史偉琴

【摘 要】數(shù)學(xué)本質(zhì)是指從數(shù)學(xué)學(xué)科的視角研究數(shù)學(xué)知識究竟是什么，包括數(shù)學(xué)知識的來源、發(fā)展以及運用。基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)設(shè)計，是正確實施數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的前提。文章從整體視角分析，厘清本質(zhì)；創(chuàng)設(shè)問題情境，直逼本質(zhì)；經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程，形成本質(zhì)；感悟數(shù)學(xué)思想，強化本質(zhì)幾個方面闡述基于數(shù)學(xué)本質(zhì)進行幾何概念教學(xué)設(shè)計。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)本質(zhì) 幾何概念 教學(xué)路徑 教學(xué)設(shè)計

數(shù)學(xué)本質(zhì)是指從數(shù)學(xué)學(xué)科的視角研究數(shù)學(xué)知識，包括數(shù)學(xué)知識的來源、發(fā)展以及運用?；跀?shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)設(shè)計，是有效實施數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的前提。幾何概念能反映幾何圖形的本質(zhì)屬性，經(jīng)歷了從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的抽象過程。那么，如何凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，進行幾何概念教學(xué)設(shè)計呢？可以從以下幾方面展開。

一、整體視角分析，厘清本質(zhì)

整體的視角意味著要從多角度分析數(shù)學(xué)知識，而不是單一地、孤立地看待數(shù)學(xué)知識。數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)并不等同于數(shù)學(xué)教材中的描述與說明。數(shù)學(xué)教材往往要考慮學(xué)生的接受能力，有時會舍去一些嚴(yán)謹(jǐn)性而規(guī)范性的表達。同時，數(shù)學(xué)教材由于篇幅的限制不可能充分展開，只能摘其要點，不會對“是什么”“為什么”“怎么用”等進行完整的敘述。

例如，圓的本質(zhì)是什么，可以從數(shù)學(xué)教材中圓的概念部分去解讀。在數(shù)學(xué)教材中，對于“圓”的定義主要采用的是描述性的定義，通過圓的要素半徑和直徑的特征來幫助學(xué)生了解圓這種圖形。中學(xué)階段圓基本上給出的是幾何定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形，其中定點和定長分別為該圓的圓心和半徑。當(dāng)然，圓還有其他兩種定義說法：一種是軌跡說，另一種是集合說。從幾種不同的定義方式，我們能發(fā)現(xiàn)小學(xué)階段的圓的定義采用的是靜態(tài)定義方式，比較直觀，利于形成圓的表象；而初中階段針對圓的定義采用的是動態(tài)定義的方式，在運動過程中體現(xiàn)出圓的本質(zhì)特征，即到定點距離一定的所有點運動形成的曲線圖形。

圓的本質(zhì)是什么，還可以通過數(shù)學(xué)史去梳理。中國歷史上最早提出圓的概念的是墨子。早在2000年前，《墨經(jīng)》中就記載了“圓，一中同長也”。

從整體的視角分析意味著要弄清知識的來源、發(fā)展與應(yīng)用，教師可以從數(shù)學(xué)概念定義本身出發(fā)，厘清不同定義的區(qū)別和聯(lián)系，把握數(shù)學(xué)知識的基本內(nèi)涵；也可以從數(shù)學(xué)知識的發(fā)展脈絡(luò)出發(fā)，梳理不同歷史階段人們對數(shù)學(xué)知識的理解，弄清知識的來龍去脈，從而深刻把握知識的本質(zhì)。

二、創(chuàng)設(shè)問題情境，直逼本質(zhì)

把握了知識的本質(zhì)，接下來要思考怎樣把知識的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)為可為學(xué)生可接受的教育形態(tài)。知識的教育形態(tài)是指將知識融入適當(dāng)?shù)膯栴}情境中，讓學(xué)生基于情境進行學(xué)習(xí)。這種問題情境往往基于學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，蘊含著數(shù)學(xué)知識的原型，同時又帶有一定的問題意識，可以激發(fā)學(xué)生強烈的探究欲，引發(fā)認(rèn)知沖突。

如在蘇教版數(shù)學(xué)五年級“圓的認(rèn)識”一課的教學(xué)設(shè)計中，為了凸顯圓的動態(tài)定義這一核心知識，筆者創(chuàng)設(shè)了一個具有探究性的問題情境：同學(xué)們將要進行一個游戲活動——套圈。至少3個同學(xué)做套圈游戲，怎樣站立才公平？套圈的位置可以用一個圓點表示，玩家的人數(shù)可以是3人、4人，甚至更多的人。明白了嗎？出示學(xué)習(xí)單（如圖1），學(xué)生自主思考。

在“套圈游戲”的情境中，蘊含著一個問題：怎樣站才公平。這一情境的創(chuàng)設(shè)從套圈游戲到怎樣站才公平，有意識地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題。“怎樣站才公平”這一問題助推學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)活動，積極探索新知。學(xué)生在自主探究過程中形成的活動經(jīng)驗也是進一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。由此，學(xué)習(xí)不斷深入，直至問題解決。在解決問題的過程中，學(xué)生能感悟到圓的本質(zhì)，即到定點距離定長的點的集合，從而進一步理解“圓，一中同長也”。合理的問題情境不僅可以凸顯數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，還要設(shè)法讓學(xué)生“卷入”探究過程中。

三、經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程，形成本質(zhì)

弗賴登塔爾認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一種“數(shù)學(xué)化”的過程。數(shù)學(xué)化就是數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實世界的過程。這里的“數(shù)學(xué)化”過程不能僅僅依靠教師的灌輸，更重要的是學(xué)生自我的建構(gòu)，讓學(xué)生嘗試用自己的方式表達對數(shù)學(xué)的理解，建立數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。在此基礎(chǔ)上，不同思維層次的學(xué)生通過互動交流，不斷糾錯，不斷完善，才能實現(xiàn)感性經(jīng)驗向理性知識的躍升，完成感性經(jīng)驗向數(shù)學(xué)知識的轉(zhuǎn)化。

如在教學(xué)“圓的認(rèn)識”一課時，教師創(chuàng)設(shè)了“套圈游戲”的問題情境后，組織學(xué)生交流匯報。

【教學(xué)片段】

學(xué)生交流后，匯總出了5種不同的方法。

方法1：排成一條直線的。

方法2：排成長方形，人放在頂點。

方法3：擺成正方形，人的位置放在頂點和每條邊的中點。

方法4：擺成正三角形、正多邊形的，人放在頂點。

方法5：放在一段弧上的。

師：同學(xué)們真愛動腦筋，想出了這么多方案。這些方案有什么共同點？看來只要點到中心點的距離相等就可以。

師：如果兩個人之間的距離相等，就會形成正三角形；如果四個人呢？人越來越多，會形成什么樣的圖形？

師：結(jié)合剛才的研究，閉上眼睛想象，你認(rèn)為圓是一個什么樣的圖形？

生：到中心一樣長的無數(shù)點就形成一個圓。

本節(jié)課中出現(xiàn)了比較有代表性的3個學(xué)生的作品。1號作品（如圖2），學(xué)生通過測量或根據(jù)已有的知識“點到直線的所有線段中，垂直線段最短”，能夠發(fā)現(xiàn)這一設(shè)計是存在缺陷的，由于每個人到套圈位置的長度不同，游戲是不公平的；2號作品（如圖3），通過精準(zhǔn)的測量，展示每個人到套圈位置的距離要相等；3號作品（如圖4），在測量的基礎(chǔ)上，又進一步發(fā)揮自身的想象，把可能的點的位置描了出來。不同作品體現(xiàn)出學(xué)生不同的思維特點，通過課堂中的交流辨析，學(xué)生都能領(lǐng)悟到“圓，一中同長”這一本質(zhì)特征。

在此基礎(chǔ)上，多數(shù)學(xué)生已經(jīng)感受到這些點的集合會形成一個圓形。此時，教師設(shè)計想象無數(shù)點匯集成圓這一環(huán)節(jié)。圓，作為一個抽象的數(shù)學(xué)圖形，在生活中雖然隨處可見其實物模型，但這些都不是真正數(shù)學(xué)意義上的圓。數(shù)學(xué)意義上的圓是沒有瑕疵的，沒有直線的，這些特質(zhì)只能付諸學(xué)生的自我想象。這一環(huán)節(jié)中想象圓的形成過程是不可缺少的部分，突破圓的實物模型束縛，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)中的圓的本質(zhì)。

四、感悟數(shù)學(xué)思想，強化本質(zhì)

從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)，不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，還要深入分析數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)可以分成不同的知識板塊，知識之間有著聯(lián)系和區(qū)別。如果將數(shù)學(xué)知識比喻成散落的珍珠，那么數(shù)學(xué)思想就是將這些珍珠串聯(lián)起來的金線。解釋和分析現(xiàn)實世界的數(shù)學(xué)知識會不斷地更新，但數(shù)學(xué)基本思想是數(shù)學(xué)的靈魂。

如在蘇教版數(shù)學(xué)五年級上冊“圓的面積”的教學(xué)中，教師在引導(dǎo)學(xué)生探究圓的面積推導(dǎo)時，就設(shè)計了體悟轉(zhuǎn)化這一思想的教學(xué)環(huán)節(jié)。首先，通過回顧學(xué)過的長方形、正方形、三角形、梯形等平面圖形面積的推導(dǎo)過程，激活學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗，體會轉(zhuǎn)化思想，為圓的面積推導(dǎo)做鋪墊。但圓不同于其他直線圖形，它是一種曲線圖形，那么如何進行分割，將其轉(zhuǎn)化成哪種我們學(xué)過的圖形來推導(dǎo)它的面積，就成為學(xué)生迫切需要思考的問題。對于如何轉(zhuǎn)化圓這一曲面圖形這一問題，教師先讓學(xué)生動手嘗試未果后，出示一張生活中常見的比薩圖片，學(xué)生便恍然大悟，可以從圓心，沿著圓的半徑等分圓。

解決了如何分割圓之后，轉(zhuǎn)化成哪種平面圖形進行推導(dǎo)？聯(lián)系已有直線圖形的面積推導(dǎo)，學(xué)生不僅可以想到轉(zhuǎn)化成平行四邊形、長方形，也可以轉(zhuǎn)化成不常見的三角形和梯形。（如圖5）

【教學(xué)片段】

師：我們通過生活中等分比薩的事例，類比出等分圓的方法。那么，我們需要將圓這一曲線圖形轉(zhuǎn)化成哪種學(xué)過的平面圖形呢？

小組合作，拼一拼，說一說圓的面積推導(dǎo)過程。

生1：我把圓等分16份后，可以將其轉(zhuǎn)化成平行四邊形。平行四邊形的底是圓周長的一半，高是圓的半徑，底×高就得到平行四邊形的面積，也就是圓的面積。

生2：也可以將圓轉(zhuǎn)化成一個梯形來求，上底和下底的長度和就是圓周長的一半，高是圓半徑的2倍，利用梯形面積公式，求出梯形面積，也就是圓的面積。

生3：我把圓轉(zhuǎn)化成了一個三角形，三角形的底是圓周長的，高是半徑的4倍，據(jù)此就能求出三角形的面積，也就是圓的面積。

師：用這些方法雖然將圓轉(zhuǎn)化成不同的平面圖形，但有什么相同的地方？

生4：都是將圓轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的平面圖形，找到轉(zhuǎn)化過后底和高與原來圓的關(guān)系，再推導(dǎo)出圓的面積公式。

……

如此體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的具體方法的多樣化，進一步拓寬學(xué)生的思維空間，增強學(xué)生思維的靈活性。

【參考文獻】

[1]傅贏芳，喻平.從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)設(shè)計課堂教學(xué)——基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的視域[J].教育理論與實踐，2019（20）.

[2]石志群.數(shù)學(xué)教學(xué)如何突出數(shù)學(xué)本質(zhì)[J]. 數(shù)學(xué)通報，2019（6）.

[3]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社，1995．