段　勇　黃廷祝

摘要：本文探討了如何在線性代數(shù)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，從線性代數(shù)課程的主要性質(zhì)以及工科學(xué)生學(xué)習(xí)它的目的、研究型教學(xué)需要等方面探討數(shù)學(xué)建模思想融入教學(xué)，進(jìn)而分析如何在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想以及這種教學(xué)對(duì)教師的要求。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模思想；研究型教學(xué)；線性代數(shù)；教學(xué)改革

作為國(guó)家工科數(shù)學(xué)教學(xué)基地，電子科技大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院展開了一系列教學(xué)研討。作為國(guó)家精品課程，如何進(jìn)行“線性代數(shù)與空間解析幾何”這門課程的教學(xué)改革，特別是從培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的戰(zhàn)略角度將數(shù)學(xué)建模的思想融入該課程的教學(xué)當(dāng)中，將應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院的另一門國(guó)家精品課程“數(shù)學(xué)建模”的精華和“線性代數(shù)與空間解析幾何”充分結(jié)合，并立足于電子科技大學(xué)的辦學(xué)特色，以培養(yǎng)電子技術(shù)創(chuàng)新人才。

一、課程的重要性

“線性代數(shù)與空間解析幾何”是工科學(xué)生高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主干課程之一(微積分、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)為其他二門)。這門課程以矩陣、線性空間結(jié)構(gòu)及線性變換為基本研究對(duì)象，和微積分的顯著區(qū)別是：抽象以及和高中的數(shù)學(xué)截然不同，不像微積分同中學(xué)數(shù)學(xué)還有一定的關(guān)聯(lián)。課程的核心，正如通常的矩陣概念引入一樣，是研究線性代數(shù)方程組解的情況以及如何更快地求解線性代數(shù)方程組(特征值或矩陣的譜相關(guān))、線性空間結(jié)構(gòu)及線性變換。這樣一門抽象的課程對(duì)工科大學(xué)生的培養(yǎng)有何幫助呢?

1培養(yǎng)一種抽象思維方式。抽象思維的能力不管它是不是與生俱有的，但很確定的一點(diǎn)是，它是可以被訓(xùn)練的，方法之一就是通過(guò)線性代數(shù)等相關(guān)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)來(lái)培養(yǎng)。這門課程會(huì)告訴你n維空間，甚至一般的仿射空間，這些都超出了現(xiàn)實(shí)的直觀幾何范疇，實(shí)際上，要利用現(xiàn)在發(fā)達(dá)的計(jì)算機(jī)技術(shù)處理實(shí)際問(wèn)題，就必須將問(wèn)題抽象化，經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)處理后再回到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的處理上，這一點(diǎn)對(duì)工科類學(xué)生尤為重要。

2現(xiàn)代工程問(wèn)題的處理很大程度上在最后都?xì)w結(jié)為(大規(guī)模)線性代數(shù)方程組的求解，比如，雷達(dá)散射截面，復(fù)合材料的開發(fā)，大規(guī)模集成電路設(shè)計(jì)，信號(hào)處理，優(yōu)化設(shè)計(jì)等莫不需要求解線性代數(shù)方程組。以雷達(dá)散射截面的計(jì)算為例，不管是用有限差分，有限元或矩量法計(jì)算表面電流分布進(jìn)而計(jì)算雷達(dá)散射截面，都需要對(duì)連續(xù)問(wèn)題離散，并求解一個(gè)線性代數(shù)方程組。

當(dāng)然，由于學(xué)習(xí)時(shí)間和知識(shí)積累的限制，本科階段“線性代數(shù)與空間解析幾何”的內(nèi)容也只能局限于基本知識(shí)的講授，對(duì)于以后繼續(xù)從事科學(xué)研究的學(xué)生而言，這門課程可以為以后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)(比如“矩陣?yán)碚摗薄ⅰ皵?shù)值分析”等的學(xué)習(xí))和研究需要(如何提高計(jì)算效率)奠定基礎(chǔ)；而對(duì)于直接工作的學(xué)生而言，養(yǎng)成抽象、聚類及結(jié)構(gòu)的思維方式對(duì)工作也是大有裨益的。由此可見，這門課程的主要作用是培養(yǎng)學(xué)生的思維方式，并作為后繼專業(yè)課程的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

由于學(xué)生普遍覺得這門課程抽象且和以前的數(shù)學(xué)知識(shí)沒(méi)有聯(lián)系，從而學(xué)起來(lái)比較困難。根據(jù)教學(xué)實(shí)踐與經(jīng)驗(yàn)，我們認(rèn)為學(xué)生對(duì)諸如向量空間、特征值、線性變換、譜等抽象的代數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)普遍感到困難，而對(duì)于其在所學(xué)工程專業(yè)的應(yīng)用就更加不知。如何激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)，并能創(chuàng)造性地應(yīng)用于工程問(wèn)題是一個(gè)亟待研究和解決的重要問(wèn)題。我們認(rèn)為將數(shù)學(xué)建模思想融入“線性代數(shù)與空間解析幾何”的教學(xué)是一個(gè)值得倡導(dǎo)的可取方法。

二、數(shù)學(xué)建模思想融入教學(xué)

數(shù)學(xué)建模是對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析，建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)模型求解并用于實(shí)際問(wèn)題的處理，它可以訓(xùn)練學(xué)生分析問(wèn)題以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的有效方法，這也是其得到各方面廣泛關(guān)注，并迅速發(fā)展為我國(guó)高等數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域重要活動(dòng)的原因。

由前所述，線性代數(shù)這門課程具有高度抽象的特點(diǎn)，如果可以先用實(shí)際問(wèn)題讓學(xué)生分析，觀察問(wèn)題特點(diǎn)，討論并總結(jié)原因，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，就可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣以及對(duì)相關(guān)內(nèi)容的理解及應(yīng)用。而這一方法在教學(xué)中的融入可以采取二種方式：

第一種方法，參照數(shù)學(xué)建模的團(tuán)隊(duì)模式，采用分小組合作討論的方式對(duì)指定的問(wèn)題進(jìn)行分析，寫出報(bào)告并引出對(duì)新理論知識(shí)的需求。

現(xiàn)實(shí)問(wèn)題可以在生活中發(fā)現(xiàn)，也可以通過(guò)教師在科研活動(dòng)中的積累而得。比如，在講授矩陣特征值和特征向量時(shí)可以讓學(xué)生組成學(xué)習(xí)小組先分析下面的現(xiàn)象：

一種昆蟲，第一組為幼蟲(不產(chǎn)卵)，第二組每個(gè)成蟲在兩周內(nèi)平均產(chǎn)卵100個(gè)，第三組每個(gè)成蟲在兩周內(nèi)平均產(chǎn)卵150個(gè)。假設(shè)每個(gè)卵的成活率為0.09，第一組和第二組的昆蟲能順利進(jìn)入下一個(gè)成蟲組的存活率分別為0.1和0.2。假設(shè)現(xiàn)有三個(gè)組的昆蟲各100只，計(jì)算第2周、第4周、第6周后各個(gè)周齡的昆蟲數(shù)目，并考慮下面問(wèn)題：

(1)以兩周為一時(shí)間段，分析這種昆蟲各周齡組數(shù)目演變趨勢(shì)。在兩個(gè)相鄰的時(shí)間段，各周齡組的昆蟲數(shù)目變化的比例是否有一個(gè)穩(wěn)定值?昆蟲數(shù)目是無(wú)限增長(zhǎng)還是趨于滅亡?原因是什么?

(2)如果使用一種除蟲劑可以控制昆蟲的數(shù)目，使得各組昆蟲的成活率減半，問(wèn)這種除蟲劑是否有效?

這種問(wèn)題也可針對(duì)外來(lái)物種入侵，如喜量蓮子草、飛蛾等，而這些是農(nóng)業(yè)，林業(yè)及衛(wèi)生防疫部門關(guān)心的問(wèn)題(當(dāng)然，這也和數(shù)值線性代數(shù)密切相關(guān)，而這正是大多數(shù)工程問(wèn)題需要的重要工具)。這樣做的目的是：

(1)學(xué)生可以通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題建立學(xué)習(xí)新的線性代數(shù)理論知識(shí)的興趣，并通過(guò)實(shí)踐過(guò)程學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，建立信心，通過(guò)將自己的觀點(diǎn)在小組闡述，提高分析及解決問(wèn)題以及表達(dá)自己觀點(diǎn)的能力。

(2)通過(guò)團(tuán)隊(duì)討論學(xué)會(huì)團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神并合作完成報(bào)告，提高寫作技巧和自我表達(dá)能力。這種報(bào)告需要充分展現(xiàn)自己的觀點(diǎn)，仔細(xì)的寫作，這些對(duì)今后在職業(yè)生涯中的創(chuàng)造性表現(xiàn)都大有幫助。由于要利用計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件(如MATLAB)，這可以幫助他們建立抽象數(shù)學(xué)和可視化的聯(lián)系，實(shí)際上先做可視化模擬，再建立抽象理論已經(jīng)是科學(xué)研究的一條重要途徑。

(3)學(xué)生可以更深入的了解線性代數(shù)的三個(gè)基本成分(理論，計(jì)算，應(yīng)用)，了解矩陣和線性代數(shù)的優(yōu)美，并樂(lè)于接受新的理論以及將其用于實(shí)際問(wèn)題的分析及探討上。

(4)學(xué)與思的結(jié)合是最好的學(xué)習(xí)方法。通過(guò)這種教學(xué)，學(xué)生必須要搜索所學(xué)的知識(shí)，從而使零散的知識(shí)系統(tǒng)化。

這種方法在一定程度上會(huì)影響課程內(nèi)容的講授，如果學(xué)時(shí)不夠，班級(jí)人數(shù)過(guò)多，就更加難以實(shí)現(xiàn)。電子科技大學(xué)秉著培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的理念，已經(jīng)開始了這方面的嘗試。

第二種方法，在課堂講授時(shí)適當(dāng)列舉一些和所講內(nèi)容相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。

仍以特征值的教學(xué)為例，上面的昆蟲繁衍問(wèn)題就可以花一點(diǎn)時(shí)間講解，而對(duì)于工科學(xué)生而言，可以列舉的同其專業(yè)相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題就更多了，這點(diǎn)可以在前面闡述的線性代數(shù)課程扮演的角色中可以找到。

無(wú)論是哪一種教學(xué)方法，都要求教師在備課中了解及準(zhǔn)備這方面的素材。這方面的材料可以從很多的專業(yè)教材上獲得。如果平時(shí)的科研工作有交叉學(xué)科的背景，在選用問(wèn)題時(shí)更可以得心應(yīng)手。這實(shí)際上就要求教學(xué)和科研的充分結(jié)合。

本科教學(xué)過(guò)程具有很強(qiáng)的探索性，它不僅要傳授知識(shí)，傳承文明，還擔(dān)負(fù)著發(fā)現(xiàn)未知和培養(yǎng)學(xué)生探求新知能力的任務(wù)。因此，本科教學(xué)過(guò)程本身就蘊(yùn)含著教學(xué)與科研兩種因素，兩者是緊密結(jié)合在一起的?？蒲泄ぷ鲿?huì)使教師形成一種特殊的精神氣質(zhì)，包括創(chuàng)新意識(shí)、實(shí)踐精神、好奇心和進(jìn)取心、獨(dú)立探索的自覺性以及懷疑精神等。經(jīng)常開展科學(xué)研究的教師，由于在開展科研的過(guò)程中必然要查閱大量的文獻(xiàn)資料，了解現(xiàn)階段本專業(yè)方向上的最新發(fā)展動(dòng)態(tài)。比如，通過(guò)“計(jì)算電磁學(xué)中大規(guī)模線性代數(shù)方程組的高效求解技術(shù)”討論班，很多線性代數(shù)課程教師便了解了線性代數(shù)在經(jīng)典物理問(wèn)題數(shù)值求解中的應(yīng)用，因此，在舉出和所講的“線性代數(shù)與空間解析幾何”知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的應(yīng)用例子時(shí)更可以得心應(yīng)手。簡(jiǎn)言之，課堂教學(xué)會(huì)更有彈性，更有引力和說(shuō)服力。

綜上所述，在“線性代數(shù)與空間解析幾何”教學(xué)中貫穿數(shù)學(xué)建模思想，等于教給學(xué)生一種好的思想方法，更是給學(xué)生一把開啟成功大門的鑰匙，為學(xué)生架起一座從數(shù)學(xué)知識(shí)到實(shí)際問(wèn)題的橋梁，使學(xué)生能靈活地根據(jù)實(shí)際問(wèn)題構(gòu)建出合理的數(shù)學(xué)模型，得心應(yīng)手地解決問(wèn)題?？傊?，數(shù)學(xué)建模的思想和方法已經(jīng)并將越來(lái)越受到教育界、工業(yè)界等社會(huì)各方的重視。如何能更有效地將數(shù)學(xué)建模思想融入大學(xué)數(shù)學(xué)教育是一個(gè)有待深入研究和實(shí)踐的工作。我們認(rèn)為以科研工作為基礎(chǔ)，在教學(xué)工作中融入數(shù)學(xué)建模思想是一條較好的途徑。因?yàn)樗芘囵B(yǎng)學(xué)生觀察、閱讀、分析、討論、判斷、推理能力；能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力；能使學(xué)生接受到潛移默化的科學(xué)研究方式方法的教育，使學(xué)生養(yǎng)成良好的設(shè)計(jì)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的習(xí)慣，為今后在具體工作崗位上為社會(huì)作貢獻(xiàn)奠定基礎(chǔ)。

[責(zé)任編輯：文和平]