梁素婷

摘 要：數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)對尺規(guī)作圖的教學(xué)內(nèi)容和要求都做了相應(yīng)的調(diào)整，因此如何把握新課標(biāo)動向是中學(xué)數(shù)學(xué)教師十分關(guān)注的問題。本文通過對照新舊課標(biāo)在尺規(guī)作圖方面的變化，結(jié)合中考情況，從三個方面做了深入的探討。

關(guān)鍵詞：尺規(guī)作圖；化繁為簡；變式訓(xùn)練；一題多解

數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)對尺規(guī)作圖的教學(xué)內(nèi)容和要求都做了一些調(diào)整。對于這種要利用工具和動手操作來解決問題的教學(xué)，如何把握新課標(biāo)的動向？學(xué)生應(yīng)該掌握到什么程度？教師應(yīng)該教什么？怎樣訓(xùn)練才高效？這些問題是大家共同關(guān)注的。本文通過對照尺規(guī)作圖在新舊課標(biāo)中的變化，結(jié)合中考試題，以及多年的教學(xué)實踐，對尺規(guī)作圖教學(xué)進行了深入的思考和探討。

一、細讀新課標(biāo)，明確要求

在教學(xué)中要認(rèn)真研讀新的課程標(biāo)準(zhǔn)，更多地關(guān)注調(diào)整部分，并在教學(xué)上做到同步增減。下面是新舊課程標(biāo)準(zhǔn)的對比：

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通過對比，可以看出新課標(biāo)更注重學(xué)生利用圖形語言表達數(shù)學(xué)解題的過程與方法，今后尺規(guī)作圖教學(xué)更應(yīng)注重利用作圖痕跡展示解題的過程與方法，利用數(shù)學(xué)語言（符號語言、圖形語言及文字語言）進行表達和交流，提高數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用能力。

二、夯實基礎(chǔ)，化繁為簡

要學(xué)好尺規(guī)作圖，不但要會利用作圖工具并選擇合適方法，還要嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范地作圖。但在實際操作中，常存在以下問題：基礎(chǔ)作圖不扎實，不理解作圖原理或不懂得利用工具作圖；沒有構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的解題習(xí)慣，導(dǎo)致題目稍有變化就無從下手。下面就這兩方面談?wù)勅绾瓮黄啤?/p>

1.夯實基礎(chǔ)

教師要讓學(xué)生熟練掌握5種基本作圖方法。

基本作圖1：作一條線段等于已知線段。

基本作圖2：作一個角等于已知角。

基本作圖3：作角的平分線。

基本作圖4：作線段的垂直平分線。

基本作圖5：過一點作已知直線的垂線。

以上是學(xué)生必須掌握的5種基本作圖，是尺規(guī)作圖的基礎(chǔ)。不但要明白作圖的步驟，還要明白作圖的原理和應(yīng)用。

例1：基礎(chǔ)作圖（2012河北省中考題）如圖1點C在∠AOB的邊OB上，用尺規(guī)作出了CN∥OA，作圖痕跡中，弧FG是（ ）

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A.以點C為圓心，OD為半徑的弧

B.以點C為圓心，DM為半徑的弧

C.以點E為圓心，OD為半徑的弧

D.以點E為圓心，DM為半徑的弧

分析：同位角相等，則兩直線平行，所以在射線OB上作∠NCB=∠AOB（基本作圖1），從而得答案D。

2.化繁為簡

初中階段的數(shù)學(xué)知識體系是由一個個既獨立又相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建起來的。復(fù)雜數(shù)學(xué)問題可以先轉(zhuǎn)化為多個簡單的數(shù)學(xué)模型，再利用這些數(shù)學(xué)模型來解題。通常，復(fù)雜的尺規(guī)作圖題都可以分解為5種基本作圖來解決。

例2：純粹的尺規(guī)作圖（2012山東省青島市中考題）已知：線段a，c，∠α.求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α.

分析：依題意得草圖2，先用基本作圖2作∠ABC=∠α，再用基本作圖1在角的兩邊截取BC=a，AB=c，然后連接，得△ABC（圖3）；

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由此可見，這類純粹尺規(guī)作圖是由各種基本作圖組合而成的，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件畫出草圖，然后按題意分解為幾個基本作圖進行解答。

例3：附生活背景的尺規(guī)作圖（2011年重慶中考題）為進一步打造“宜居重慶”，某區(qū)擬在新竣工的矩形廣場的內(nèi)部修建一個音樂噴泉，要求①音樂噴泉M到廣場的兩個入口A、B的距離相等，且②到廣場管理處C的距離等于A和B之間距離的一半，A、B、C的位置如圖所示.請在答題卷的原圖上利用尺規(guī)作圖作出音樂噴泉M的位置。（要求：不寫已知、求作、作法和結(jié)論，保留作圖痕跡。）

分析：（1）依題意畫出草圖（圖4）；（2）由條件①得：作AB垂直平分線MD，則有：MA=MB；（3）由條件②得：以點C為圓心AD為半徑作圓，則有：MC=AD=AB（圖5）；（4）綜合得：AB垂直平分線與以點C為圓心AD為半徑所作圓的交點即為M。

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綜上所述，尺規(guī)作圖的解題關(guān)鍵是把問題分解為若干個簡單數(shù)學(xué)模型，并逐一作出符合各個模型公共要素的幾何圖形。在教學(xué)中，應(yīng)向?qū)W生強調(diào)要畫出符合題意的草圖，這有助于數(shù)學(xué)模型的分解，而保留作圖痕跡，是判斷尺規(guī)作圖理據(jù)是否正確的依據(jù)。

三、擺脫題海，高效訓(xùn)練

隨著中考對學(xué)生能力要求的逐年提高，題海訓(xùn)練的功效明顯下降。對初中尺規(guī)作圖教學(xué)而言，大量重復(fù)訓(xùn)練，難以提高學(xué)生的解題能力。而通過變式訓(xùn)練與一題多解，能有效提高學(xué)生的解題能力，達到事半功倍的效果。

1.變式訓(xùn)練

所謂變式訓(xùn)練，是指使問題的條件或形式發(fā)生變化，而本質(zhì)特征卻不變的訓(xùn)練。變式訓(xùn)練能讓學(xué)生更好地建立數(shù)學(xué)知識體系和熟悉數(shù)學(xué)解題方法。

例4：（新人教版八年級上冊P80例1）如圖6，已知△ABC和直線，畫出△ABC關(guān)于直線的對稱圖形。

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變式1：（2008年廣州中考題）如圖7，在方格紙上建立平面直角坐標(biāo)系，線段AB的兩個端點都在格點上，直線MN經(jīng)過坐標(biāo)原點，且點M的坐標(biāo)是（1，2）。（1）略；（2）略；（3）利用尺規(guī)作出線段AB關(guān)于直線MN的對稱圖形（保留作圖痕跡，不寫作法）。

分析：針對原題有兩個變化：

①條件：三角形變?yōu)榫€段，對稱軸旋轉(zhuǎn)了一定角度。

②背景：添加了網(wǎng)格背景。

變式2：（2013年廣州市中考數(shù)學(xué)科第20題）如圖8，已知四邊形ABCD是平行四邊形，把沿對角線BD翻折180°得到。（1）利用尺規(guī)作出（要求保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）略。

分析：改變了原題的提問方式，將直接提問（求作軸對稱圖形）變?yōu)殚g接提問（求作三角形沿自己的某條邊翻折180°后的圖形）。

對于“換湯不換藥”的變式訓(xùn)練不能只解決一個問題，而要解決一類問題，以實現(xiàn)“以精勝多”，讓學(xué)生走出題海。

2.一題多解

同一道數(shù)學(xué)題，學(xué)生掌握的知識越多，解決問題的方法和途徑就越多。通過充分聯(lián)系所學(xué)知識，用多種方法解題，能使知識得以“內(nèi)化”，對知識的理解和掌握更全面和深入，從而提高學(xué)生分析和解決問題的能力。

例5：（引用上題：2013廣州市中考數(shù)學(xué)科第20題）

分析1：用全等三角形知識解決。

解法一：如圖9，分別以點B、D為圓心，以線段AB、AD的長為半徑作弧，兩弧交與點A′，連結(jié)A′B 及A′D，則△A′BD為所求（依據(jù)：SSS）。

解法二：如圖10，作∠FBD=∠ABD， ∠NDB=∠ADB，射線 BF、DN交點為A′，則△A′BD為所求（依據(jù)：ASA）。

解法三：如圖11，作∠FBD=∠ABD，在射線BF上截取BA′=BA， 連結(jié)A′D，

則△A′BD為所求（依據(jù)：SAS）。

分析2：用軸對稱知識解決。

解法四：如圖12，用尺規(guī)過點A作垂線AM⊥BD于M，截取線段A′M=AM，

連結(jié)A′B及A′D，則△A′BD為所求。

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由此可見，通過一題多解訓(xùn)練，既能使學(xué)生熟練運用各種知識、開拓解題思路，又能通過比較，靈活地選擇最合理、簡捷的解題方法。實踐證明，一題多解比單純的題海訓(xùn)練要高效。

在中考數(shù)學(xué)中，尺規(guī)作圖都會有所體現(xiàn)，它貼近生活、題型新穎、方法多樣，說明其在初中數(shù)學(xué)中的重要性。通過尺規(guī)作圖的教學(xué)和訓(xùn)練，能對學(xué)生進行“轉(zhuǎn)化思想”“建模思想”等數(shù)學(xué)思想方法的滲透。另外，尺規(guī)作圖是一種由學(xué)生實際執(zhí)行的操作，具有不可代替的直觀性和實操性，在強調(diào)“猜想—操作—探究—驗證—得出結(jié)論”的今天，尺規(guī)作圖理應(yīng)得到足夠的重視，并加強相關(guān)教學(xué)研究。