謝永波

摘 要 “運(yùn)算定律與簡(jiǎn)便計(jì)算”是人教版教材第八冊(cè)的內(nèi)容，主要包括加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律，乘法分配律，以及這些運(yùn)算定律的簡(jiǎn)單運(yùn)用。在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生普遍出現(xiàn)“一學(xué)就會(huì)，一做就錯(cuò)”，“簡(jiǎn)便不簡(jiǎn)單”的現(xiàn)象。于是筆者重審教材，回望教學(xué)。下文筆者側(cè)重以變化形式多，學(xué)生最難以掌握的乘法分配律教學(xué)為例，談?wù)勗诮虒W(xué)中的一些思考與實(shí)踐。

關(guān)鍵詞 運(yùn)算定律 簡(jiǎn)便計(jì)算 探索

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Teaching with Operation Laws, out of the Realm of the "Lost"

——Exploration and Re-thinking about "Operation law and simple calculation"

XIE Yongbo

(Ningbo Zhenhai Jiaochuan Central School, Ningbo, Zhejiang 315200)

Abstract "Operation law and the simple calculation" is PEP eighth volumes of the textbook content, including the addition commutative, associative law of addition, multiplication, commutative, associative law of multiplication, multiplication distributive law, and the simple use of the law of computing. In teaching, the author found that students were generally "To learn, one can do wrong" and "simple but not easy" phenomenon. So I retried the materials, look back to teaching. Below, the author focus on variations, the most difficult for students to grasp the distributive property of multiplication for example, talks about some of the thinking and practice in teaching.

Key words operation law; simple calculation; exploration

叩問(wèn)一：教材整體如何編排——編者意圖何在？

關(guān)鍵詞1：新舊對(duì)比，集中靈活。

從上表中可看出該塊內(nèi)容在浙教版教材中是分散學(xué)習(xí)的,且對(duì)前幾冊(cè)學(xué)習(xí)過(guò)的四則運(yùn)算知識(shí)進(jìn)行較為系統(tǒng)的概括和總結(jié)。而人教版教材打破了以往的格局，安排了“四則運(yùn)算”和“運(yùn)算定律與簡(jiǎn)便運(yùn)算”兩個(gè)單元。這樣集中編排有利于學(xué)生形成完整的知識(shí)體系。此外，教材中對(duì)計(jì)算題的要求由過(guò)去 “能簡(jiǎn)便的一定要簡(jiǎn)便計(jì)算”，轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)在“計(jì)算下面各題，怎樣簡(jiǎn)便怎樣算。”學(xué)生可以自由靈活地選擇合適方法進(jìn)行計(jì)算。

關(guān)鍵詞2：前后聯(lián)系，承上啟下。

學(xué)生在前面幾冊(cè)的學(xué)習(xí)中多次滲透了運(yùn)算律的思想,接觸過(guò)大量的例子，如加減法的驗(yàn)算、兩位數(shù)乘兩位數(shù)等，已經(jīng)有了一些直觀的體驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)，尤其是對(duì)于加法、乘法的可交換性、可結(jié)合性，這些經(jīng)驗(yàn)構(gòu)成了本單元知識(shí)的認(rèn)知基礎(chǔ)。且本單元學(xué)習(xí)的五條運(yùn)算定律，是進(jìn)行運(yùn)算的基礎(chǔ)，不僅適用于整數(shù)的加法和乘法，也是今后學(xué)習(xí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算，甚至是初中有理數(shù)的四則混合運(yùn)算、式的運(yùn)算的基礎(chǔ)。因此，這部分內(nèi)容在整個(gè)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，占據(jù)著承上啟下的重要地位。

叩問(wèn)二：如何教學(xué)運(yùn)算定律—— 熟練敘述是終極目標(biāo)嗎？

關(guān)鍵詞：水到渠成，構(gòu)建模型。

“意到”亦要“言到”，“言到”更要“意到”。學(xué)生只有真正理解規(guī)律內(nèi)涵，才能用自己的語(yǔ)言準(zhǔn)確描述，達(dá)到言到與意到的水乳交融。而大部分學(xué)生卻缺失對(duì)規(guī)律的理解，不能清晰地用語(yǔ)言來(lái)描述規(guī)律。因而在探索運(yùn)算律教學(xué)中，教師必須提供學(xué)生充分思考和交流的時(shí)間，讓他們用自己的語(yǔ)言表達(dá)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解釋公式的含義，經(jīng)歷從感性到理性、從具體到抽象的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，從而促使學(xué)生真正理解每一種運(yùn)算定律。

策略1：扣經(jīng)驗(yàn)，找起點(diǎn)。

知識(shí)經(jīng)驗(yàn)：教學(xué)應(yīng)注重學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，找到知識(shí)的起點(diǎn)，經(jīng)過(guò)同化和順應(yīng)，構(gòu)建認(rèn)知的結(jié)構(gòu)。如教學(xué)乘法分配律時(shí)，學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)是“幾個(gè)幾”,這也是乘法分配律的核心所在。學(xué)生在二年級(jí)時(shí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法的意義，在后繼教材中也都有所孕伏、滲透。因此教師可以把這個(gè)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為學(xué)習(xí)乘法分配律的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，從伊始，就可引導(dǎo)學(xué)生用這種經(jīng)驗(yàn)來(lái)解釋“等式左右兩邊為什么會(huì)相等？”如：（4 + 2）?5 = 4?5 + 2?5，左邊共有6個(gè)25，右邊4個(gè)25加2個(gè)25也是6個(gè)25。逆向說(shuō)也成立。教學(xué)只有植根于定律的意義理解，對(duì)算式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的把握才能水到渠成。

生活經(jīng)驗(yàn)：借助生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)幫助學(xué)生理解乘法分配律。如果一件上衣120元，一條褲子80元，5套衣服需要多少錢？學(xué)生列出算式：120? + 80?和（120 + 80）?”。教師依托“一件上衣和一條褲子稱為一套衣服，5件上衣和5條褲子可以組成5套衣服”幫助學(xué)生理解 （120 + 80）?=120?＋80?這一乘法分配律最基本的模式。

策略2：抓本質(zhì)，建模型。

小學(xué)生的直觀形象思維占優(yōu)勢(shì)，對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)往往是先從表象開始，再逐步由表及里地去認(rèn)識(shí)知識(shí)本質(zhì)的。教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生先從算式外形結(jié)構(gòu)入手，再逐步認(rèn)識(shí)本質(zhì)，構(gòu)建運(yùn)算律的模型。如教學(xué)乘法分配律時(shí)，得到等式（120 + 80）? = 120?+80?，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生比較左右兩個(gè)算式有何異同？如生只說(shuō)出“左邊算式是先算括號(hào)里的加法，再算乘法；右邊算式是先算兩個(gè)乘法，再加起來(lái)。因?yàn)檫@點(diǎn)不同只是從外形上，還應(yīng)繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到左邊是兩個(gè)數(shù)的和滓桓鍪；右邊是兩積求和。也就是說(shuō)：“和滓桓鍪?兩積求和。”這才是構(gòu)建乘法分配律的關(guān)鍵，我們可以由此基礎(chǔ)繼續(xù)討論讓學(xué)生總結(jié)出乘法分配律。這樣才是真正理清運(yùn)算律的本質(zhì)內(nèi)涵，才能建立起相對(duì)清晰的運(yùn)算律的模式。

叩問(wèn)三：如何熟練運(yùn)用運(yùn)算律—— 模式運(yùn)用是精髓嗎？

關(guān)鍵詞1：多管齊下，理解模型。

學(xué)生只有充分理解運(yùn)算律，才能靈活準(zhǔn)確地應(yīng)用。因此教師應(yīng)將教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)放在如何讓學(xué)生深入理解運(yùn)算律的意義上，而不是放在如何讓學(xué)生盡快應(yīng)用模型，達(dá)到它的計(jì)算功能上。只有多管齊下，理解模型，才能避免盲目模仿。

策略①： 數(shù)形結(jié)合，突破難點(diǎn)。

“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微?！眴螒{講解來(lái)理解運(yùn)算律算理比較抽象。教師可借助“數(shù)形結(jié)合”思想解決難點(diǎn)。如針對(duì)學(xué)生在運(yùn)用乘法分配律時(shí)中?！奥┏恕钡默F(xiàn)象：25?40 + 4) = 25?0 + 4，可借助圖形幫助學(xué)生分析，求出的不是大長(zhǎng)方形的面積，而是左邊長(zhǎng)方形的面積加上1條寬的長(zhǎng)度，無(wú)意義。這樣借助圖形幫助學(xué)生思考數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，有助于發(fā)展學(xué)生的形象思維，有效避免類似的錯(cuò)誤再次發(fā)生。

策略②： 建立聯(lián)系，遷移貫通。

引導(dǎo)學(xué)生回憶以前學(xué)習(xí)的知識(shí)，它與乘法分配律有什么聯(lián)系。如乘法豎式的計(jì)算過(guò)程如圖：

這個(gè)過(guò)程用模型解釋即54?3 = 54祝?0 + 3） = 54?0 +54 ?。通過(guò)知識(shí)的正遷移使學(xué)生更深刻地理解分配律，從而突出數(shù)學(xué)知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系以及數(shù)學(xué)原理的應(yīng)用價(jià)值。在后續(xù)學(xué)習(xí)中還要將整數(shù)范圍的運(yùn)算律遷移到小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算中，以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪m應(yīng)性，培養(yǎng)學(xué)生合情推理的能力。整個(gè)過(guò)程學(xué)生處于探究之中，不是純粹的數(shù)與數(shù)之間的運(yùn)算游戲，而是將算式與實(shí)際問(wèn)題相聯(lián)結(jié)，使運(yùn)算律教學(xué)更有意義。

關(guān)鍵詞2：融匯貫通，鞏固模型。

策略① ：培養(yǎng)數(shù)感，提高感知。

數(shù)感是指對(duì)數(shù)的含義、計(jì)數(shù)技能、數(shù)的順序大小、數(shù)的多種表達(dá)方法、模式、數(shù)運(yùn)算及結(jié)果的準(zhǔn)確感知和理解等。數(shù)感是有效地進(jìn)行計(jì)算等數(shù)學(xué)活動(dòng)的基礎(chǔ)，因此培養(yǎng)數(shù)感，能提高簡(jiǎn)便計(jì)算中的習(xí)題感悟能力。針對(duì)這一內(nèi)容，最直接的方法是引導(dǎo)學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上熟記一些常見的數(shù)據(jù)，如“25? = 100”，“125? = 1000”，“5與任何偶數(shù)可以湊整”等。又如看到99想到100-1，同樣看到101想到100+1，這些數(shù)據(jù)特征鮮明，標(biāo)志清晰，掌握這些特殊數(shù)據(jù)既能提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)算條件的能力，又能提高簡(jiǎn)算的運(yùn)算速度與準(zhǔn)確性，同時(shí)當(dāng)然也要加強(qiáng)口算的熟練度。

策略②： 題組對(duì)比，加強(qiáng)辨析。

適當(dāng)將同類或類似的內(nèi)容安排一起，通過(guò)相似計(jì)算的算法比較分析，理解本質(zhì)意義，掌握知識(shí)間的聯(lián)系與區(qū)別，從而有效地排除計(jì)算中的負(fù)遷移。

如圖這類題目借助對(duì)比，旨讓學(xué)生重尋意義本源，進(jìn)一步深化定律內(nèi)涵，同時(shí)舉一反三，融會(huì)貫通，重組認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如教師以乘法分配律的基本公式為基礎(chǔ)，進(jìn)行變式，并將一些易混淆的題目組成題組，通過(guò)對(duì)比讓學(xué)生掌握本質(zhì)。如“42?01”表示101個(gè)2是多少，可以先算100 個(gè)42是4200，再加上1個(gè)42 ；“42?9”表示42個(gè)99是多少，可以先算100個(gè)42是4200，再減去1個(gè)42。這樣既進(jìn)行了算式意義上的區(qū)分，又在內(nèi)涵上架起了原式與乘法分配律的內(nèi)在聯(lián)系。教學(xué)“42?9 + 42和42?0142同樣如此，這樣意義上的理解遠(yuǎn)勝與形式上的模仿。又如在教學(xué)連除的簡(jiǎn)便算法，可將連減和連除聯(lián)系起來(lái)對(duì)比學(xué)習(xí)，更能發(fā)揮學(xué)生的知識(shí)遷徙能力。

而第二組題目借助對(duì)比，既可澄清各種運(yùn)算定律之間的區(qū)別，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)清運(yùn)算定律的本質(zhì)；又可培養(yǎng)學(xué)生先觀察后動(dòng)筆的學(xué)習(xí)習(xí)慣，靈活運(yùn)用運(yùn)算定律進(jìn)行計(jì)算。 如學(xué)生總是對(duì)乘法結(jié)合律和乘法分配律的運(yùn)用分不清，我利用第一組題目先讓學(xué)生觀察這兩題的異同處，并計(jì)算結(jié)果。最后擦去兩個(gè)括號(hào)，再計(jì)算出結(jié)果。通過(guò)兩次計(jì)算對(duì)比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)前者連乘的括號(hào)去掉不改變算式的結(jié)果，而后者另不然。這樣學(xué)生對(duì)各知識(shí)間本質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別有了更清醒的認(rèn)識(shí)，減少錯(cuò)誤率。

策略③：掃描錯(cuò)誤，尋求突破。

錯(cuò)誤是學(xué)生思想經(jīng)驗(yàn)的最真實(shí)的暴露，錯(cuò)誤是一種教學(xué)資源，教師要善用錯(cuò)誤資源，讓學(xué)生在經(jīng)歷“出錯(cuò)”和“糾錯(cuò)”的過(guò)程中，形成正確的算法，防止負(fù)遷移。因此在教學(xué)中我要求學(xué)生在訂正作業(yè)時(shí)進(jìn)行自我反思。

劃：劃出做錯(cuò)的地方。唯有找到錯(cuò)處，才會(huì)對(duì)問(wèn)題有新認(rèn)識(shí)。 （下轉(zhuǎn)第254頁(yè)）（上接第145頁(yè)）

思：找到錯(cuò)誤的直接原因后，進(jìn)行自我分析反思。

記：記錄錯(cuò)題在《錯(cuò)題本》中。讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的不足，對(duì)癥下藥，及時(shí)改正學(xué)習(xí)方法，同時(shí)增強(qiáng)對(duì)同類錯(cuò)誤的免疫力。下面我收集整理的常見而易錯(cuò)題型：

策略④：合理拓展，深化教材。

分析乘法分配律的“錯(cuò)誤集群”，重審教材，發(fā)現(xiàn)教材中對(duì)于乘法分配律教學(xué)內(nèi)容編排的不足，概念表述的局限性，如下圖：

一是概念表述只有“乘加”類型的體現(xiàn)，“乘減”類型只有在后面的習(xí)題中少量呈現(xiàn)，如“265?05265?”；二是概念中只呈現(xiàn)了兩個(gè)數(shù)和一個(gè)數(shù)相乘，而在實(shí)際運(yùn)用中也會(huì)出現(xiàn)多個(gè)數(shù)與一個(gè)數(shù)相乘的分配現(xiàn)象。這樣的概念表述會(huì)讓經(jīng)驗(yàn)不足或者沒有認(rèn)真研究教材的教師存在教學(xué)空白，對(duì)乘法分配律的理解有限而導(dǎo)致錯(cuò)誤發(fā)生。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)通過(guò)不同類型的引導(dǎo)學(xué)習(xí)讓學(xué)生理解、歸納出完整的乘法分配律的概念：幾個(gè)數(shù)的和或差與一個(gè)數(shù)相乘，可以把這幾個(gè)數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再相加或者相減，結(jié)果不變。

任何教學(xué)都應(yīng)促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。教學(xué)時(shí)，我們不應(yīng)忽略運(yùn)算律的探索過(guò)程，而滿足于讓學(xué)生記住一些形式化的結(jié)論；我們不應(yīng)熱衷于技巧的指導(dǎo)與訓(xùn)練，而忘記將計(jì)算教學(xué)與解決實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合。我們應(yīng)孜孜不倦追尋運(yùn)算定律的真正價(jià)值，讓運(yùn)算定律學(xué)習(xí)成為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的支撐，讓運(yùn)算定律運(yùn)用成為培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性和擁有優(yōu)化解決問(wèn)題策略的基石，讓運(yùn)算定律教學(xué)發(fā)揮它獨(dú)特的魅力。