吳小鳳

摘要：解析幾何問(wèn)題是高考中考查學(xué)生思維與運(yùn)算能力的主要載體.本文中從一道高考試題的解法入手，回歸教材習(xí)題，分析學(xué)生解答時(shí)常見(jiàn)的錯(cuò)誤，從特殊到一般對(duì)習(xí)題進(jìn)行探究，得到雙曲線中點(diǎn)弦的一般性結(jié)論.

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué)；回歸教材；雙曲線；中點(diǎn)弦

1 試題呈現(xiàn)

（2023年全國(guó)乙卷理科數(shù)學(xué)第11題）設(shè)A，B為雙曲線x2-y29=1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（? ）.

A.（1，1）

B.（-1，2）

C.（1，3）

D.（-1，-4）

1.1 試題解析

這道高考試題是典型的雙曲線中點(diǎn)弦問(wèn)題，常用點(diǎn)差法去解決，若M是線段AB的中點(diǎn)，就等價(jià)于過(guò)點(diǎn)M的直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn).解決這個(gè)問(wèn)題，應(yīng)聯(lián)立直線與雙曲線的方程，用判別式Δ的值是否大于0來(lái)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行排除.

1.2 試題解答

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M是線段AB的中點(diǎn)，M（x0，y0）.

將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入雙曲線方程，兩式作差，得x21-x22-y21-y229=0.

記kAB=y1-y2x1-x2，k=y0x0=y1+y2x1+x2，則

kAB·k=y21-y22x21-x22=9.

對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)閗=1，kAB=9，則直線AB的方程是y=9x-8，與雙曲線方程聯(lián)立并消去y，得72x2-2×72x+73=0，計(jì)算得Δ=-288<0，所以直線AB與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

同理，對(duì)于選項(xiàng)B，判別式Δ=-2 880<0，所以直線AB與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)C，求出直線AB的方程為y=-3x，而雙曲線的漸近線方程為y=±3x，所以直線AB與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)D，經(jīng)計(jì)算判別式Δ=64 512>0，所以直線AB與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，故正確答案為選項(xiàng)D.

2 教材原型

人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修（第一冊(cè)）第128頁(yè)第13題：已知雙曲線x2-y22=1，過(guò)點(diǎn)P（1，1）的直線l與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，P能否是線段AB的中點(diǎn)？

先看一下學(xué)生常見(jiàn)的解答過(guò)程：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則

x21-y212=1，x22-y222=1.

顯然x1≠x2，兩式作差，得

（x2-x1）（x2+x1）-（y2-y1）（y2+y1）2=0.

又x1+x2=2，y1+y2=2，所以可得

kAB=y2-y1x2-x1=2（x2+x1）y2+y1=2.

故直線AB的方程是y-1=2（x-1），即y=2x-1.

這是一個(gè)中點(diǎn)弦問(wèn)題，以上解法運(yùn)用了“點(diǎn)差法”，減少了運(yùn)算量，但忽略了直線與曲線相交于兩點(diǎn)的大前提，從而產(chǎn)生錯(cuò)誤.因此，在求出直線方程后還應(yīng)判斷所求直線與曲線是否相交，即應(yīng)在前面解答的基礎(chǔ)上加以檢驗(yàn)：將直線AB的方程y=2x-1代入雙曲線方程x2-y22=1中消去y，得2x2-4x+3=0，其判別式Δ=16-24=-8<0，故直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，所以，過(guò)點(diǎn)P（1，1）不能作出符合題意的直線l.

3 試題推廣

如何才能避免錯(cuò)誤的發(fā)生？通過(guò)以上解答過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，中點(diǎn)弦是否存在與弦中點(diǎn)的位置有關(guān)，那么，能否通過(guò)判斷弦中點(diǎn)的位置來(lái)確定中點(diǎn)弦是否存在？推廣到一般情況：已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），若過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）的直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)P有何特征？

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），分別代入雙曲線方程，

兩式作差，得

（x2-x1）（x2+x1）a2-（y2-y1）（y2+y1）b2=0.

當(dāng)y0≠0時(shí)，kAB=y2-y1x2-x1=b2（x2+x1）a2（y2+y1）=b2x0a2y0.

所以，直線AB的方程是

y-y0=b2x0a2y0（x-x0）.①

將①式與雙曲線方程聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理，得

b2（a2y20-b2x20）x2-2b2x0（a2y20-b2x20）x-（a2y20-b2x20）2-a4b2y20=0.

過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）的中點(diǎn)弦存在等價(jià)于

Δ=4b4x20（a2y20-b2x20）2+4b2（a2y20-b2x20）＼5［（a2y20-b2x20）2+a4b2y20］>0，

即a2b2y20（a2y20-b2x20）（a2y20-b2x20+a2b2）>0.

所以a2y20-b2x20>0，或a2y20-b2x20<-a2b2，

也即

x20a2-y20b2<0，②

或者

x20a2-y20b2>1.③

當(dāng)y0=0，x0≠0時(shí)，點(diǎn)P（x0，y0）在x軸上，若x0>a或x0<-a，則過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）的中點(diǎn)弦存在，直線方程為x=x0.此時(shí)點(diǎn)P（x0，y0）滿足③式.

當(dāng)y0=0，x0=0時(shí)，點(diǎn)P（x0，y0）與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）的中點(diǎn)弦有無(wú)數(shù)條.

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P（x0，y0）滿足x20a2-y20b2<0或x20a2-y20b2>1或與原點(diǎn)重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）的中點(diǎn)弦存在.所以點(diǎn)P（x0，y0）位于陰影部分區(qū)域（如圖1）時(shí)（包含原點(diǎn)，不包含邊界），過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）的中點(diǎn)弦存在.

在上題（教材第13題）中，點(diǎn)P（1，1）不在陰影部分區(qū)域，所以被點(diǎn)P（1，1）平分的中點(diǎn)弦不存在.雙曲線的中點(diǎn)弦存在性問(wèn)題，運(yùn)用上述結(jié)論，既可以避免錯(cuò)誤的發(fā)生，又能使問(wèn)題得以迅速解決.

4 高考試題秒殺

將上述高考試題中A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)的點(diǎn)（x，y）代入x2-y29中，計(jì)算出四個(gè)值分別為89，59，0，-79，只有選項(xiàng)D符合x(chóng)2-y29＜0，故選：D.

5 變式與拓展

已知雙曲線x2-y23=1上存在關(guān)于直線y=kx+4的對(duì)稱點(diǎn)，求k的取值范圍.

解：易知k≠0，設(shè)對(duì)稱點(diǎn)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入雙曲線方程，作差，得

（x2-x1）（x2+x1）-（y2-y1）（y2+y1）3=0，x1≠x2.

設(shè)線段AB中點(diǎn)為P（x0，y0），得

x0+y03k=0.④

因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)在直線y=kx+4上，所以

y0=kx0+4.⑤

由④⑤，解得x0=-1k，y0=3.

雙曲線上存在關(guān)于直線y=kx+4的對(duì)稱點(diǎn)等價(jià)于過(guò)點(diǎn)P（x0，y0）的中點(diǎn)弦存在，所以

x20-y203<0或x20-y203>1，

即1k2-3<0或1k2-3>1.

解得k的取值范圍為-∞，-33∪-12，0∪0，12∪33，+∞.

6 感悟與反思

通過(guò)高考試題的研究可以發(fā)現(xiàn)，高考試題很多都可以在教材中找到原型，這也提示教師要重視教材的使用.高三復(fù)習(xí)時(shí)雖常常強(qiáng)調(diào)回歸教材，但常見(jiàn)的做法是把課后有難度的題目重新刷一遍，而忽視了對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的理解，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的提高是無(wú)效的.教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生挖掘題目本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行拓展與延伸，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).