常國(guó)良

摘 ?要：直覺(jué)具有先導(dǎo)性、自由性、靈活性、偶然性、不可靠性等特點(diǎn)，是創(chuàng)造能力及解題能力提高的重要思維方式，培養(yǎng)直覺(jué)思維需要扎實(shí)的基礎(chǔ)、良好的審美意識(shí)以及大膽的猜想等等. 但是邏輯思維也較重要，它可以彌補(bǔ)直覺(jué)思維的不可靠性所帶來(lái)的缺陷. 缺陷并不是顯而易見(jiàn)的，它是學(xué)生直覺(jué)思維的誤區(qū)，因此必須首先感知，方能彌補(bǔ)，而反思正是解決此問(wèn)題的有效手段.

關(guān)鍵詞：直覺(jué)思維;基礎(chǔ);審美意識(shí);猜想;反思

法國(guó)科學(xué)家龐家萊曾說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有直覺(jué)，年輕人在理解數(shù)學(xué)時(shí)便無(wú)從下手;他們不可能學(xué)會(huì)熱愛(ài)它，他們從中看到的只是空洞的玩弄辭藻的爭(zhēng)論;尤其是，沒(méi)有直覺(jué)，他們永遠(yuǎn)也不會(huì)有應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.” 笛卡兒受一只蒼蠅在天花板上爬行的啟發(fā)發(fā)明了解析幾何，正是對(duì)數(shù)學(xué)的直接感悟;費(fèi)爾馬對(duì)數(shù)學(xué)的非凡的直覺(jué)能力和合情推理能力，給后人留下了那么多的“猜想”. 我們看這樣一道高考題：

案例？搖 在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5=，a6+a7=3，則滿足a1+a2+a3+…+an>a1a2a3…an的最大正整數(shù)n的值為_(kāi)_________.（2013年江蘇高考題）

分析：易求得an=2n-6，此等比數(shù)列單調(diào)遞增且公比為2. 直覺(jué)提醒我們，當(dāng)n<6時(shí)，an∈（0，1），數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和增大，前n項(xiàng)積減小，左邊永遠(yuǎn)大于右邊;當(dāng)n>6時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和增大，前n項(xiàng)積也在增大，且積增大得快.

要a1+a2+…+an>a1a2…an，因?yàn)閍1+a2+…+an>an，可先讓an>a1a2…an，

解得1

通過(guò)直覺(jué)去認(rèn)識(shí)此數(shù)列各項(xiàng)值的變化規(guī)律，既簡(jiǎn)化了運(yùn)算，又提高了正確率. 在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中如果能經(jīng)常讓學(xué)生思考，學(xué)生就會(huì)潛移默化地養(yǎng)成數(shù)學(xué)直覺(jué)，形成數(shù)學(xué)題感. 本文就數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生直覺(jué)思維能力談點(diǎn)做法和體會(huì).

扎實(shí)基礎(chǔ)是產(chǎn)生直覺(jué)思維的源泉

直覺(jué)不是靠“機(jī)遇”，直覺(jué)的獲得雖具有偶然性，但絕不是憑空臆想，而是以扎實(shí)的知識(shí)為基礎(chǔ). 若沒(méi)有深厚的功底，是不會(huì)迸發(fā)出思維的火花的，就不會(huì)有“頓悟”的靈光乍現(xiàn). 當(dāng)我們思想高度集中的時(shí)候，會(huì)突然對(duì)某個(gè)問(wèn)題產(chǎn)生一種靈感，進(jìn)入豁然開(kāi)朗的境界.

例1 ?已知曲線C：f（x）=x+（a>0），直線l：y=x，在曲線C上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P分別作直線l和y軸的垂線，垂足分別為A，B;再過(guò)點(diǎn)P作曲線C的切線，分別與直線l和y軸相交于點(diǎn)M，N，O是坐標(biāo)原點(diǎn). 若△ABP的面積為，則△OMN的面積為_(kāi)_________.

分析：本題設(shè)P為任意一點(diǎn)去做應(yīng)為通性通法，是筆者所提倡的做法，雖然稍微麻煩一些，但是肯定能做好. 如我們有扎實(shí)的基礎(chǔ)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，本題有它的特殊之處，我們完全可以取曲線C：f（x）=x+（a>0）的極小值點(diǎn)（，2）作為P點(diǎn)，這就涉及雙曲線的一個(gè)重要性質(zhì)，這個(gè)性質(zhì)雖然簡(jiǎn)單，但容易被忽視，即雙曲線上任意一點(diǎn)到漸近線的距離之積為定值，最顯著的例子就是反比例函數(shù). 當(dāng)然，我們也要會(huì)證明函數(shù)f（x）=x+（a>0）的圖象是雙曲線.

知識(shí)是在學(xué)習(xí)中不斷積累的，迪瓦多內(nèi)一語(yǔ)道破了直覺(jué)的產(chǎn)生過(guò)程：“我以為獲得‘直覺(jué)的過(guò)程，必須經(jīng)歷一個(gè)純形式表面理解的時(shí)期，然后逐步將理解提高、深化”，成功孕育于1%的靈感和99%的血汗中.

注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的類比、遷移

對(duì)某些數(shù)學(xué)問(wèn)題， 若能聯(lián)系一些形式相同的、結(jié)構(gòu)類似的熟悉問(wèn)題或常規(guī)結(jié)論， 通過(guò)遷移將會(huì)悟出解題的思路. 聯(lián)想是直覺(jué)思維的一種常用思考方式，綜合運(yùn)用各種聯(lián)想，抓住題目的本質(zhì)，易于拓寬思路，獲得意想不到的效果.

如已知橢圓具有性質(zhì)：若M，N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，P是橢圓上異于M，N的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為KPM，KPN時(shí)，那么KPM與KPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值. 事實(shí)上，這一結(jié)論是由圓任意上一點(diǎn)和直徑端點(diǎn)連線的斜率（斜率存在時(shí)）之積為定值得到的;又可以依靠直覺(jué)進(jìn)行知識(shí)遷移到雙曲線，得到類似的正確結(jié)論. 知識(shí)類比遷移讓學(xué)生產(chǎn)生直覺(jué)和靈感，讓他們從“學(xué)會(huì)”變?yōu)椤皶?huì)學(xué)”.

注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透

從新教材的構(gòu)成體系看，整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教材所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的兩條河流：一條是由具體的知識(shí)點(diǎn)構(gòu)成的易于發(fā)現(xiàn)的明河流，它是構(gòu)成中學(xué)數(shù)學(xué)教材的骨架;另一條是由數(shù)學(xué)思想方法構(gòu)成的具有潛在價(jià)值的暗河流，它是構(gòu)成中學(xué)數(shù)學(xué)教材血脈的靈魂. 數(shù)學(xué)思想和方法的教育使數(shù)學(xué)教學(xué)真正變?yōu)椤笆谥詽O，而非授之以魚(yú)”.

例2 ?已知正數(shù)a，b，c滿足5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則的取值范圍是__________.

分析：本題涉及三個(gè)字母a，b，c，在三個(gè)不等式組下求比值的取值范圍，直覺(jué)提醒我們可能會(huì)使用數(shù)形結(jié)合思想即用線性規(guī)劃的方法求解. 思維層次較高的學(xué)生也會(huì)誘發(fā)直覺(jué)思維，觀察條件結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，用轉(zhuǎn)化思想完全可以解決.

由5c-3a≤b≤4c-a？圯5c-3a≤4c-a？圯c≤2a？圯≤2，

再由5c-3a≤b≤4c-a？圯-3≤≤-1，可得的上限為7;再根據(jù)clnb≥a+clnc，不等式兩邊同時(shí)減去clna得clnb-clna≥a+clnc-clna，

所以cln≥a+cln？圯ln≥+ln，此時(shí)設(shè)=xx>. 我們只要求函數(shù)f（x）=x-lnx的最小值，顯然求導(dǎo)后可得其最小值為1，所以得最小值為e. 本題的關(guān)鍵一步是不等式兩邊同時(shí)減去clna，而這正是向轉(zhuǎn)化的必要步驟.

同類題：已知正數(shù)a，b，c滿足3a+c≤2b≤4，則的取值范圍是__________.

本題模仿了2012年江蘇高考第14題，解決方法與上面幾乎一樣，也就是先通過(guò)不等式組得到a與c的大小關(guān)系，然后將b轉(zhuǎn)化為a與c，得到一個(gè)或兩個(gè)函數(shù)式，再求函數(shù)的最值或取值范圍.

因此，對(duì)一類數(shù)學(xué)問(wèn)題采用哪一種思維方法取決于思維能力的強(qiáng)弱，從問(wèn)題的結(jié)構(gòu)形式以及與條件的聯(lián)系出發(fā)，就能培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維能力，形成較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

數(shù)學(xué)之美是產(chǎn)生直覺(jué)思維的本質(zhì)

直覺(jué)的產(chǎn)生是基于對(duì)研究對(duì)象整體的把握，美感和美的意識(shí)是數(shù)學(xué)直覺(jué)的本質(zhì). 數(shù)學(xué)中主要包括簡(jiǎn)潔美、和諧美、對(duì)稱美、奇異美以及數(shù)學(xué)思想美、數(shù)學(xué)家的情感美，利用數(shù)學(xué)中的美學(xué)因素能幫助學(xué)生開(kāi)闊解題思路，培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺(jué)思維.

例3 ?已知實(shí)數(shù)a，b分別滿足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，則a+b的值為_(kāi)_____.

分析：初看這題是三次方程，要直接求根是不可能的，再比較這兩個(gè)式子發(fā)現(xiàn)左邊結(jié)構(gòu)相同，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之美. 直覺(jué)提醒我們?nèi)タ紤]函數(shù)f（x）=x3-3x2+5x的性質(zhì)，結(jié)合問(wèn)題，可以發(fā)現(xiàn)去研究函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性. 事實(shí)上f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，3）成中心對(duì)稱，而等號(hào)右邊的1和5的平均數(shù)恰好是3，很快得出答案.

在課堂教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)美是提高學(xué)生審美能力的有效途徑之一. 多角度、多層次地培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維，就能開(kāi)闊學(xué)生的解題思路. 審美能力越強(qiáng)，則數(shù)學(xué)直覺(jué)能力也越強(qiáng).

大膽猜想是培養(yǎng)直覺(jué)思維的動(dòng)力

猜想是由已知原理、事實(shí)，對(duì)未知現(xiàn)象及其規(guī)律所作做的一種假設(shè)性的命題. 猜想既是直覺(jué)思維的結(jié)果，又是直覺(jué)思維的方式. 因此猜想能力的訓(xùn)練既是培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)推理能力， 也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺(jué)思維能力的直接有效的方法.

例4 ?設(shè)f ′（x）是函數(shù)f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)？坌x∈R，f（-x）+f（x）=x2，且？坌x∈[0，+∞），f ′（x）>x. 若f（2-a）-f（a）≥2-2a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)______.

分析：題目沒(méi)有給出函數(shù)的具體解析式，意味著對(duì)滿足條件的所有函數(shù)解集是相同的，由直覺(jué)發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（x）=x2+x滿足條件，代入即可得到a∈（-∞，1]. 進(jìn)一步鼓勵(lì)學(xué)生由導(dǎo)數(shù)的不等式在題目中的作用去猜想，想到不等關(guān)系和函數(shù)單調(diào)性有關(guān)，即構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-x2. 當(dāng)x≥0時(shí)，g ′（x）=f ′（x）-x≥0，且滿足？坌x∈R，g（-x）=-g（x），利用這些性質(zhì)可證g（x）在R上是增函數(shù)，得2-a≥a，即a∈（-∞，1].

教師給學(xué)生創(chuàng)造大膽猜想的機(jī)會(huì)，選擇符合學(xué)生實(shí)際的問(wèn)題去啟發(fā)學(xué)生憑經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)猜定理、猜證法、猜結(jié)論.介紹如“歸納、類比、問(wèn)題極端化、構(gòu)造”等猜想的方法，通過(guò)“執(zhí)果索因”式的先猜后證，以及在證出結(jié)果后再分析反思如何縮減思維量，這樣學(xué)生就會(huì)樂(lè)于思考，直覺(jué)思維就在思考中產(chǎn)生.

又如，已知向量a，b，c滿足a+b+c=0，且a與b的夾角的正切為-，b與c的夾角的正切為-，b=2，求a·c的值.

教師啟發(fā)學(xué)生對(duì)式子a+b+c=0進(jìn)行猜想，有的學(xué)生想到從一點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)向量，建立平面直角坐標(biāo)系，用解析法計(jì)算;有的學(xué)生想到三個(gè)向量首尾順次連接構(gòu)成三角形，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在三角形中已知兩角一邊先解這個(gè)三角形，再算a·c的值等等.

教師引發(fā)猜想的意境，可以提出“怎么發(fā)現(xiàn)這一定理的”、“從這一條件我們得到什么，還想到什么”諸如此類的問(wèn)題，組織學(xué)生進(jìn)行猜想、探索. 對(duì)于學(xué)生的大膽設(shè)想應(yīng)給予充分肯定，對(duì)其合理成分及時(shí)給予鼓勵(lì)，愛(ài)護(hù)、扶植學(xué)生的自發(fā)性直覺(jué)思維. 教師應(yīng)及時(shí)因勢(shì)利導(dǎo)，解除學(xué)生心中的疑惑，使學(xué)生對(duì)自己的直覺(jué)產(chǎn)生成功的喜悅感.

不斷反思，彌補(bǔ)直覺(jué)思維的“缺陷”

在數(shù)學(xué)解題中， 直覺(jué)固然不可或缺， 不過(guò)它也是一把雙刃劍， 直覺(jué)思維中的錯(cuò)覺(jué)， “直把杭州當(dāng)汴州”，對(duì)正確判斷解題方向起誤導(dǎo)作用. 此時(shí)，我們應(yīng)養(yǎng)成學(xué)生的反思習(xí)慣，由此可以彌補(bǔ)學(xué)生的直覺(jué)思維“缺陷”.

例5 ?已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且滿足a1a2a3=27，a4-a3=m. 若數(shù)列{an}是唯一的，求m的值.

錯(cuò)解：由題設(shè)a4-a3=m，設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，得3q2-3q=m，即3q2-3q-m=0（*）.

因?yàn)閿?shù)列{an}是唯一的，所以Δ=（-3）2+12m=0，解得m=-，代入（*）式，解得q=，又a2=3，所以{an}是唯一的等比數(shù)列，符合題意.？搖

分析：數(shù)列{an}是唯一是否等價(jià)于方程（*）有唯一解？不一定. 因?yàn)閧an}是等比數(shù)列且a2確定，隱含公比q≠0，也就是等價(jià)于方程（*）在q∈（-∞，0）∪（0，+∞）上有唯一解. 變?cè)菙?shù)學(xué)的特征，變?cè)姆秶鷼v來(lái)是數(shù)學(xué)考查的熱點(diǎn)，而直覺(jué)常常感知的是數(shù)學(xué)對(duì)象的表面范圍，也就導(dǎo)致了范圍的錯(cuò)覺(jué). 正確解法如下：

因?yàn)閿?shù)列{an}是唯一的，所以

若q=0，則m=0，檢驗(yàn)知，當(dāng)m=0時(shí)，q=1或0（舍去），滿足題意;

若q≠0，則（-3）2+12 m=0，解得m= -，代入（*）式，解得q=，

又a2=3，所以{an}是唯一的等比數(shù)列，符合題意. 所以，m=0或- .

解題反思的目的是認(rèn)識(shí)問(wèn)題的深層次結(jié)構(gòu)（即問(wèn)題的本質(zhì)），通過(guò)解題去學(xué)會(huì)和領(lǐng)悟那種解無(wú)限道題的數(shù)學(xué)機(jī)智.

斯圖爾特曾經(jīng)說(shuō)過(guò)這樣一句話，“數(shù)學(xué)的全部力量就在于直覺(jué)和嚴(yán)格性巧妙地結(jié)合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯”. 直覺(jué)無(wú)處不在，直覺(jué)為我們打開(kāi)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的創(chuàng)新大門(mén).