龔立明

古希臘科學家阿基米得闡述杠桿原理用了這樣一句流傳千古的名言：“給我一個支點，我就能撬起地球!”

要真想撬起整個地球，談何容易!科學家經(jīng)過分析，如果找到讓我們設想阿基米得真的找到了另一個地球做支點，再設想他也做成了一根夠長的杠桿。哪怕只舉起1cm，至少要30萬億年!

所以我們不撬地球，但不可否認的是，如果找到了合適的支點，真可撬起整個地球。支點的作用可真大!自然界的難事幾乎都通過小小的支點實現(xiàn)或省時，或省力。于是我想到了學生不喜歡上數(shù)學概念課，因為概念很抽象，不像計算那樣有立竿見影的成功體驗，往往聽之全懂，想之半懂，做之不懂；概念很乏味，不像解決問題那樣趣味性強、生活味濃。而對概念的理解和掌握，關系到學生計算能力和邏輯思維能力的培養(yǎng)，關系到學生解決實際問題的能力和對學習數(shù)學的興趣。因此，理解概念的本質(zhì)屬性的意義不亞于科學家“撬”起地球。教師要善于尋找“撬”起概念的支點，省時省力地掌握概念是學生數(shù)學學習可持續(xù)性發(fā)展的需要。

支點之一：原始思維

原始思維是指未經(jīng)過教授而自然形成的思維形式，對客觀事物的反映中加入許多感情和愿望的因素，具有自發(fā)性、真實性、模糊性、不完整性。對于概念的探究，學生有自己的思維導向和特點，它們頭腦中的概念并不是嚴謹抽象的。如何以原始思維為支點，讓學生理解概念的內(nèi)涵呢?

如四年級“三角形的分類”一課，教師出示：

請你用自己的理解給上面的三角形分類。從認知水平分析，學生基本上按角分，按邊分不太容易想得到。

分類的目的不僅僅是為了歸類，更重要的是研究這些名稱是如何命名的?大多數(shù)學生都得出：

一個角是直角，另外兩個角是銳角的三角形是直角三角形：

一個角是鈍角，另外兩個角是銳角的三角形是鈍角三角形；

三個角都是銳角的三角形是銳角三角形。

學生在最初表述概念時往往不抓個性，而是共性和個性一起抓，這些觀點都是對三角形的原始思維，往往就是抽象的前序。為了“撬”起特征鮮明的概念，教師拋出一個很具思維含量的問題：同學們，直角三角形、鈍角三角形要不要說得這樣詳細呢?

于是在討論中學生發(fā)現(xiàn)：一個三角形中只能有一個直角或鈍角，所以有一個角是直角的三角形是直角三角形，有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形。

教師繼續(xù)問：有一個角是銳角的三角形就是銳角三角形，你們覺得對嗎?

生：不行，銳角三角形有三個銳角，所以必須說清三個角是銳角。

學生領悟到，每個三角形中至少有兩個銳角，而銳角三角形必須是三個銳角。

這樣從原始到抽象的進程，也是學生自己對自己想法的多次辯證；利用原始思維去理解概念，與學生原有思維程序的銜接更加緊密，也符合從最近發(fā)展區(qū)教學的原理。

支點之二：分步遞進

數(shù)學概念是從客觀現(xiàn)實中抽象出來的，本質(zhì)屬性是構成這一事物、區(qū)別于其他事物的根本特征。三角形的三邊關系是小學階段新加的內(nèi)容，目的是使學生對三角形的理解更加深刻，我分了幾個層次進行教學：

第一層次，小組合作，動手操作。

以四人小組為單位，給每個小組發(fā)一套三角形小棒，讓學生動手擺一擺，看看那些能拼成三角形。小棒的長度(厘米)為：(1)6、7、8(2)4、5、9o)3、6、10(4)2、8、9

這時學生的操作都是盲目的，因為教師的指令沒有指向性。但在結果中困惑：有的能拼成三角形。有的拼不成三角形。這是為什么呢?

第二層次，教師把學生的情況填寫在表格里。

學生會出現(xiàn)兩種情況：6、7、8和2、8、9拼成，4、5、9和3、6、9拼不成。

先討論能拼成的情況。讓學生觀察表格，教師問：“什么能拼成?學生邊說，教師寫清分析過程：因為6+7>8，6+8>7，8+7>6，所以6、7、8一組能拼成。2、8、9也能拼成，因為2+9>8，9+8>2，8+2>9。學生初步感知三角形的其中兩條邊都大干第三條邊。

再討論不能拼成的情況，為了更清晰地形成概念，我再次通過媒體展示，學生發(fā)現(xiàn)：兩邊之和小于第三邊的不能連接??；兩邊之和等于第三邊不會產(chǎn)生三個角。

第三層次，總結規(guī)律。

教師問“怎么樣的三角形的邊才能拼成三角形?你能用一句話總結出規(guī)律嗎?”

學生在自己整理數(shù)據(jù)中，通過觀察發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。通過總結，使學生在頭腦中有一個清晰的數(shù)學結構。為了充分說明概念，第四個層次時安排驗證三角形邊的關系在三角形中的普遍陸，教師舉例4、4、6和5、5、5，讓學生們討論特殊性，覆蓋知識的整體；再引導學生通過量一量、算一算、比一比課前自定邊長做的三角形如在釘子板圍的、紙上畫的、用小棒搭的或用紙折的等進行驗證。通過這樣把支點架在有遞進關系的幾個層次上，使學生對于“任意三角形兩條邊大于第三邊”概念有了本質(zhì)的理解。

支點之三：溝通新舊

數(shù)學中的一些概念是相互聯(lián)系的，既有相同點，又有不同之處。有比較才有鑒別，對比是建立概念的一種好方法。有些學生雖然能背出概念，但碰到具體問題，就不會區(qū)分或作出錯誤的判斷。如質(zhì)數(shù)和互質(zhì)數(shù)，質(zhì)數(shù)是根據(jù)一個數(shù)本身因數(shù)的個數(shù)來確定的，而互質(zhì)數(shù)是根據(jù)兩個數(shù)是否有公因數(shù)1來確定的。對一些相鄰、相近和容易混淆的概念，出一些習題讓學生進行判斷、選擇，這樣既鞏固了概念，也發(fā)展了學生的判斷能力。為了說明“0”占位的問題，在“1000以內(nèi)數(shù)的認識”一課教學中，教師可以引導學生對比0在個位上和十位上的讀法，學生漸漸明白：數(shù)位上沒有數(shù)，都用0占位，但意義不同。為了發(fā)展學生的綜合能力，在課的最后，教師利用小蝸牛背數(shù)字的游戲：_____、_____700_____ ，啟發(fā)學生在多種填法的對比中加強對一個一個數(shù)和幾個幾個數(shù)的靈活運用能力。

為了溝通新舊知識之間的聯(lián)系，概念教學中經(jīng)常采用回旋的教學手法保持課堂的“鮮味”。如上例的“三角形三邊關系”的練習中，我在第一個基本練習中出示：

判斷下面各組小棒(單位：厘米)能不能拼成三角形。

1.3、4、52.3、2、23.3、3、54.2、6、2

有的學生很快能得出答案。

我問：“為什么你能這么快得出答案?”

學生：“我只要算較短的兩條邊3+4>5就能判斷出。”

師：“真的只要判斷較短兩條邊大干第三邊就能判斷了，請你驗證一下其他三題?”

學生通過計算發(fā)現(xiàn)都可以。

這時教師開始回旋：“那么剛才表格中的這些方法是不是也符合你的意見呢?”

在這里引導出判斷三條邊能不能組成三角形的一種更好的方法：只要較短的兩邊大于第三邊。學數(shù)學就是要巧學妙用，教師又結合剛才學習過程中任意三邊關系的方法中不斷地進行提升，這是對原有概念的大力充實，體現(xiàn)了他們的創(chuàng)新思維。

支點之四：創(chuàng)建模型

“數(shù)學是關于模式的科學?！币虼藢W生學習數(shù)學的過程可以這樣去理解：先把現(xiàn)實情境充分抽象化、形式化、符號化，構建相應的數(shù)學模型，然后運用數(shù)學模型回應生活解決問題，同時也修改完善數(shù)學模型。數(shù)學模型是學生進行數(shù)學思維的憑借物，用“物”做支點，概念就變得觸手可摸，動手可做，就會變得更加具體化，把傳統(tǒng)的說概念變?yōu)樽龈拍睢?/p>

求兩個數(shù)如12、18的最大公因數(shù)，教師往往通過羅列法先各自求出因數(shù)，然后尋找公因數(shù)，再找公因數(shù)中最大的一個。然后教師總會抽象成一個右邊的數(shù)學模型：

從文字到圖1是一個數(shù)學簡約化的過程，而從圖1到圖2則是引導學生建立數(shù)學模型的過程。圖2正是在圖1的基礎上把兩個集合合并成一個集合，讓學生理解重疊部分就是公因數(shù)，最大一個就是最大公因數(shù)。其實這樣的學習不僅僅是為了公因數(shù)，而是在滲透交集思想，讓學生明白公共一塊既屬于12，也屬于18。而對于這一部分學生也不陌生，在三年級時已經(jīng)學過這樣的內(nèi)容，現(xiàn)在正是應用了這一思想方法解決公因數(shù)的問題，對于建立公因數(shù)的概念非常形象和具說服力。因此，數(shù)學模型的建立要符合學生的思維方式和現(xiàn)有水平，韋恩圖確實是一種好方法。但事實上，我們完全在此基礎上深化到使用短除法，可以省時省力，學生樂于接受。

如何去“撬”概念就需要教師在教學中尋找到恰到好處的支點。俗話說：四兩撥千斤。如何利用最小點去支起概念的局部結構，進而形成數(shù)學的整座大廈，教師要增強架支點的本領，掌握架支點的藝術，探索支的方式，“撬”起概念教學的新思路!