么發(fā)現(xiàn). （學(xué)生積極討論）

生1：對(duì)于棱臺(tái)，若上底面逐漸擴(kuò)大，當(dāng)上底面和下底面全等時(shí)，則棱臺(tái)就變成了棱柱；反之，若上底面逐漸縮小，當(dāng)縮成一個(gè)點(diǎn)時(shí)，則棱臺(tái)就變成了棱錐. 圓臺(tái)、圓柱、圓錐的變化規(guī)律與之相同.

師：說得很好，現(xiàn)在誰來說一說，這些公式有什么聯(lián)系？（學(xué)生躍躍欲試）

生2：對(duì)于臺(tái)體的體積公式，當(dāng)S=S時(shí)，可得柱體的體積公式；當(dāng)S=0時(shí)，可得錐體的體積公式.

設(shè)計(jì)意圖 課前通過表格回顧舊知，喚醒學(xué)生的記憶. 課上引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合幾何示意圖觀察柱體、臺(tái)體和錐體之間的內(nèi)在關(guān)系，以便學(xué)生理解和記憶. 同時(shí)，借助幾何示意圖提高學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，為接下來的解題活動(dòng)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2. 例題精講

在復(fù)習(xí)教學(xué)中，為了更好地將知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)融合在一起，例題、習(xí)題教學(xué)必不可少. 不過教師選擇例題、習(xí)題時(shí)切勿貪多、貪新、貪難，應(yīng)依據(jù)實(shí)際情況和教學(xué)目標(biāo)合理安排，要確保其具有一定的針對(duì)性和目的性，盡量做到一題一得，讓每一個(gè)學(xué)生都能獲得不同程度的提升［2］.

（1）自然引出“公式法”.

問題1 將一個(gè)長(zhǎng)為4、寬為2的矩形卷成一個(gè)圓柱，求該圓柱的體積.

師：大家可以選擇合適的素材，如書、草稿紙等矩形卷一卷，該如何卷，體積如何算？

問題給出后，學(xué)生積極操作，很快給出了答案.

生1：以4為圓柱的底面周長(zhǎng)，此時(shí)圓柱的底面圓的半徑為，圓柱的高為2. 根據(jù)圓柱的體積公式，可得該圓柱的體積V=πr2h=.

師：很好，和你們的結(jié)果一致嗎？

生2：這個(gè)結(jié)果沒有問題，但是回答得不夠全面，還有另外一種情形.

師：哦，還有一個(gè)情形？它的體積是多少？

生2：以2為圓柱的底面周長(zhǎng)，此時(shí)圓柱的底面圓的半徑為，圓柱的高為4，則V=πr2h=.

師：還有補(bǔ)充嗎？（學(xué)生搖頭表示沒有補(bǔ)充）

師：很好，通過動(dòng)手操作我們發(fā)現(xiàn)了圓柱的兩種不同形狀，并利用圓柱的體積公式直接求出了其體積.

師：若為以上求體積的方法起個(gè)名字，你們感覺應(yīng)該叫什么？

生齊聲答：公式法. （筆者板書）

練習(xí)1 圖2是一個(gè)六角螺帽，它由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱構(gòu)成. 已知正六棱柱的正六邊形底面邊長(zhǎng)為2 cm，高為2 cm，內(nèi)孔半徑為0.5 cm，則六角螺帽的體積是____cm3.

題目解析 本題主要考查學(xué)生利用“公式法”求柱體的體積. 正六棱柱的體積V=6××2×2×sin60°×2=12（cm3），圓柱的體積V=π×0.52×2=（cm3），兩者相減即可得六角螺帽的體積.

設(shè)計(jì)意圖 通過具體操作，提煉解題方法，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)“公式法”的理解.

此環(huán)節(jié)主要以學(xué)生自主探究為主，讓學(xué)生通過具體操作體驗(yàn)解題過程，提煉解題方法. “公式法”起點(diǎn)低，易于學(xué)生理解和接受，可充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與探究的積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，為接下來進(jìn)一步探究創(chuàng)造條件.

（2）合作探究“等體積法”.

問題2 如圖3所示，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，四邊形ABCD為矩形，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，EC與平面ABCD所成的角為30°，求三棱錐F-CDE的體積.

問題2的難度略有提升，不能用“公式法”直接求解，需要學(xué)生另尋他法. 問題2給出后，筆者預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立思考，接下來通過互動(dòng)交流逐漸引出“等體積法”.

師：誰來說一說，解題時(shí)你遇到了哪些問題？

生3：求三棱錐F-CDE的體積需要知道它的底面積和高，△CDE的面積易求，但是點(diǎn)F到平面CDE的距離怎么求呢？

生4：開始我和生3的想法一樣，也想直接利用“公式法”求解，遇到了同樣的困惑. 但仔細(xì)分析后發(fā)現(xiàn)，三棱錐F-CDE與三棱錐E-CDF是同一個(gè)三棱錐，這樣可以將求三棱錐F-CDE的體積轉(zhuǎn)化為求三棱錐E-CDF的體積. 又△CDF的面積為a2，這樣只要求出點(diǎn)E到平面CDF的距離即可. 由已知條件“平面ADE⊥平面ABCD”，取AD的中點(diǎn)H，連接EH，EH就是點(diǎn)E到平面CDF的距離（可證）. 根據(jù)已知條件易求EH=a，故V=V=·EH·S=a3.

師：很好！生4將不易于求高的三棱錐轉(zhuǎn)化為易于求高的三棱錐，問題便迎刃而解. 若為這一方法命名，你們覺得叫什么比較合適呢？

生5：等體積法. （筆者板書）

師：若將“三棱錐”改為“四棱錐”“五棱錐”，這種方法是否依然適用呢？（學(xué)生陷入沉思）

生6：不行，對(duì)于其他棱錐，若將頂點(diǎn)換掉，則其他頂點(diǎn)不共面.

師：很好，分析得很到位，看來“等體積法”在錐體體積計(jì)算中只適合三棱錐. （筆者在板書“等體積法”后加上條件：適合三棱錐）

師：思考一下，點(diǎn)F到平面CDE的距離是否可求呢？

生7：可以，可根據(jù)“等體積法”求解.因?yàn)閂=V（已求），這樣只要求出△CDE的面積，即可求出點(diǎn)F到平面CDE的距離.

師：很好，這樣通過“等體積法”不僅能求出三棱錐的體積，還能求出點(diǎn)到平面的距離，可見這是求點(diǎn)到平面的距離的重要方法之一.

設(shè)計(jì)意圖 通過精選例題，創(chuàng)設(shè)障礙，誘發(fā)學(xué)生探索不同的解題路徑，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和變通性. 學(xué)生順利求解后，筆者繼續(xù)追問，誘發(fā)其深度思考，總結(jié)歸納出“等體積法”的適用范圍，并通過問題推廣讓他們發(fā)現(xiàn)求點(diǎn)到平面的距離的重要方法，發(fā)揮了問題的最大功效.

練習(xí)2 如圖4所示，已知正方體ABCD-ABCD的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AA和CC的中點(diǎn)，求四棱錐A-EBFD的體積.

題目解析 EB=BF=FD=DE=a，連接EF，則△EFB≌△EFD. 由于三棱錐A-EFB與三棱錐A-EFD等底同高，因此V=2V=2V. 這樣只要求出三棱錐F-EBA的體積，問題便可迎刃而解.

設(shè)計(jì)意圖 在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)多一些引導(dǎo)，少一些灌輸，多為學(xué)生創(chuàng)造一些時(shí)間和空間去交流、去發(fā)現(xiàn)，以此激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索的熱情. 對(duì)于問題2，大多數(shù)學(xué)生從“公式法”出發(fā)，但在求點(diǎn)到平面的距離時(shí)受阻，這樣通過“障礙”點(diǎn)燃了學(xué)生探究的熱情，使學(xué)生得到了求體積的另一種方法——“等體積法”. 接下來通過追問，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“等體積法”的理解，讓學(xué)生明晰該方法的適用條件，有效避免解題時(shí)盲目套用方法所帶來的錯(cuò)解風(fēng)險(xiǎn)，最終培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.

（3）自主探索“補(bǔ)形法”.

問題3 在三棱錐A-BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，且長(zhǎng)度分別為1，，2，則三棱錐A-BCD的外接球的體積為________.

生8：由于三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，將三棱錐補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，則三棱錐的外接球與長(zhǎng)方體的外接球相同，這樣問題就轉(zhuǎn)化成了求長(zhǎng)方體的外接球的體積. 而長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為球的直徑，于是有（2r）2=12+（）2+22=8，故r=. 根據(jù)球的體積公式，易得V=π.

師：非常好. 根據(jù)已知條件將三棱錐轉(zhuǎn)化為易于求解的長(zhǎng)方體，通過化歸與轉(zhuǎn)化，輕松地解決了問題. 這個(gè)方法叫什么呢？

生齊聲答：補(bǔ)形法. （筆者板書）

練習(xí)3 在三棱錐A-BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為，，，則三棱錐A-BCD的外接球的體積為________.

題目解析 將三棱錐A-BCD補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，設(shè)長(zhǎng)方體的三邊為a，b，c，由題意得ab=，ac=，bc=，解得a=，b=，c=1，故外接球的直徑為=，因此三棱錐A-BCD的外接球的體積為π.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生理解“補(bǔ)形法”，并熟練應(yīng)用“補(bǔ)形法”解決問題. 同時(shí)，借助“補(bǔ)形法”培養(yǎng)學(xué)生的空間意識(shí)，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

（4）交流探討“分割法”.

問題4 如圖5所示，已知三棱錐P-ABC中，棱長(zhǎng)AC為6，其余棱長(zhǎng)均為5，求三棱錐P-ABC的體積.

有了前面的解題經(jīng)驗(yàn)，在此環(huán)節(jié)中，筆者組織學(xué)生交流討論，共同探尋解題方法.

師：誰來分享一下解題過程？

生9：如圖5所示，因?yàn)镻A=PB=PC=5，所以頂點(diǎn)P在底面的射影為△ABC的外心，設(shè)其外心為O，則PO為三棱錐P-ABC的高. 在等腰三角形ABC中，其外心O在AC的中垂線上，且點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部. 設(shè)OA=r，則r2=32+（4-r）2，解得r=. 所以O(shè)P==，故V=·S△ABC·PO=×12×=.

師：很好，利用“公式法”解決了問題，思路清晰、嚴(yán)密. 除了“公式法”外，你還有沒有其他發(fā)現(xiàn)呢？

生9：可以通過拆分三棱錐P-ABC求其體積.

師：具體說一說.

生9：取AC的中點(diǎn)D，因?yàn)椤鱌AC和△ABC都是等腰三角形，易得AC⊥平面PBD，則截面PBD將三棱錐P-ABC分成了兩個(gè)共底的三棱錐，分別為三棱錐A-PBD和三棱錐C-PBD. 于是V=V+V=·AD·S+·CD·S=×6×S=2S. 又PB=5，BD=PD=4，所以S=. 所以V=.

師：非常好，通過分割優(yōu)化了解題過程，提高了解題效率.

師：對(duì)于這種方法該如何稱呼呢？

生10：分割法. （筆者板書）

設(shè)計(jì)意圖 通過對(duì)比交流讓學(xué)生知道恰當(dāng)?shù)摹胺指睢笨梢院?jiǎn)化運(yùn)算過程，提升解題效率. 同時(shí)，通過多解發(fā)散學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的靈活應(yīng)變能力.

3. 課堂小結(jié)

師：今天我們重點(diǎn)研究了什么？你有什么收獲？

生11：重點(diǎn)研究了多面體的體積計(jì)算.

生12：復(fù)習(xí)了四種重要的體積計(jì)算方法.

……

師：很好，其實(shí)解題方法是靈活多變的，解題時(shí)我們要根據(jù)已知條件合理選擇方法，靈活轉(zhuǎn)化，從而提高解題效率.

設(shè)計(jì)意圖 通過知識(shí)梳理，幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固知識(shí)和方法，以及建構(gòu)完善的認(rèn)知體系.

教學(xué)思考

在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，部分教師將主要精力放在知識(shí)重現(xiàn)和解題技巧的講授上，忽視了學(xué)生數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)的積累. 為了“求多”“求快”，這部分教師只關(guān)注“如何教”，忽視了“如何學(xué)”，從而限制了學(xué)生發(fā)展，影響了復(fù)習(xí). 在本節(jié)課的教學(xué)中，為了更好地發(fā)展學(xué)生，提高復(fù)習(xí)教學(xué)的有效性，筆者做了如下嘗試：

首先，為學(xué)生提供了參與課堂的機(jī)會(huì). 在本節(jié)課的教學(xué)中，無論是基礎(chǔ)知識(shí)梳理，還是問題精講，抑或是課堂小結(jié)，都是先由學(xué)生獨(dú)立思考，再進(jìn)行溝通交流，讓學(xué)生正確認(rèn)識(shí)和理解知識(shí)，發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)系，總結(jié)規(guī)律，形成方法.

其次，幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn). 在解題教學(xué)中，筆者堅(jiān)持“以生為本”，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、對(duì)比、討論、歸納、反思等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)知識(shí)與問題、結(jié)論之間的聯(lián)系，利用已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)探索解決問題的方法，發(fā)現(xiàn)解決問題的一般策略. 在教學(xué)中，筆者鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用不同方法求解，以此拓寬學(xué)生的解題視野，豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn).

最后，關(guān)注教學(xué)實(shí)效. 在教學(xué)中，筆者“不貪多”“不求快”，充分挖掘問題的拓展功能，力求讓學(xué)生每解一個(gè)問題都有不同的收獲，有效避免簡(jiǎn)單重復(fù)所帶來的枯燥感，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心.

總之，在教學(xué)中，教師要精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，及時(shí)組織學(xué)生總結(jié)和反思，通過有效反思、回顧、頓悟，認(rèn)清數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提煉解決問題的方法，以此提升解題效率.

參考文獻(xiàn)：

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［2］ 曾榮. “微專題”復(fù)習(xí)：促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的有效方式［J］. 教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2016（04）：28-34.

作者簡(jiǎn)介：呂永玉（1987—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.