曹達(dá)鋒
摘 要: 數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié),是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心。作者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn),學(xué)生對(duì)概念的學(xué)習(xí)往往不盡如人意,存在許多問(wèn)題。變式教學(xué)法,是通過(guò)構(gòu)造一系列變式的方法展示知識(shí)的發(fā)生發(fā)展的過(guò)程、數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)和演變的過(guò)程、解決問(wèn)題的思維過(guò)程,從而形成一種思維訓(xùn)練的有效模式。本文嘗試借助變式教學(xué)法,在概念教學(xué)過(guò)程中采用“對(duì)概念引入的變式,使實(shí)際現(xiàn)象數(shù)學(xué)化”、“對(duì)概念關(guān)鍵特征的變式,使學(xué)生掌握概念的本質(zhì)屬性”、“對(duì)概念的變式訓(xùn)練,使學(xué)生所學(xué)概念得到鞏固”三個(gè)策略,彌補(bǔ)學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中的不足,并針對(duì)概念變式教學(xué)提出思考。
關(guān)鍵詞: 數(shù)學(xué)概念教學(xué) 變式教學(xué)法 教學(xué)應(yīng)用 教學(xué)思考
一
概念是數(shù)學(xué)的“細(xì)胞”,脫離數(shù)學(xué)概念便無(wú)法進(jìn)行數(shù)學(xué)思維,也無(wú)法構(gòu)成數(shù)學(xué)思想和方法。數(shù)學(xué)中的每一個(gè)判斷、每一種推理,都是在數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上展開(kāi)的??梢哉f(shuō)數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的核心,是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)定理、公式、法則、方法及提高能力的基礎(chǔ)。因此,數(shù)學(xué)概念教學(xué)十分重要,它是整個(gè)教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。然而,由于概念本身具有的嚴(yán)密性、抽象性和明確規(guī)定性,致使教師在教學(xué)中往往只重視培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性和精確性,在教學(xué)方式上以“告訴”為主,迫使學(xué)生“被動(dòng)”記住新概念,從而置學(xué)生于被動(dòng)地位,使思維呈依賴性,這顯然不利于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展。在實(shí)際教學(xué)中,筆者了解到,學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)呈現(xiàn)出一些認(rèn)知和方法上的誤區(qū)。
1.忽視探究概念的生成過(guò)程和意義。很多學(xué)生常感覺(jué)概念學(xué)起來(lái)枯燥乏味,只需記記背背就可以了,完全是囫圇吞棗,而事實(shí)上并未了解概念的由來(lái),因此不能理解概念的意義,更不能進(jìn)一步將概念為自己所使用。
2.難于把握概念的外延和內(nèi)涵。換句話說(shuō),很多學(xué)生往往很難區(qū)分概念的本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征。例如:在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí),教材從引入、探索定義到例習(xí)題,都是在直角三角形中進(jìn)行的,這樣學(xué)生在頭腦中就把“直角三角形中的銳角才有正弦余弦”這個(gè)非本質(zhì)特征概括出來(lái),從而縮小概念的外延。
3.無(wú)法駕輕就熟運(yùn)用概念解題。概念教學(xué)的終極目標(biāo)是解決問(wèn)題,然而,仍存在一部分學(xué)生在拿到一道題目時(shí)不知該用哪個(gè)概念解題。究其原因,此類學(xué)生事實(shí)上并沒(méi)有真正掌握概念,或者說(shuō)對(duì)于概念的學(xué)習(xí)并沒(méi)有得到有效的鞏固。
針對(duì)以上學(xué)生在學(xué)習(xí)概念時(shí)所表露出來(lái)的種種不足,在概念教學(xué)中運(yùn)用變式,顯得非常必要和重要。利用變式引導(dǎo)學(xué)生積極地參與概念的生成過(guò)程,尋找概念的關(guān)鍵特征,那么學(xué)生就能置身于老師創(chuàng)設(shè)的情境中,像數(shù)學(xué)家那樣“經(jīng)歷”一次數(shù)學(xué)概念的形成,以及概念的內(nèi)涵和外延的揭示過(guò)程。
二
變式教學(xué)法,它的核心是利用構(gòu)造一系列變式的方法,展示知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程,數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)和演變過(guò)程,解決問(wèn)題的思維過(guò)程,以及創(chuàng)設(shè)暴露思維障礙情境,從而形成一種思維訓(xùn)練的有效模式。它的主要作用在于凝聚學(xué)生的注意力,培養(yǎng)學(xué)生在相同條件下遷移、發(fā)散知識(shí)的能力。它能做到結(jié)構(gòu)清晰、層次分明,使不同層次的學(xué)生各有所得,嘗到成功的樂(lè)趣,并激發(fā)學(xué)習(xí)熱情,達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果。
把變式教學(xué)運(yùn)用到概念教學(xué)中的主要作用是使學(xué)生在獲得對(duì)概念的多角度理解和鞏固的同時(shí),讓學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”、“創(chuàng)造”,通過(guò)多樣化的變式培養(yǎng)他們的觀察、分析及概括能力,培養(yǎng)他們的思維能力和創(chuàng)新意識(shí)。
1.對(duì)概念引入的變式,使實(shí)際現(xiàn)象數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)概念的一個(gè)基本特征是抽象性,然而,許多數(shù)學(xué)概念又直接來(lái)自具體的感性經(jīng)驗(yàn)。因此,概念引入教學(xué)的關(guān)鍵是建立感性經(jīng)驗(yàn)與抽象概念之間的聯(lián)系。數(shù)學(xué)概念的引入就是揭示概念發(fā)生的實(shí)際背景和基礎(chǔ),了解它的必要性與合理性,初步揭示它的內(nèi)涵與外延,給概念下定義。同時(shí),通過(guò)對(duì)概念引入的變式,實(shí)際現(xiàn)象數(shù)學(xué)化,達(dá)到展示知識(shí)形成的過(guò)程,促進(jìn)學(xué)生概念的形成。
案例1:在教授函數(shù)概念(浙教版八年級(jí)上冊(cè))“在某個(gè)變化過(guò)程中,設(shè)有兩個(gè)變量x,y,如果對(duì)于x的每一個(gè)確定的值,y都有唯一確定的值,那么就說(shuō)y是x的函數(shù)……”時(shí),筆者就嘗試在教學(xué)中通過(guò)加油站加油實(shí)況(播放錄像)的展示引出函數(shù)概念。當(dāng)看完錄像片段后,筆者提出如下問(wèn)題:“同學(xué)們發(fā)現(xiàn)什么有趣的現(xiàn)象了嗎?”
學(xué)生A答:“三個(gè)小格子,有一個(gè)小格子一動(dòng)不動(dòng),而另外兩個(gè)小格子里的數(shù)字卻跳個(gè)不停?!?/p>
學(xué)生B答:“油價(jià)7.68元/升不變,而油量與金額跳個(gè)不停?!?/p>
筆者緊接著問(wèn):“為什么這兩個(gè)數(shù)字要一齊跳呢?”
學(xué)生C接過(guò)我的話說(shuō):“在加油過(guò)程中,油量在變,所以金額也跟著變化?!?/p>
筆者問(wèn):“那么在加油過(guò)程中,這三個(gè)量分別是什么量(常量或變量。)”
學(xué)生集體答:“油的單價(jià)(7.68元/升)始終保持不變,它是‘常量,油量和金額可以取不同的值,所以它們都是‘變量?!?/p>
筆者乘機(jī)引出:“這就是我們今天這節(jié)課研究的內(nèi)容。在加油這個(gè)變化過(guò)程中,有兩個(gè)變量(油量x和金額y),對(duì)于油量x每一確定值,金額y都會(huì)有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng),那我們就說(shuō)金額y是油量x的函數(shù),x叫做自變量?!?/p>
函數(shù)概念是初中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要內(nèi)容,同時(shí)它又是一個(gè)非常抽象的概念,如何讓學(xué)生真正理解函數(shù)概念一直是教學(xué)的難點(diǎn)?!墩n程標(biāo)準(zhǔn)》指出:數(shù)學(xué)課程不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn),更應(yīng)該遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律,強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)……數(shù)學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。
筆者根據(jù)學(xué)生的現(xiàn)有知識(shí)水平、課堂教學(xué)目標(biāo)、具體學(xué)習(xí)內(nèi)容等方面,通過(guò)對(duì)概念引入進(jìn)行變式,創(chuàng)設(shè)出了符合學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知特點(diǎn)的情境。只有在具體、可感、實(shí)際并具有親和力的情境下,才能讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)概念原來(lái)并不抽象。如此,既可讓學(xué)生自覺(jué)參與和投入到學(xué)習(xí)中,又有利于學(xué)習(xí)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn),最終促進(jìn)學(xué)生概念體系的形成。
2.對(duì)概念關(guān)鍵特征的變式,使學(xué)生掌握概念的本質(zhì)屬性。概念引入后,學(xué)生雖然對(duì)概念的定義有了初步的了解,但并沒(méi)有將理性認(rèn)識(shí)上升為科學(xué)概念體系。因此,還必須引導(dǎo)學(xué)生全面深刻地分析、理解概念,明確其內(nèi)涵和外延及概念間的關(guān)系,對(duì)概念關(guān)鍵特征進(jìn)行變式,使學(xué)生把握概念的本質(zhì)屬性,達(dá)到既知其然,又知其所以然的目的。
案例2:在“同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角”概念教學(xué),先要求學(xué)生認(rèn)清“三線八角”(如圖一):
筆者先讓學(xué)生認(rèn)清三線關(guān)系,即哪兩條直線被另一條直線所截,進(jìn)一步再?gòu)慕桥c角之間的關(guān)系入手,引導(dǎo)分析,概括出同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義。
同位角:注意兩個(gè)“同位”是指既要在前兩條直線的同一位置,又都在第三條直線的同旁的兩個(gè)角,圖中的∠1、∠5都是在前兩條直線a、b的上方,同時(shí)又在第三條直線c的左邊,因此∠1與∠5是同位,給出變式圖形(圖二)。
內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角:首先抓住一個(gè)“內(nèi)”字——在前兩條直線之間即“內(nèi)部”去找,發(fā)現(xiàn)∠2、∠3、∠5、∠8,同時(shí)發(fā)現(xiàn),∠2與∠8它們被第三條直線c錯(cuò)開(kāi)了,所以就是內(nèi)錯(cuò)角;∠2與∠5它們?cè)诘谌龡l直線c的同旁,所以就是同旁內(nèi)角。
在概念思維中,學(xué)生形成一個(gè)概念就要做到在思維過(guò)程中對(duì)一類事物共有的本質(zhì)屬性進(jìn)行概括。概括是否明確,直接影響到它所形成的概念是否真實(shí)、正確。筆者通過(guò)對(duì)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角三個(gè)概念的關(guān)鍵特征進(jìn)行變式,引領(lǐng)學(xué)生積極參與形成概念和明確概念的全過(guò)程,從中不僅讓學(xué)生真正把握概念的本質(zhì)特征,區(qū)分不同概念之間的本質(zhì)差別,而且訓(xùn)練學(xué)生的思維能力。如此,可使大部分學(xué)生牢牢掌握概念的關(guān)鍵點(diǎn),并在解題時(shí)運(yùn)用自如。
案例3:在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí),筆者嘗試如下方法作出變式。
變式一:如圖一,求∠B的正弦值。
變式二:如圖二,已知等腰△ABC,AB=AC=13,BC=10,求∠B的正弦值。
學(xué)生活動(dòng):過(guò)A點(diǎn)作AD垂直BC,則AD與AB的比值就是∠B的正弦值。
3.對(duì)概念的變式訓(xùn)練,使學(xué)生所學(xué)概念得到鞏固。數(shù)學(xué)概念的教學(xué),通常是從生動(dòng)直觀上升到抽象思維,又從抽象思維落實(shí)到具體實(shí)踐,這樣多次反復(fù)才能完成。因此,鞏固和運(yùn)用概念是概念教學(xué)非常重要的環(huán)節(jié)。心理學(xué)原理告訴我們,概念一旦獲得,如不及時(shí)鞏固就會(huì)很快遺忘。鞏固概念,應(yīng)在引入、形成概念之后,引導(dǎo)學(xué)生正確地復(fù)述,運(yùn)用變式訓(xùn)練,熟悉概念、鞏固概念、運(yùn)用概念,提高解決問(wèn)題的能力。教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)習(xí)交流中所得到的反饋信息,精心選編題目,并通過(guò)變式得到一組變式訓(xùn)練題組,讓學(xué)生在探索、變式、解答中,深化對(duì)概念的理解。
案例4:如在學(xué)習(xí)平方根的概念時(shí),可以設(shè)計(jì)這樣的變式訓(xùn)練。
例題:16的平方根是?搖?搖 ?搖?搖。
此例題主要是讓學(xué)生理解、掌握平方根的概念。但本節(jié)課還介紹了正的平方根,負(fù)的平方根這兩個(gè)概念。學(xué)生在剛剛學(xué)習(xí)這幾個(gè)概念時(shí),往往區(qū)分不開(kāi),為了讓學(xué)生加深對(duì)這幾個(gè)概念的理解,筆者在例題的基礎(chǔ)上設(shè)置了變式1。
變式1:16的正的平方根是?搖 ?搖?搖?搖。16的負(fù)的平方根是?搖?搖 ?搖?搖。
通過(guò)這個(gè)變式1和例題的對(duì)比,學(xué)生可以很清晰地理解幾個(gè)概念的聯(lián)系和區(qū)別,加深對(duì)概念的內(nèi)化理解。
在平方根這節(jié)課的教學(xué)時(shí),還介紹了平方根、正的平方根、負(fù)的平方根的符號(hào)表達(dá)式,但在應(yīng)用時(shí)學(xué)生對(duì)符號(hào)式和文字表達(dá)理解不夠深刻,往往到初三復(fù)習(xí)時(shí)還會(huì)出現(xiàn)理解錯(cuò)誤,因此在變式1的基礎(chǔ)上筆者又出示了變式2。
學(xué)生在解決變式2時(shí)出錯(cuò)率很高,把此題錯(cuò)誤的理解成“求16的正的平方根,得到的答案多數(shù)為4”,這正是學(xué)生沒(méi)有理解好符號(hào)與文字表達(dá)的關(guān)系的具體體現(xiàn)。在學(xué)生出錯(cuò)的基礎(chǔ)上講解,此題要經(jīng)過(guò)兩次運(yùn)算,先算等于4,再算4的正的平方根等于2。學(xué)生聽(tīng)完講解恍然大悟,理解了自己出錯(cuò)的真正原因,加深了對(duì)符號(hào)表達(dá)和概念的理解。
接下來(lái),為了鍛煉學(xué)生對(duì)概念的靈活掌握和應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的能力筆者設(shè)置了下面的變式題。
變式3:已知a的平方根是±0.5,則a=?搖?搖 ?搖?搖。
通過(guò)這個(gè)變式訓(xùn)練,學(xué)生對(duì)平方根的概念掌握更靈活,數(shù)學(xué)思維能力也得到提高。給出概念之后,及時(shí)采取多種形式的變式,進(jìn)一步提高學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí),有助于學(xué)生鞏固已學(xué)的概念。
三
加強(qiáng)對(duì)概念的變式訓(xùn)練,促使學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)。只有在理解和形成概念的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)他們對(duì)學(xué)過(guò)的概念進(jìn)行歸納整理,才有利于更好地掌握概念,明確哪些是事物的本質(zhì)屬性,哪些是事物的非本質(zhì)屬性。
概念變式教學(xué)運(yùn)用,有利于學(xué)生輕松理解概念的本質(zhì)屬性,促使學(xué)生進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí),避免反復(fù)機(jī)械訓(xùn)練,一味地被動(dòng)灌輸,進(jìn)而建立新概念與已有概念的本質(zhì)聯(lián)系,并幫助學(xué)生形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu),靈活的問(wèn)題解決能力,以及概念體系。當(dāng)然任何事物都應(yīng)遵循科學(xué)合理原則,變式在概念教學(xué)過(guò)程中的運(yùn)用也不例外。在采用概念變式教學(xué)過(guò)程中,筆者認(rèn)為應(yīng)該注意以下幾點(diǎn):
1.概念變式前要有預(yù)設(shè)和針對(duì)性。變式是為了讓學(xué)生更好地理解概念、掌握概念,而不是為了變式而變式,那樣反而導(dǎo)致“過(guò)則不及”。因此,我們?cè)谄綍r(shí)的概念教學(xué)中,對(duì)概念變式前要有充分的預(yù)設(shè)和針對(duì)性,針對(duì)學(xué)生掌握程度,對(duì)學(xué)生模糊、易錯(cuò)、易混淆的概念進(jìn)行針對(duì)性變式,這樣才能真正把握概念,從而切實(shí)提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。
2.概念變式時(shí)要把握兩個(gè)“度”。在概念教學(xué)中,變式要注意兩個(gè)“度”:一個(gè)是引用的變式例子要有“梯度”,要循序漸進(jìn),切不可追求“一步到位”,否則容易使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒,影響問(wèn)題的解決,從而降低學(xué)習(xí)效率;另一個(gè)就是引用例子不要“過(guò)度”,變式的數(shù)量要“適度”,不是多多益善,否則就成了題海戰(zhàn),反而會(huì)降低學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。
3.概念變式后要有系統(tǒng)總結(jié)。教師要對(duì)變式進(jìn)行分析及系統(tǒng)的總結(jié)。每呈現(xiàn)一類實(shí)例必須分析其所具有的特征,并引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)哪些是本質(zhì)特征,哪些是非本質(zhì)特征。當(dāng)所呈現(xiàn)的各類實(shí)例都分析完之后,應(yīng)該進(jìn)行系統(tǒng)總結(jié),歸納和概括各類實(shí)例中分析出來(lái)的本質(zhì)特征與非本質(zhì)特征,從而進(jìn)一步排除非本質(zhì)特征,突出和強(qiáng)調(diào)共同的、本質(zhì)的特征,達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。
參考文獻(xiàn):
[1]中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)引論.石油大學(xué)出版社.
[2]鄭強(qiáng).初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的55個(gè)細(xì)節(jié).四川教育出版社.
[3]劉長(zhǎng)春.在函數(shù)教學(xué)中實(shí)施變式教學(xué).數(shù)學(xué)教學(xué).
[4]浙教版初中數(shù)學(xué)教材.
[5]陳學(xué)軍.影響數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的因素及其對(duì)策.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2012(4).
[6]王偉.數(shù)學(xué)變式百例精講.寧波出版社,2006.
[7]初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn),2012.