李興江

摘 要： 數(shù)學思想方法教學是素質教育的重要組成部分。本文在論述了數(shù)學思想、數(shù)學方法及其相互關系的基礎上，探討了加強數(shù)學思想方法教學的意義，提出了在知識發(fā)生過程中滲透數(shù)學思想、在知識的總結過程中提煉數(shù)學思想、在問題解決過程中深化數(shù)學思想的教學策略。

關鍵詞： 數(shù)學思想 數(shù)學方法 高中數(shù)學教學

數(shù)學思想是數(shù)學知識的靈魂與精髓。沒有不包括數(shù)學思想的數(shù)學知識，也沒有游離于數(shù)學知識之外的數(shù)學思想?！稊?shù)學教學大綱》和《數(shù)學課程標準》把數(shù)學思想方法納入基礎知識的教學范圍。通過近幾年的高考，我們發(fā)現(xiàn)對數(shù)學思想方法的考查越來越多，也越來越受到教育工作者的重視。目前，研究數(shù)學思想方法的文獻不少，但是在數(shù)學教學過程中，究竟如何強化數(shù)學思想方法教學，仍需進一步研究。本文在論述數(shù)學思想、數(shù)學方法及其相互關系和數(shù)學思想方法教學意義的基礎上，著重探討中學數(shù)學教學中強化數(shù)學思想方法教學的策略。

1.數(shù)學思想、數(shù)學方法及其相互關系

數(shù)學思想是分析、處理和解決數(shù)學問題的根本想法，是對數(shù)學規(guī)律的理性認識。中學數(shù)學中，數(shù)學思想主要有數(shù)學符號與變元思想、集合與對應思想、數(shù)形結合思想、類比與歸納思想、化歸思想等。數(shù)學方法是分析、處理和解決數(shù)學問題的策略。數(shù)學方法分為兩類：一類是理論形成的方法，如觀察、實驗、歸納、類比、一般化和特殊化等方法。另一類是解決實際問題的方法，如代入、消元、換元、降次、配方、待定系數(shù)、分析和綜合等方法。數(shù)學方法是數(shù)學思想在數(shù)學認識活動中的具體反映和體現(xiàn)，是處理探索解決數(shù)學問題、實現(xiàn)數(shù)學思想的手段和工具。數(shù)學思想是數(shù)學方法的理論基礎，是其精神的實質，它指導數(shù)學方法運用的方向?！皵?shù)學思想”和“數(shù)學方法”常常聯(lián)系在一起，一般來說，對于同一個數(shù)學成就，當人們用于解決問題時，稱之為數(shù)學方法；當人們評價其在數(shù)學體系中的價值和意義時，稱之為數(shù)學思想。

2.加強數(shù)學思想方法教學的意義

數(shù)學思想是對數(shù)學知識的本質認識，是從具體的數(shù)學知識中提煉出來的數(shù)學的靈魂與精髓。因而，它對于學生認知結構的完善，學習能力的提高，以及未來的全面發(fā)展都有著重要的意義。

2.1加強數(shù)學思想方法教學，有利于完善學生認知結構。

知識結構是數(shù)學內容及其各個組成部分的搭配和排列，對于我們的認知來說，它是外在之物。我們通過學習將它們轉化為自己掌握的東西后，就變?yōu)閮仍谥铩J知結構。數(shù)學認知結構是一種邏輯結構，主要是由數(shù)學基礎知識及各知識點之間的相互關系所構成。學生學習新的數(shù)學知識，不僅取決于原數(shù)學認知結構中是否具有與新數(shù)學內容學習相關聯(lián)的知識，而且取決于新、舊知識之間的聯(lián)系、組織方式、結構排列的層次性，也就是我們所說的認知結構。數(shù)學思想方法是新舊知識之間聯(lián)系的橋梁，它能夠優(yōu)化新、舊知識的組織方式，促進新、舊知識的融合，使學生的認知結構更加完善。

2.2加強數(shù)學思想方法教學，有利于提高學生學習能力。

美國心理學家布魯納認為：“不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構?！彼^基本結構就是指“基本的、統(tǒng)一的觀點，或者是一般的、基本的原理”。學習結構就是學習事物是怎樣相互關聯(lián)的，數(shù)學思想與方法為數(shù)學學科的一般原理的重要組成部分。懂得數(shù)學的基本原理，學生就更容易理解數(shù)學知識和內容，也就更容易記住這些知識和內容，從而提高學習效率，學習能力自然也就得到提高了。

2.3加強數(shù)學思想方法教學，有利于促進學生未來發(fā)展。

一位哲人說“即使是學生把教給他的所有知識都忘記了。但是還能使他獲得受用終生的東西的那種教育，才是最高最好的教育”。無論學生將來從事什么職業(yè)，做什么樣的工作，能直接運用學生時代所學的數(shù)學知識并不多，有些職業(yè)、有些工作很可能一點都用不到，但那些深深銘刻于學生頭腦中的數(shù)學精神、思想、方法，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終生。有人做過一次統(tǒng)計：學生畢業(yè)后，研究數(shù)學和從事數(shù)學教育的人占1%，使用數(shù)學的人占29%，基本不用或很少用數(shù)學的占70%。加強數(shù)學思想方法的教學，將數(shù)學知識真正建立在數(shù)學思想方法基礎之上，用實用數(shù)學的思想方法指導學生掌握數(shù)學的核心內容，并且能讓學生將知識和方法用于今后的工作和生活之中，這才是成功的教學。因此，加強學生數(shù)學思想方法的培養(yǎng)，是學生成長、發(fā)展的必然需求。

3.加強數(shù)學思想方法教學的策略

問題是數(shù)學的心臟，方法是數(shù)學的行為，思想是數(shù)學的靈魂。不管是數(shù)學概念的建立，數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，還是數(shù)學問題的解決，乃至整個“數(shù)學大廈”的構建，核心問題都在于數(shù)學思想方法的建立與創(chuàng)新。因此，在數(shù)學教學中，我們要十分重視揭示在數(shù)學知識的發(fā)生、形成和發(fā)展過程中所蘊涵的數(shù)學思想方法。

4.1在知識的發(fā)生過程中滲透數(shù)學思想方法。

數(shù)學思想方法產生于數(shù)學知識，而數(shù)學知識又蘊藏數(shù)學思想。數(shù)學思想方法以內隱的方式，蘊涵于數(shù)學知識體系中。教師在教學中，要善于展示概念的形成過程、公式定理的探究過程、方法的思考過程，揭示蘊涵于知識體系中的數(shù)學思想方法，使學生領會這些數(shù)學思想方法，并在潛移默化中達到理解和掌握。滲透應遵循由感性到理性、由具體到抽象、由特殊到一般的原則，使認識過程返璞歸真。讓學生以探索者的姿態(tài)出現(xiàn)，在自覺的狀態(tài)下，參與知識的形成和規(guī)律的揭示過程，領悟、運用、內化蘊涵于其中的數(shù)學思想和方法。比如在學習“公式法求一元二次方程的根”這一節(jié)時，我們在公式推導的過程中，從簡單的方程入手，通過直接開平方根、配方法推導出求根公式。我們先帶領學生解下面方程：

①x■-4=0，可以直接開平方，得到x=±2。

②（x-2）■=1，直接開平方，得到x-2=±1，從而得出：x■=1，x■=3。

此時引導學生歸納出：若方程的一邊是完全平方式，另一邊是一個非負數(shù)的平方，則可以直接開平方，解出方程的根。

③x■-4x+3=0

此時左邊不是完全平方式，如何將左邊轉換成完全平方式，將它轉化成我們熟悉的方程直接開平方求解呢？引出配方法，講解它的一般步驟，并進行適當鞏固練習。

④x■+px+2=0

⑤x■+px+q=0

⑥ax■+bx+c=0（a≠0）

在此過程中，引導學生逐步學會用字母代替數(shù)，領會數(shù)學符號思想。

在知識的形成階段，不要把數(shù)學定理、性質、法則、公式、規(guī)律等結論都直接教給學生，這種灌輸式的教學會讓學生感到數(shù)學很難，很枯燥，甚至失去興趣、失去信心。同時，教師在教學中不要呆板地在連接上找關聯(lián)，探索、發(fā)現(xiàn)、推導這個過程本身就要求上下貫通、左右逢源，否則就會失去許多向學生滲透數(shù)學思想的大好時機。

4.2在知識的概括總結過程中提煉數(shù)學思想方法。

數(shù)學知識貫穿在整個中學數(shù)學教材的知識點中，有些數(shù)學思想方法在知識點中直接體現(xiàn)出來了，有些卻蘊含在數(shù)學知識中。要使學生把這些數(shù)學思想方法都轉化為自己的觀點，并運用它們解決問題，就需要教師在總結概括的時候，把各種知識所蘊涵的數(shù)學思想方法有意識地提煉出來，并有目的、有步驟地引導學生參與數(shù)學思想方法的提煉概括過程，增強他們對數(shù)學思想方法的應用意識，從而提高他們獨立分析、解決問題的能力。

（1）同一章節(jié)可能蘊含多種數(shù)學思想方法。如“直線和圓的方程”這一章就蘊含數(shù)形結合思想、化歸與轉換思想、歸納與類比思想等。具體分析如下：

①在求直線方程時，由多種直線方程的特殊式總結出一般式，蘊含歸納的思想方法。

②在求直線斜率時，要將圖形與具體數(shù)值相結合，蘊含數(shù)形結合的思想方法。

③在求直線和直線的交點時，要將兩方程聯(lián)立轉化成二元一次方程組，蘊含代入、轉換的思想方法。

（2）同一數(shù)學思想方法也可能隱藏在不同的章節(jié)之中。例如“數(shù)形結合的思想”在“直線和圓的方程”、“不等式的解法”、“函數(shù)最值”、“集合”、“三角函數(shù)”等章節(jié)中都有所體現(xiàn)。

不管是同一章節(jié)蘊含多種數(shù)學思想方法，還是同一數(shù)學思想方法蘊含在不同的章節(jié)之中。教師在總結概括的時候，都要把這些思想方法提煉出來，讓學生進一步理解這些數(shù)學思想方法。

4.3在問題解決過程中，深化數(shù)學思想方法。

受應試教育的影響，不少教師在教學中只注重一些具體技能和方法的訓練，教給學生的僵死的知識和解題模式，結果導致許多學生只能停留在模仿型解題的水平上，只要條件稍作改變就不知所措，所以教師不僅要教給學生解題的技巧，還要暴露思考問題的過程，揭示蘊涵于其中的數(shù)學思想方法，并使學生掌握這些數(shù)學思想方法，這就是授之以“漁”比授之以“魚”更重要的道理。只有這樣，學生將來再遇到類似問題時，才可以將所掌握的一般原理運用到實際問題的解決中。

另外，解題不是我們的最終目的。解題后，教師應引導學生進一步回顧解題的過程，概括蘊含于解題過程中的數(shù)學思想方法，進一步提高學生對數(shù)學思想方法的理解和認識，達到深化數(shù)學思想方法的目的。

例：設n是大于2的正整數(shù)，求證所有小于n且與n互質的正整數(shù)的立方和能被n整除。（第51屆國際數(shù)學奧林匹克競賽試題）

分析：①最容易想到的方法是先求出所有小于n且與n互質的正整數(shù)的立方和，再證明這個立方和能被n整除。但求這個立方和絕非易事。②把題目變得容易一點，“設n是大于2的正整數(shù)，求證：所有小于n且與n互質的正整數(shù)的和能被n整除?！比绻€有困難，則變得再容易一點，將n指定為質數(shù)101，這時一定不會有困難了。因為小于101且與101互質的正整數(shù)有1，2，…，100，它們的和高斯早已解決了，是5050，恰好是101的整數(shù)倍。高斯解法的精髓是“配對”思想。他將這100個數(shù)配成了50對，即1和100、2和99，…，50和51，每一對的和都是101，都是101的整數(shù)倍。小于n且與n互質的正整數(shù)能夠如此配對嗎？設a是小于n且與n互質的正整數(shù)，即（n，a）=1，由簡單的數(shù)論知識即可知道，（n，n-a）=1，于是n-a也是小于n且與n互質的正整數(shù)。可見，小于n且與n互質的正整數(shù)是成對出現(xiàn)的，而a+（n-a）=n，能被n整除。會出現(xiàn)無法配對的“中間數(shù)”嗎？不會，否則a=n-a，即n=2a，與（n，a）=1矛盾。所以，小于n且與n互質的正整數(shù)的和能被n整除。至此，學生已容易發(fā)現(xiàn)a■+（n-a）■=n■-3an■+3a■n=n（n■-3an+3a■），也是n的整數(shù)倍，所以小于n且與n互質的正整數(shù)的立方和能被n整除。

上述過程，從失敗到成功，每一步都非常自然，學生從中不僅可以獲得解題的方法，而且可以體會到數(shù)學思想在解題過程中的重要作用。上述過程中包含了豐富的化歸與轉化思想、特殊化思想，以及不知名的“配對”思想，這些數(shù)學思想在問題解決過程中得到了活化，對學生日后的解題活動具有重要的指導作用。最后，在實際操作中任何一種數(shù)學思想方法的學習和掌握，絕非一朝一夕的事，也不是靠講幾節(jié)專題課所能奏效的。它需要師生要共同努力，長時間滲透，逐級遞進，不斷深化，有意識、有目的地培養(yǎng)。數(shù)學思想一旦在頭腦中形成了理念，數(shù)學能力及素養(yǎng)必將得到升華。