摘 要：促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的整體理解是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一。整體理解中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容主要包括知識(shí)、思維和方法三個(gè)層面。以“章”為單位來看，以不同的知識(shí)為載體教的應(yīng)該是同一種數(shù)學(xué)思維或同一種學(xué)科觀點(diǎn)。每個(gè)知識(shí)領(lǐng)域處理問題的數(shù)學(xué)思維具有共同特征，從而就具有了思維活動(dòng)的整體性。解決數(shù)學(xué)問題時(shí)要運(yùn)用一般方法對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行研究，在得出性質(zhì)或關(guān)系后，演繹出解決具體問題的具體方法，這就是“方法層面”的整體理解。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)內(nèi)容；整體性；數(shù)學(xué)本質(zhì)；數(shù)學(xué)思維

基于數(shù)學(xué)的整體理解開展數(shù)學(xué)教學(xué)，是新課程改革的重要理念?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“教學(xué)建議”中指出：“在教學(xué)中，要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系?！?sup>［1^］《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》在“教學(xué)建議”中指出：“整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展。”^［2］可見，不同學(xué)段的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體性都給予了高度的關(guān)注，并在教學(xué)建議中提出了明確的要求，揭示出做好數(shù)學(xué)教學(xué)工作的深刻道理。這對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)研究和實(shí)踐有著現(xiàn)實(shí)的指導(dǎo)意義。

從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度看，學(xué)生在不同的階段獲得的知識(shí)往往是局部的，只有在整體中才能看清局部知識(shí)的意義和作用，以及局部知識(shí)與其他知識(shí)的區(qū)別和聯(lián)系。各個(gè)局部知識(shí)按照某種觀點(diǎn)和方法組織成整體，才便于存儲(chǔ)、提取和應(yīng)用。因此，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的整體理解是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一。

整體理解中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容具體包括什么呢？我們只有了解整體理解的內(nèi)涵，才能在數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施這一重要理念。結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與思考，我認(rèn)為整體理解中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容主要包括以下三個(gè)方面：

一、 知識(shí)層面的整體理解

知識(shí)層面的整體理解可以小到一節(jié)課的知識(shí)，大到一章或幾章的知識(shí)、一個(gè)學(xué)段的知識(shí)甚至跨學(xué)段的知識(shí)。以“章”的知識(shí)為例：從“章”的角度理解知識(shí)、把握知識(shí)是研究教學(xué)的切入點(diǎn)，也是提高教師專業(yè)能力的落腳點(diǎn)。從表面上看，課是一節(jié)一節(jié)上的，每節(jié)課教授的知識(shí)也是不同的。但是，如果以“章”為單位來看，則不同的知識(shí)講的應(yīng)該是同一件事情；從教學(xué)的角度看，以不同的知識(shí)為載體教的也應(yīng)該是同一種數(shù)學(xué)思維或同一種學(xué)科觀點(diǎn)。

例如七年級(jí)《有理數(shù)》這一章，表面上看，概念多、運(yùn)算法則多。學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)首先要面對(duì)的是正數(shù)和負(fù)數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值等幾個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)概念，為什么要學(xué)習(xí)這些概念呢？教學(xué)中，教師可以啟發(fā)學(xué)生思考：表示有理數(shù)a的點(diǎn)A在數(shù)軸上是怎樣確定的？這個(gè)問題本質(zhì)上是點(diǎn)與直線位置關(guān)系的確定問題。點(diǎn)A在數(shù)軸上首先要有位置，位置在哪里呢？數(shù)軸上的原點(diǎn)O把數(shù)軸分成了三部分，除了原點(diǎn)O以外，還有數(shù)軸上原點(diǎn)O的左側(cè)部分和右側(cè)部分，這就是原點(diǎn)O在數(shù)軸上劃分的位置。點(diǎn)A是和原點(diǎn)O重合，還是在數(shù)軸上原點(diǎn)O的哪一側(cè)？為此，首先需要知道點(diǎn)A表示的數(shù)a如果不是零，其符號(hào)是什么？其次需要確定點(diǎn)A在數(shù)軸上的位置，這個(gè)確定是相對(duì)于原點(diǎn)O的（要么與原點(diǎn)O重合，要么與原點(diǎn)O的距離是確定的），這就對(duì)應(yīng)著點(diǎn)A表示的數(shù)a的絕對(duì)值大小。

之后，在“有理數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)中，針對(duì)運(yùn)算法則多，含義不易理解的難點(diǎn)，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生把理解有理數(shù)概念的思維活動(dòng)應(yīng)用于運(yùn)算的學(xué)習(xí)中。比如有理數(shù)的加法法則，從形式上看，敘述復(fù)雜、不好理解，但實(shí)際上，說的無非是兩個(gè)加數(shù)的和的確定問題：一是符號(hào)，二是絕對(duì)值。同樣，有理數(shù)的乘法法則、乘方法則，講的都是如何從符號(hào)和絕對(duì)值這兩個(gè)方面去確定積、確定冪。

如此看來，《有理數(shù)》全章都是圍繞一個(gè)問題展開的，即無論是研究一個(gè)有理數(shù)，還是兩個(gè)有理數(shù)的各種運(yùn)算（運(yùn)算結(jié)果還是一個(gè)有理數(shù)），都是通過符號(hào)、絕對(duì)值來確定的。不難看出，“確定一個(gè)有理數(shù)，一是符號(hào)，二是絕對(duì)值”這個(gè)觀點(diǎn)是《有理數(shù)》全章知識(shí)的靈魂，是最本質(zhì)的。如果學(xué)生能夠抓住這個(gè)本質(zhì)，就可以提綱挈領(lǐng)地把握各部分知識(shí)，把《有理數(shù)》這一章的知識(shí)按照一定的順序組織起來形成一個(gè)整體，從而對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)得到進(jìn)一步深化。

再如，八年級(jí)《整式的乘法與因式分解》這一章的教學(xué)如何體現(xiàn)知識(shí)的整體性？如果對(duì)整式乘法中的“平方差公式”和“完全平方公式”，都先給學(xué)生幾個(gè)特殊的“多乘多”例子［如（x+1）（x-1）=""" ，（x+1）（x+1）=""" ］，讓學(xué)生計(jì)算結(jié)果，再歸納得出相應(yīng)的公式，就看不到公式之間內(nèi)在的邏輯關(guān)系了，機(jī)械記憶、熟練應(yīng)用公式就成為學(xué)習(xí)這部分知識(shí)的主要思維活動(dòng)了。同樣地，如果因式分解中的“公式法”就是把整式乘法中的“平方差公式”或“完全平方公式”倒過來運(yùn)用，則本質(zhì)上就是在套用公式，談不上有什么數(shù)學(xué)思維，更看不到知識(shí)之間內(nèi)在的邏輯關(guān)系。實(shí)際上，“整式乘法與因式分解”的整體性體現(xiàn)在等式（a+b）（p+q）=ap+aq+bp+bq（以下記作公式*）上。對(duì)這個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)的理解，可以有不同的方向：從左往右看，是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，得到幾個(gè)單項(xiàng)式的和，或者說得到一個(gè)多項(xiàng)式，這個(gè)方向的變形引發(fā)的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)聚焦在運(yùn)算上；從右往左看，是幾個(gè)單項(xiàng)式的和，也就是一個(gè)多項(xiàng)式變形為幾個(gè)整式的乘積，即所謂的因式分解，這個(gè)方向的變形引發(fā)的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)聚焦在對(duì)多項(xiàng)式代數(shù)特征的分析上。

先看“乘法公式”，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘方向的公式*是單元知識(shí)整體性的核心所在。平方差公式、完全平方公式是特殊的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，因此，從具有一般性的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的公式*來引出平方差公式、完全平方公式更自然，更符合數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的邏輯。要通過對(duì)公式*右端的四個(gè)單項(xiàng)式的分析，向?qū)W生提出“能不能由4個(gè)單項(xiàng)式變成3個(gè)或2個(gè)”的問題，進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生找到p、q與a、b之間的特殊關(guān)系，從而得到平方差公式、完全平方公式。

再看“因式分解”，按照以往的教學(xué)要求，至少需要2個(gè)課時(shí)，分別教學(xué)“提公因式法”和“公式法”。但是，如果從整體的角度理解這部分教學(xué)內(nèi)容，就會(huì)發(fā)現(xiàn)所謂的“公式法”本質(zhì)上就是“提公因式法”，就可以在第1課時(shí)通過分析公式*右端的代數(shù)特征，將數(shù)學(xué)思維活動(dòng)聚焦到研究多項(xiàng)式ap+aq+bp+bq上。比如，對(duì)于多項(xiàng)式a2-b2，盡管是兩個(gè)數(shù)的平方差的形式，但是不要讓學(xué)生套用剛學(xué)過的平方差公式，而要把學(xué)生的思維活動(dòng)引導(dǎo)到分析這個(gè)多項(xiàng)式的代數(shù)特征上：由于構(gòu)成這個(gè)多項(xiàng)式的兩個(gè)單項(xiàng)式?jīng)]有公因式，可不可以添加一項(xiàng)使得它與原多項(xiàng)式中的二項(xiàng)都有關(guān)系呢？那么，添加的這一個(gè)單項(xiàng)式具有什么特征？添加之后如何保證多項(xiàng)式?jīng)]有改變？從而得到：a2-b2=a2+ab-ab-b2=a（a+b）-b（a+b）=（a+b）（a-b）。同樣地，有：a2+2ab+b2=a2+ab+ab+b2=a（a+b）+b（a+b）=（a+b）2。

又如，高中《三角函數(shù)》這一章的公式比較多，這些公式是否具有整體性呢？實(shí)際上，“用數(shù)學(xué)的符號(hào)語言來刻畫三角函數(shù)的性質(zhì)”這一點(diǎn)與所有函數(shù)性質(zhì)的研究方式是一致的，使得有關(guān)公式具有整體性。

如果是針對(duì)一個(gè)角的三角函數(shù)，角的終邊對(duì)應(yīng)的是同角三角函數(shù)，包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)，同角三角函數(shù)關(guān)系就是刻畫這三個(gè)函數(shù)之間的代數(shù)關(guān)系的。

誘導(dǎo)公式看似公式，本質(zhì)上是刻畫兩個(gè)角的三角函數(shù)之間關(guān)系的，是三角函數(shù)性質(zhì)的代數(shù)表達(dá)。只不過這里的兩個(gè)角的終邊具有特殊的幾何位置關(guān)系，如α和-α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，α和π-α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，α和π+α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，等等。

三角恒等變換看上去有很多公式，但是，這些公式的邏輯起點(diǎn)都是兩角差的余弦公式。這個(gè)公式類似誘導(dǎo)公式，是以兩個(gè)角為研究對(duì)象的。只不過這里的兩個(gè)角不是具有某種特殊幾何位置關(guān)系的兩個(gè)角：兩個(gè)角的頂點(diǎn)仍然是坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊還是x軸的正半軸，但是，兩條終邊的位置是任意的。因此，我們看到的不僅是兩個(gè)角，還有這兩個(gè)角的終邊所夾的角——這個(gè)角的頂點(diǎn)沒有變，還是坐標(biāo)原點(diǎn)，但是它的始邊不是x軸的正半軸，而是原來兩個(gè)角的終邊中的一條，它的終邊則是另一條。

可以看出：同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換都是三角函數(shù)性質(zhì)的代數(shù)特征的刻畫，是數(shù)學(xué)的符號(hào)語言（其中最具有一般性的三角恒等變換的邏輯起點(diǎn)——兩角差的余弦公式，作為三角函數(shù)的基本性質(zhì)，正是高等數(shù)學(xué)中三角函數(shù)的抽象定義^［3］）。這些性質(zhì)的幾何特征是與自變量對(duì)應(yīng)的角終邊的位置關(guān)系及單位圓幾何性質(zhì)的體現(xiàn)，本質(zhì)上就是三角函數(shù)各種公式的整體性表達(dá)。

還如高中的“集合”知識(shí)，無論是集合的含義，還是兩個(gè)集合之間的關(guān)系、運(yùn)算，都是通過研究元素與集合的關(guān)系，即“屬于（∈）”或“不屬于（）”得到的。這就為《集合》一章教學(xué)的整體性提供了載體，即從元素與集合關(guān)系的角度把握并運(yùn)用這種符號(hào)語言。通過對(duì)集合的這種理解，讓學(xué)生體會(huì)集合的內(nèi)涵，掌握集合這種符號(hào)語言背后所具有的共性思維方法。

而上述思維活動(dòng)在初中“不等式”的學(xué)習(xí)中也是存在的。比如，判斷數(shù)a與不等式x＞2解集之間的關(guān)系，就是要確定a與2的大小關(guān)系，也就是：如果a≤2，則a不屬于x＞2的解集；如果a＞2，則a屬于x＞2的解集。如果是x＞2的解集與x＜3的解集之間關(guān)系的分析，就要判斷x＞2的解集與3的關(guān)系以及x＜3的解集與2的關(guān)系。可以看出，上述思維活動(dòng)本質(zhì)上就是對(duì)元素與集合關(guān)系問題的分析。

因此，無論是初中的“不等式”知識(shí)，還是高中的“集合”知識(shí)，從思維方法的角度看，是不是從中可以體會(huì)到跨學(xué)段的數(shù)學(xué)知識(shí)所具有的整體性了呢？

二、 思維層面的整體理解

在中學(xué)階段，學(xué)生所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)大致可以分為代數(shù)、幾何和概率統(tǒng)計(jì)三個(gè)領(lǐng)域，不同領(lǐng)域處理問題的數(shù)學(xué)思維是不同的。代數(shù)領(lǐng)域以符號(hào)語言為主要研究對(duì)象，所承載的是以抽象為特征的代數(shù)思維；幾何領(lǐng)域以圖形語言為主要研究對(duì)象，所承載的是以直觀為特征的幾何思維；概率統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域以數(shù)據(jù)為主要研究對(duì)象，所承載的是以從隨機(jī)性中尋找規(guī)律性為特征的概率統(tǒng)計(jì)思維。盡管每個(gè)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識(shí)是豐富多彩、形式各異的，但是，由于每個(gè)領(lǐng)域的研究對(duì)象具有共性，因此，每個(gè)領(lǐng)域處理問題的數(shù)學(xué)思維具有共同特征，從而就具有了思維活動(dòng)的整體性。

在代數(shù)領(lǐng)域，因?yàn)樘幚泶鷶?shù)（包括函數(shù)，下同）問題的思維載體主要是符號(hào)語言，所以處理代數(shù)問題的思維特征是抽象，其承載的整體性體現(xiàn)在兩個(gè)方面。一是抽象的核心地位。抽象是代數(shù)這門學(xué)科的特點(diǎn)，抽象能力是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的核心能力，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的抽象過程是最有價(jià)值的思維活動(dòng)。代數(shù)領(lǐng)域的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師要時(shí)常提醒自己：這節(jié)課有沒有抽象的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)？二是直觀的從屬地位。抽象不排斥直觀，是借助直觀來理解抽象，而不是利用直觀來替代抽象。教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師要明確：直觀是在代數(shù)抽象后的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，在處理代數(shù)問題的思維活動(dòng)中是服務(wù)于抽象的。

以函數(shù)的單調(diào)遞增性質(zhì)為例，這個(gè)性質(zhì)的直觀描述為“在區(qū)間D內(nèi)，函數(shù)f（x）的自變量x越來越大，其因變量y也越來越大”。為了能用符號(hào)語言表達(dá)這段文字描述，要先借助函數(shù)的圖像進(jìn)行直觀的分析：

函數(shù)f（x）的圖像是動(dòng)點(diǎn)P（x，y）運(yùn)動(dòng)形成的軌跡，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的橫坐標(biāo)x是函數(shù)f（x）的自變量，縱坐標(biāo)y是函數(shù)f（x）的因變量。結(jié)合函數(shù)圖像，可以直觀地看到f（x）在區(qū)間D內(nèi)的這段軌跡的變化趨勢(shì)是向上的，也就是動(dòng)點(diǎn)P（x，y）從左至右是向上運(yùn)動(dòng)的，點(diǎn)P（x，y）的橫坐標(biāo)x越來越大，縱坐標(biāo)y也越來越大。但這只是對(duì)函數(shù)圖像幾何特征的定性描述，還無法抽象成函數(shù)的代數(shù)性質(zhì)。為了能用代數(shù)的方法刻畫這個(gè)變化趨勢(shì)，要通過軌跡上的兩個(gè)幾何元素表達(dá)其幾何特征，以便能將它們的幾何位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)符號(hào)化。為此，就要將函數(shù)f（x）圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）轉(zhuǎn)化為其上的任意兩個(gè)點(diǎn)，這樣的兩個(gè)點(diǎn)的幾何特征是通過其在函數(shù)圖像上的相對(duì)位置來體現(xiàn)的，也就是點(diǎn)Q（x2，y2）在點(diǎn)P（x1，y1）的上方。正是由于在區(qū)間D內(nèi)趨勢(shì)向上的函數(shù)圖像上的任意兩個(gè)點(diǎn)P（x1，y1）和Q（x2，y2）有這種“上下”的相互位置關(guān)系的幾何特征，對(duì)應(yīng)的代數(shù)形式就可以表達(dá)為：對(duì)任意的兩個(gè)自變量x1和x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，有y1＜y2。

在幾何領(lǐng)域，因?yàn)閹缀嗡季S活動(dòng)的載體是幾何圖形和幾何符號(hào)，所以處理幾何問題的思維特征是從“幾何直觀到幾何抽象”。對(duì)幾何圖形或幾何符號(hào)的直觀感受是幾何思維活動(dòng)的起點(diǎn)，是幾何思維生長(zhǎng)的沃土。但是，幾何思維不能停留在直觀感受上，而要在幾何直觀的基礎(chǔ)上走向幾何抽象。

這種幾何上的從直觀到抽象具有整體性，體現(xiàn)在兩個(gè)方向：一是幾何方向的抽象，即對(duì)幾何圖形性質(zhì)的分析和對(duì)幾何圖形（包括幾何元素）之間位置關(guān)系的演繹；二是代數(shù)方向的抽象，即對(duì)幾何對(duì)象的代數(shù)化。這兩個(gè)方向的從直觀到抽象的思維過程是有邏輯關(guān)系的：通常情況下，是先確定幾何圖形的性質(zhì)及幾何圖形之間的位置關(guān)系，再對(duì)幾何圖形進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的刻畫。

例如，在八年級(jí)《平行四邊形》這一章中，“矩形的性質(zhì)”的教學(xué)如何設(shè)計(jì)，才能體現(xiàn)出思維活動(dòng)的整體性呢？由定義“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形”可知，矩形的性質(zhì)本質(zhì)上是一般平行四邊形與矩形的關(guān)系，這是研究?jī)蓚€(gè)圖形的關(guān)系問題。從一般平行四邊形到特殊平行四邊形的形成過程，正是從整體的角度理解“矩形的性質(zhì)”的過程。

目前，“矩形的性質(zhì)”的教學(xué)存在的主要問題是：學(xué)生面對(duì)的幾何圖形僅僅是確定的矩形，不再有一般平行四邊形的影子。換句話說，要研究的不是一般平行四邊形與矩形這兩個(gè)圖形的關(guān)系問題，而是矩形這一個(gè)圖形的問題。

為了從整體的角度理解“矩形的性質(zhì)”，可以做如下教學(xué)設(shè)計(jì)：

如圖1所示，在平行四邊形ABCD中，∠B由銳角變化到直角。根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可知∠B的對(duì)角∠D始終與其相等；根據(jù)“兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，可知∠B的鄰角∠A和∠C始終與其互補(bǔ)。因此，當(dāng)∠B變?yōu)橹苯菚r(shí)，∠D為直角，∠A和∠C也為直角。這就得到性質(zhì)“矩形的四個(gè)角為直角”。

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矩形這個(gè)性質(zhì)的得出不是看著矩形這個(gè)圖形直觀感受到之后加以論證的，而是在一般平行四邊形到矩形的變化過程中演繹推理的結(jié)果。這樣的設(shè)計(jì)下，學(xué)生對(duì)矩形性質(zhì)的理解體現(xiàn)了思維活動(dòng)的整體性，是在從一般平行四邊形到特殊平行四邊形的變化過程中得到的幾何元素的數(shù)量關(guān)系。

再分析平行四邊形ABCD中的△ABC與△DCB之間的關(guān)系（如圖2所示）。一般情況下，△ABC與△DCB一個(gè)是銳角三角形，另一個(gè)是鈍角三角形；它們除了有一條公共邊BC以及一組相等的邊AB、CD之外，并沒有類似“全等”的特殊關(guān)系。但是，隨著∠ABC由銳角變化到直角，∠DCB由鈍角變化到直角。當(dāng)然，∠ABC越變?cè)酱?，∠DCB越變?cè)叫?，這兩個(gè)角始終是互補(bǔ)的。當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，∠DCB=90°。也就是說，當(dāng)平行四邊形ABCD為矩形ABCD時(shí)，△ABC與△DCB滿足三角形全等的判定條件“SAS”。因此，由全等三角形的性質(zhì)可知，這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊AC、BD相等。從矩形這個(gè)圖形的角度看，就是性質(zhì)“矩形的對(duì)角線相等”。

→

這樣設(shè)計(jì)沒有局限在矩形這個(gè)特定的圖形上，而是拓展到更大的思維空間中，從思維活動(dòng)的整體性出發(fā)，在從一般平行四邊形到矩形的變化過程中研究其內(nèi)部的兩個(gè)三角形之間的關(guān)系，在從不全等到全等的變化過程中演繹出矩形對(duì)角線的性質(zhì)。

三、 方法層面的整體理解

數(shù)學(xué)教學(xué)一個(gè)很重要的任務(wù)就是例題分析。在這個(gè)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生感悟如何理解問題，如何確定解題的思路或策略，如何實(shí)施具體的解題方法。一個(gè)好的例題分析一般不會(huì)局限于例題本身，而能借助例題的背景，將研究的問題不斷地引向深入，找到解決例題與解決其他數(shù)學(xué)問題在思維方法上的共性，從而使學(xué)生對(duì)解決數(shù)學(xué)問題思維方法的一般性有更清晰地理解與把握。這就是教學(xué)生“方法層面”的整體理解。

教師首先要具備“方法層面”整體理解的意識(shí)，清醒地認(rèn)識(shí)到：解題教學(xué)的目的不是教給學(xué)生一道又一道數(shù)學(xué)題的不同解法，也不在于教給學(xué)生一個(gè)問題的多種解法，而是通過對(duì)不同數(shù)學(xué)問題的分析或?qū)鉀Q同一數(shù)學(xué)問題的不同方法的探究，幫助學(xué)生形成一種觀念或一種意識(shí)。學(xué)生解題能力的提高不是由解題的數(shù)量決定的，而是通過不斷地提煉解決問題方法的共性或規(guī)律，并將其內(nèi)化到他們的思維活動(dòng)中來實(shí)現(xiàn)的。從這個(gè)意義上說，學(xué)生在“方法層面”是否具備整體理解正是學(xué)生思維能力強(qiáng)弱的標(biāo)志之一。

因此，教師選擇什么樣的例題進(jìn)行教學(xué)也就明確了。如果教師所選的例題在思維上沒有共性的東西，解決問題的思維方法缺乏一般性，解題的手段更多地依賴于所謂的技巧，這樣的例題就不適合在同一節(jié)課上進(jìn)行分析。

再從解決數(shù)學(xué)問題的過程中體會(huì)“方法層面”的整體性。不難發(fā)現(xiàn)：不論是解決代數(shù)問題，還是解決幾何問題、概率統(tǒng)計(jì)問題，都要運(yùn)用一般方法對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行研究，在得出性質(zhì)或關(guān)系后，演繹出解決具體問題的具體方法。這種跨不同領(lǐng)域的、具有思維規(guī)律性的解決問題的方法就是“方法層面”的整體理解，其整體性體現(xiàn)在研究問題的一般方法和解決具體問題的具體方法的邏輯關(guān)系上，即：

首先，要對(duì)數(shù)學(xué)問題中的研究對(duì)象進(jìn)行研究。其思維活動(dòng)與理解問題的思維活動(dòng)交融在一起、密不可分。研究?jī)?nèi)容主要是：數(shù)學(xué)問題中的每個(gè)研究對(duì)象具有什么樣的性質(zhì)？不同研究對(duì)象之間具有什么樣的關(guān)系（比如兩個(gè)函數(shù)之間的代數(shù)關(guān)系或兩個(gè)幾何圖形之間的位置關(guān)系）？這些研究是以用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的已知條件為載體的，其研究方法稱為通性通法或一般方法。

知識(shí)教學(xué)中，很多內(nèi)容都是在教學(xué)生如何研究數(shù)學(xué)問題中研究對(duì)象的性質(zhì)或關(guān)系。比如，在初中平面幾何教學(xué)中，研究圓的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等；在高中函數(shù)教學(xué)中，研究函數(shù)的性質(zhì)、冪指對(duì)函數(shù)的性質(zhì)等；到了圓錐曲線教學(xué)，以曲線的方程為載體，不僅要研究橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)，還要研究直線與它們之間的位置關(guān)系，等等。可以說，在課堂上，我們花了大量的時(shí)間，都是在教學(xué)生研究數(shù)學(xué)問題的研究對(duì)象的性質(zhì)或關(guān)系的一般方法。

其次，要解決數(shù)學(xué)問題中針對(duì)研究對(duì)象提出的具體問題。任何數(shù)學(xué)題目都會(huì)提出若干個(gè)具體的問題，如求某一個(gè)待定的數(shù)值、求某一個(gè)變量的取值范圍或證明某一個(gè)結(jié)論等。求解數(shù)學(xué)題目的目的就是回答具體問題提出的要求。解決具體問題的方法不同于前面所說的一般方法，需要以之前運(yùn)用一般方法研究出的性質(zhì)或關(guān)系（也包括具體問題附帶的條件）為基礎(chǔ)，探索出解決具體問題的方法，這種方法稱為具體方法。

例1 已知函數(shù)f（x）=x2+4x，x≥0；

4x-x2，x＜0，

若f（2-a2）＞f（a），求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

這個(gè)問題中，函數(shù)f（x）就是研究對(duì)象，“若f（2-a2）＞f（a），求實(shí)數(shù)a的取值范圍”就是針對(duì)研究對(duì)象f（x）提出的具體問題。

研究對(duì)象函數(shù)f（x）=x2+4x，x≥0；4x-x2，x＜0

有什么性質(zhì)呢？當(dāng)x＞0時(shí)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為f（x）=x2+4x；因?yàn)?x＜0，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為f（-x）=-4x-x2?？梢钥闯?，對(duì)函數(shù)f（x）來說，取相反的兩個(gè)自變量時(shí)，函數(shù)值相反。同樣，當(dāng)x＜0時(shí)，它和其相反的自變量-x＞0所取得的函數(shù)值也是相反的。又x=0時(shí)，f（0）=0。因此，f（x）是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱。

正是由于這種對(duì)稱性，可以把研究函數(shù)的范圍縮小到x≥0。而此時(shí)f（x）=x2+4x，從解析式可以得出，當(dāng)x≥0時(shí)，y≥0，也就是其圖像分布在第一象限并且過坐標(biāo)原點(diǎn)。又由于當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2+4x是單調(diào)遞增函數(shù)，所以可以大致畫出f（x）在x≥0時(shí)的示意圖（如圖3所示）。再結(jié)合奇函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，可以畫出f（x）=x2+4x，x≥0；4x-x2，x＜0在R上的示意圖（如圖4所示）。至此，完成了對(duì)f（x）性質(zhì)的研究。

解決針對(duì)這個(gè)研究對(duì)象的具體問題的方法是怎么得到的呢？由于前面分析函數(shù)性質(zhì)時(shí)已經(jīng)知道f（x）在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的，所以由已知條件f（2-a2）＞f（a），可以得到自變量的大小關(guān)系2-a2＞a，從而得解。

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，缺乏“方法層面”整體理解的最典型做法是：淡化運(yùn)用一般方法對(duì)研究對(duì)象的性質(zhì)或關(guān)系進(jìn)行分析，而將探索、尋找具體方法的思維過程題型化。這種題型化是為了能夠以最快的速度解決數(shù)學(xué)問題，從而滿足“應(yīng)試”的需要；寄希望于通過大量的重復(fù)訓(xùn)練，達(dá)到不用分析研究對(duì)象的性質(zhì)或關(guān)系就可以解決具體問題的目的。這樣的解題教學(xué)背離了數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)，破壞了解決數(shù)學(xué)問題“方法層面”的整體理解，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的真正提高。

綜上，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體理解不僅體現(xiàn)在知識(shí)本身上，還體現(xiàn)在理解數(shù)學(xué)知識(shí)的思維特征與解決數(shù)學(xué)問題的思維規(guī)律上。完整、有邏輯的知識(shí)體系，是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必要保證。如果學(xué)生只了解一些支離破碎的知識(shí)片段，而不能從整體上認(rèn)識(shí)它們之間的聯(lián)系和規(guī)律，他們是不可能充分提高自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的。這就要求數(shù)學(xué)教師提高從整體的角度研究數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的能力，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究課堂教學(xué)，并且通過教學(xué)實(shí)踐把教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)本質(zhì)認(rèn)識(shí)與數(shù)學(xué)思維能力。

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