謝秋玲

摘要：充分地全面地培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識、興趣和能力，教師應(yīng)在課堂教學過程中有意識地引導學生用所學的數(shù)學知識、方法去觀察、分析、解決實際問題.

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學;應(yīng)用能力;實際問題

中圖分類號：G642.0 ? ?文獻標志碼：A ? ?文章編號：1674-9324（2015）46-0189-02

數(shù)學教育要教給學生的不僅僅是數(shù)學知識，還要培養(yǎng)學生應(yīng)用數(shù)學的意識、興趣和能力，讓學生學會用數(shù)學的思維方式觀察周圍的事物，用數(shù)學思維方法分析、解決實際問題.當代著名數(shù)學家、教育家、Wolf獎獲得者H.惠特尼指出：“學數(shù)學意味著什么？當然是希望能用它，最好的學習就是用，并且古今皆知僅在你有自己的想法時才有真正的學習.”著名數(shù)學教育家H.弗洛登塔爾指出：“數(shù)學源于現(xiàn)實，并且用于現(xiàn)實.”眾所周知，大學生數(shù)學建模競賽利于培養(yǎng)學生應(yīng)用意識和應(yīng)用能力，可惜只能有部分學生參與這項競賽.為了適應(yīng)培養(yǎng)應(yīng)用型人才的需要，充分地、全面地培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識、興趣和能力，最根本的還需要從課堂教學做起，教師在講授高等數(shù)學內(nèi)容的同時，有意識地引導學生用所學數(shù)學知識、方法去觀察、分析、解決實際問題.以下是在高等數(shù)學教學過程中，可針對不同內(nèi)容，引導學生分析解決實際問題的幾個例子.

一、微分學內(nèi)容的應(yīng)用

例1.有一個滑雪場的坡面是光滑曲面∑：

在坡上的點P ? 處有一運動員，問運動員從該處沿什么軌跡下滑時的路徑最短？

解：本題需要掌握梯度的概念和含義.

設(shè)下滑的軌跡在xoy面上的投影為L：y=y（x），記坡面函數(shù)為z=f（x，y），則由函數(shù)在一點的梯度與過這點的等值線、方向?qū)?shù)間的關(guān)系可知，L在（x，y）處的切向量與等高線（m為常數(shù)）在該點的法向量平行，也即與函數(shù)z=f（x，y）在這點的梯度方向平行：

故所求軌跡為

例2.一個毛紡廠用羊毛和兔毛生產(chǎn)A、B、C三種混紡毛料，生產(chǎn)1單位產(chǎn)品需要的原料如表所示：

三種產(chǎn)品的單位利潤分別為4、1、5元/單位.每月可購進的原料限額為羊毛50000單位，兔毛80000單位，問此毛紡廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)才能獲得最大利潤？

解：本題是條件極值問題.

設(shè)每月用所購原料生產(chǎn)出A、B、C三種混紡毛料各x、y、z單位，則每月所獲利潤為：

f=4x+y+5z（1）

x、y、z應(yīng)滿足的約束條件為：3x+y+4z=500002x+3y+4z=80000（2）

和x≥0，y≥0，z≥0 ? ? ? ? ? （3）

由（2）可得：x=-8t+104y=-4t+2×104z=7t （4）

將（4）代入（1）得：f=-t+6×105（5）

將（4）代入（3）得：0≤t≤×104（6）

由（5）、（6）兩式可得，當t=0時，利潤取得最大值f=6×105，即當x=104，y=2×104，z=0時.所以毛紡廠應(yīng)該不生產(chǎn)C混紡毛料，把全部原料用來生產(chǎn)104單位的A毛料，2×104單位的B毛料，所獲利潤最大.

二、積分學內(nèi)容的應(yīng)用

例3.一“龜形”小島上各處高度為z=200（1-）（單位為米，水面對應(yīng)z=0），欲在高度小于150米的小島坡地上全部栽上樹，每樹約占地4平方米，問至少要準備多少樹苗？（結(jié)果可用式子表示，最后的運算可省略）

解：本題是求曲面面積問題.

小島在高度小于150米部分的表面積為

因此要準備的樹苗總數(shù)約為.

例4.一輛汽車由正圓臺形山的腳部沿盤山公路向山頂行駛，平均速度為40公里/小時，若視公路為一條光滑曲線，該曲線上任一點處的切線與水平面的夾角為arcsin，已知山底半徑為5公里，山頂半徑與山高均為0.5公里，求汽車到達山頂邊緣所用的時間.

解：本題是求盤山公路的長度，即求光滑曲線弧長的問題.建立坐標系如圖1.

設(shè)曲線的參數(shù)方程為x=x（t）y=y（t）z=z（t）

其中z（t）隨t單增，0≤t≤t0（t表示垂直高度）曲線在點（x（t），y（t），z（t））處的切向量為1={x'，y'，z'}，xoy平面的法向量為2={0，0，1}，由已知條件：

注：由求解過程可看出，路程S與山的上、下底半徑無關(guān)，進一步，路程與山的形狀無關(guān)，只與山的高度以及盤山公路的傾斜度有關(guān).

參考文獻：

[1]袁震東.數(shù)學建模方法[M].上海：華東師范大學出版社，2003.

[2]姜啟源.數(shù)學建模案例選集[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]段勇，黃廷祝.將數(shù)學建模思想融入線性代數(shù)課程教學[J].中國大學數(shù)學，2009，（3）：34-35.