摘 要：教師要善于把教學(xué)內(nèi)容變成具有潛在意義的問題，使學(xué)生更加充分地參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中。就數(shù)學(xué)教學(xué)而言，廣義的問題包括例題和習(xí)題，貫穿于課堂教學(xué)的全過程。教師要注意創(chuàng)設(shè)有情境背景的核心問題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生探究新知；設(shè)計(jì)系列性的變式問題，引導(dǎo)學(xué)生把握本質(zhì)；設(shè)計(jì)不同樣例的分層問題，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；教師提問；情境問題；變式問題；分層問題

“善教者必善問?！睘榱烁玫赝怀鰧W(xué)生的主體地位，教師要善于提出問題，引導(dǎo)學(xué)生積極思考和探究，主動(dòng)建構(gòu)和發(fā)現(xiàn)，從而在解決問題的過程中獲取知識(shí)、形成能力——而不是一味地講授，讓學(xué)生被動(dòng)地接受。也就是說，教師要善于把教學(xué)內(nèi)容變成具有潛在意義（廣義）的問題，使學(xué)生更加充分地參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中——最好還能有所表現(xiàn)，從而讓教師在更加精準(zhǔn)的評價(jià)基礎(chǔ)上展開更有針對性的教學(xué)。這樣才能讓教學(xué)“活”起來、更有效。

那么，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師提出問題要注意些什么？就數(shù)學(xué)教學(xué)而言，廣義的問題包括例題和習(xí)題，貫穿于課堂教學(xué)的全過程。下面，以《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》新授課為例，談一談幾個(gè)基本的教學(xué)環(huán)節(jié)中可以提出怎樣的問題，來幫助學(xué)生有效學(xué)習(xí)。

一、 有情境背景的核心問題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生探究新知

數(shù)學(xué)新知教學(xué)，首先（也是關(guān)鍵）要提出問題，驅(qū)動(dòng)（引導(dǎo)）學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)（思考建構(gòu)）新知。這樣的問題可以是一系列問題，但是一般來說，有一個(gè)核心的驅(qū)動(dòng)性問題，其他是引導(dǎo)性追問。那么，提出這樣的問題（尤其是核心問題）要注意什么呢？最好有一定的情境背景，以體現(xiàn)知識(shí)產(chǎn)生的必要性（價(jià)值），并激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的求知欲（興趣）。這樣的情境背景雖然也可以是純數(shù)學(xué)的，但是最好是與現(xiàn)實(shí)生活或虛構(gòu)故事（尤其是熱門的、經(jīng)典的）相關(guān)的，從而讓抽象、枯燥的數(shù)學(xué)變得具象、生動(dòng)一些。同時(shí)要貼近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，即在學(xué)生已有認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上具有一定的挑戰(zhàn)性和啟發(fā)性，能引發(fā)認(rèn)知沖突和指引探究方向——后者有時(shí)不是核心問題的功能，而是連續(xù)、遞進(jìn)的追問的功能。

《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》新授課，筆者創(chuàng)設(shè)了這樣的情境問題：“話說豬八戒自西天取經(jīng)回到了高老莊，從高員外手里接下了高老莊集團(tuán)，搖身變成了CEO。可好景不長，便因資金周轉(zhuǎn)不靈而陷入了窘境，急需大量資金投入，于是就找孫悟空幫忙。悟空一口答應(yīng)：‘行！我每天投資100萬元，連續(xù)一個(gè)月（30天），但是有一個(gè)條件：作為回報(bào)，投資的第一天你必須返還我1元，第二天返還2元，第三天返還4元……即后一天返還數(shù)為前一天的2倍。’八戒聽了，心里打起了小算盤：‘第一天：支出1元，收入100萬；第二天：支出2元，收入100萬；第三天：支出4元，收入100萬元……哇，發(fā)財(cái)了！’心里越想越美，但再看悟空的表情，心里又嘀咕了：‘這猴子老是欺負(fù)我，這次會(huì)不會(huì)又在耍我？’八戒能接受悟空的投資條件嗎？”

這里，借助家喻戶曉的《西游記》故事人物和社會(huì)熱點(diǎn)的金融投資事件創(chuàng)設(shè)情境背景，引出求等比數(shù)列前n項(xiàng)和的核心問題，不僅體現(xiàn)了知識(shí)產(chǎn)生的必要性（價(jià)值），而且激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的求知欲（興趣）。同時(shí)，引出的核心問題有一定的挑戰(zhàn)性，而這個(gè)情境背景有一定的啟發(fā)性：2為公比的具體數(shù)列能啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)位相減法。教學(xué)中，教師可以通過引導(dǎo)性追問，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：對第2到n項(xiàng)的和（n≥2）提取公比q，即得前n-1項(xiàng)和，然后，利用Sn與Sn-1的遞推關(guān)系，可得Sn的關(guān)于a1、an+1、q的表達(dá)式。符號(hào)表達(dá)為：Sn=a1+a1q+a1q²+…+a1q^n-1=a1+q（a1+a1q+a1q²+…+a1q^n-2）=a1+qSn-1=a1+q（Sn-an）Sn=a1-an+11-q。進(jìn)而，可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這一推導(dǎo)方法的關(guān)鍵步驟是將Sn乘q，從而相減消去“中間項(xiàng)”（第2至n項(xiàng)）。由此，可以引出錯(cuò)位相減法。

二、 系列性的變式問題，引導(dǎo)學(xué)生把握本質(zhì)

數(shù)學(xué)是一門精確、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，而且具有很強(qiáng)的一般性和深刻性。數(shù)學(xué)知識(shí)有著精確的內(nèi)涵本質(zhì)和廣泛的運(yùn)用變化，難以一步到位地理解、掌握。學(xué)生發(fā)現(xiàn)（建構(gòu)）數(shù)學(xué)新知后，教師要注意設(shè)計(jì)一系列變式問題，由是（正確）到非（錯(cuò)誤）、由淺（特殊）入深（一般），幫助學(xué)生在不同運(yùn)用的比較中，逐步把握數(shù)學(xué)新知的本質(zhì)。

《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》新授課，引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)（思考建構(gòu)）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=a1-an+11-q=a1（1-qn）1-q后，筆者設(shè)計(jì)了這樣的一系列變式問題：

例1 求等比數(shù)列14，-12，1，…的前n項(xiàng)的和。

變式1 求等比數(shù)列14，-12，1，…從第6項(xiàng)到第10項(xiàng)的和。

變式2 求等比數(shù)列2，2，2，2，2，…的前n項(xiàng)的和。

變式3 求等比數(shù)列a，a2，a3，a4，…的前n項(xiàng)的和。

例1直接運(yùn)用公式求和即可。變式1也是直接運(yùn)用公式求和，但是，需要求兩次前若干項(xiàng)的和，然后作差得到從某一項(xiàng)到另一項(xiàng)的和——當(dāng)然，也可以重新確定從某一項(xiàng)到另一項(xiàng)的數(shù)列的首項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)，再基于公比不變，運(yùn)用公式求一次和。變式2能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，公比為1時(shí)，公式?jīng)]有意義，不能用來求和，但是，因?yàn)楦黜?xiàng)相等，所以可以用Sn=na1這個(gè)簡單的公式求和。變式3是更一般的情況（含字母參數(shù)），可引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，要分公比為1和公比不為1兩類情況討論。因此，這一系列變式問題能讓學(xué)生充分把握之前探究所得公式的本質(zhì)：真正意義上的等比數(shù)列（公比不為1）而非實(shí)際上是常數(shù)數(shù)列的等比數(shù)列（公比為1，也是等差數(shù)列）的前n項(xiàng)和公式。

三、 不同樣例的分層問題，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用

學(xué)生獲得新知、把握本質(zhì)后，練習(xí)解決一定數(shù)量的問題，以進(jìn)行鞏固、學(xué)會(huì)應(yīng)用，是必需的。此時(shí)，設(shè)計(jì)問題的關(guān)鍵是適當(dāng)分層，注意不同的難易性和綜合度。這樣，一方面可以更好地面向全體學(xué)生，關(guān)注個(gè)體差異，“使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”；另一方面可以更好地展示豐富側(cè)面，關(guān)注問題的典型性，通過不同樣例的學(xué)習(xí)，充分發(fā)展遷移應(yīng)用的能力。

《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》新授課，引導(dǎo)學(xué)生把握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的本質(zhì)后，筆者設(shè)計(jì)了這樣的（課內(nèi)）不同樣例分層問題：

1. 在等比數(shù)列an中，若a1=2，q=2，n=8，則前n項(xiàng)和Sn=""" 。

2. 求等比數(shù)列1，2a，4a2，8a3，…的前n項(xiàng)和Sn。

3. 已知an=2n-13ⁿ（n∈N^*），求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn。

4. 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=-94且4Sn+1=3Sn-9（n∈N^*），而數(shù)列bn滿足3bn+（n-4）an=0（n∈N^*）。

（1） 求bn的前n項(xiàng)和Tn；

（2） 若Tn≤λbn對任意的n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍。

第1題是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式最直接（最簡單）的應(yīng)用，雖然沒有像上述例1和變式1、2那樣給數(shù)列的前若干項(xiàng)，但是更加直接地給出了數(shù)列的首項(xiàng)、公比和項(xiàng)數(shù)。第2題則像上述變式3那樣給出了更一般的數(shù)列（含字母參數(shù)），同樣需要先求出公比并對其是否為1進(jìn)行討論，再利用相應(yīng)的公式求和。第3題讓等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)相乘，構(gòu)造新數(shù)列，求其前n項(xiàng)和，意在將錯(cuò)位相減法的應(yīng)用范圍推廣到更一般的情形。第4題則大幅度提升了綜合性，要求學(xué)生先通過前n項(xiàng)和的遞推關(guān)系求出數(shù)列an的通項(xiàng)（是等比數(shù)列），再根據(jù)通項(xiàng)之間的關(guān)系求出數(shù)列bn的通項(xiàng)（是等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列），由此，先利用錯(cuò)位相減法求出bn的前n項(xiàng)和，再根據(jù)bn的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的不等關(guān)系分離參數(shù)、求最值從而求出參數(shù)的取值范圍。可見，這四個(gè)問題（樣例）層次分明，同時(shí)相互關(guān)聯(lián)、依次遞進(jìn)，能讓學(xué)生初步體會(huì)到等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)方法的不同應(yīng)用側(cè)面以及豐富應(yīng)用價(jià)值。