顧衛(wèi)華
[摘 要]數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分。發(fā)掘數(shù)學(xué)學(xué)科特有的文化意蘊,帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的文化軌跡,可以讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加生動、豐滿、厚實。以“三角形面積計算”教學(xué)為例,談?wù)勅绾斡梦幕酿B(yǎng)分滋養(yǎng)課堂,建立起基于“文化”開掘、傳承、發(fā)展、創(chuàng)新的教學(xué)思維。
[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)文化 三角形面積計算
[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068(2015)35-008
著名特級教師張乃達(dá)先生認(rèn)為,“數(shù)學(xué)是在數(shù)學(xué)文化背景下的思維活動”,“思維與文化,集中地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育在提高學(xué)生素質(zhì)教育中的兩項要素,所以也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的兩個重要方面”。個人以為,作為數(shù)學(xué)教育的兩翼,思維與文化并不是分離的,而是有機統(tǒng)一體——文化靠思維來打造和提煉,思維就在文化中,思維是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分。本文以“三角形面積計算”為例,談?wù)勛约涸谶@方面的思考與實踐。
研讀
多年來,小學(xué)教材中關(guān)于圖形面積計算的學(xué)習(xí),有一個比較穩(wěn)定的邏輯順序:長方形面積計算——平行四邊形面積計算——三角形面積計算——梯形面積計算——圓面積計算。“三角形面積計算”是這個鏈條的中間環(huán)節(jié),因而教材編排思路是用“兩個完全一樣的三角形”拼成一個平行四邊形,三角形的底等同于平行四邊形的底,高等同于平行四邊形的高,面積等同于平行四邊形面積的一半,從而推導(dǎo)出三角形面積計算公式。這樣的編排,體現(xiàn)了循序漸進(jìn)、螺旋上升、新知建立在舊知之上的科學(xué)原理。
考慮到學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,為更好地體現(xiàn)圖形直觀的新課改理念,現(xiàn)行教材從一年級下冊開始,對兩個完全一樣的三角形能拼成一個平行四邊形或者一個平行四邊形能分成兩個完全一樣的三角形進(jìn)行了多次鋪墊(圖1為蘇教版二年級上冊“平行四邊形的初步認(rèn)識”中的習(xí)題),以期學(xué)生能從平行四邊形面積推導(dǎo)時的“割補”順暢地轉(zhuǎn)換到憑空再借一個一樣的三角形來“拼”。
圖1
客觀地講,教材中的這種變化基本上還是在原有的編排框架之中把“戲份”做得更加充分而已,但只增加了“長度”而未能增加“厚度”。
思考
翻開厚厚的數(shù)學(xué)發(fā)展史,我們發(fā)現(xiàn),多邊形的面積計算都來自對土地的測量。譬如古埃及的紙草的第三部分講述了如何確定正方形、矩形、三角形、梯形以及能分割成這些形狀的圖形的土地面積。隨后,人們又發(fā)現(xiàn)任意的多邊形可以分割成多個三角形來求出面積。正因為土地的形狀不太可能出現(xiàn)平行四邊形,所以在歷史上,起初的三角形的面積計算壓根就和平行四邊形無關(guān)。顯然,教材的安排是出于對學(xué)生認(rèn)知難度考慮而作出的一種優(yōu)化,而優(yōu)化往往忽略了發(fā)展的曲折。
再從數(shù)學(xué)自身發(fā)展中挖掘這一內(nèi)容的學(xué)科魅力。數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)三角形面積計算公式后,有個難題擺在了前面:“不知道三角形高的情況下怎么求三角形的面積。”而海倫公式的發(fā)現(xiàn)解決了這個難題(注:利用三角形三條邊的長度來求三角形的面積)。很明顯,如果不按照教材設(shè)置的指向,而是讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣思考、爭論、探索,那學(xué)習(xí)是不是有另一番風(fēng)景呢?但是,在課堂重現(xiàn)歷史發(fā)展的腳步,還原三角形面積計算的另一種推導(dǎo),無論從自主發(fā)展,還是多種方法的創(chuàng)新思維來說,都是有價值的,同時也是有難度的。
以往的教學(xué)經(jīng)驗告訴我們,學(xué)生在沒有自習(xí)書本的情況下,受前一課平行四邊形面積計算公式推導(dǎo)的影響,還是能想到“割”的,但往往想不到怎么去“割”。有個以往無法避免的難點在于小學(xué)五年級的學(xué)生還不知道什么是“中點”。
他山之石可以攻玉!《小學(xué)教學(xué)參考》2015第4期查人韻老師的嘗試給了我靈感的火花。從圖2可以看出,借助方格圖,可以繞過“中點”這個坑,從而順利還原古人的思路,從而實現(xiàn)真正多角度的自主探究。
實踐
我的教學(xué)分三個板塊進(jìn)行。
第一板塊“開門見山”,提問“三角形的面積可能和哪個圖形有聯(lián)系?”由于有上一課的經(jīng)驗,學(xué)生很容易回答出“長方形或平行四邊形”。先規(guī)定探究方向,節(jié)省時間。
第二板塊直接出示先學(xué)單(格子圖上有3種三角形:底4高6的直角三角形,底6高4的等腰三角形,底6高5的一般三角形,每種圖形有三個,期待每個學(xué)生有不同的方法),讓學(xué)生探究三角形的面積是多少。
在開放的探究環(huán)境中,真正地體現(xiàn)了思維的差異,方法的多樣。數(shù)格子的學(xué)生在真心實意地數(shù)格子,而不是教師指點的“還可以數(shù)格子”;對于直角三角形,有學(xué)生一下子想到了“拼成一個長方形”……因為借助了格子圖,學(xué)生直觀的思維能力得到了充分地應(yīng)用,精彩的想法遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了教師的預(yù)期??梢哉f,這里的轉(zhuǎn)化來自學(xué)生的直覺判斷,并不嚴(yán)謹(jǐn),但是卻飄逸靈動。
探究后全班交流:1.自評互評,這個方法好在哪里,不好在哪里?引導(dǎo)橫向比較,發(fā)現(xiàn)優(yōu)點和不足。2.比較算式,為什么有4×6÷2,又有3×4?怎么看上去算式不一樣?創(chuàng)設(shè)困惑,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)一般的公式,其實3×4就是6÷2×4,雖然看起來不一樣,但本質(zhì)是一樣的。因為有了充分的探究,學(xué)生真正是帶著自己的思考,聆聽別人的想法,合作探究完全不是“做做樣子”。
第三板塊介紹“劉徽著《九章算術(shù)》中三角形面積的圖例(如圖3)”,指出:“我們比數(shù)學(xué)家更厲害,不僅解決了等腰三角形的面積問題,還推廣到了一般三角形呢!”
學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的想法和數(shù)學(xué)家一樣,積極的情感體驗帶來深刻的自我認(rèn)同,“我能行”在學(xué)生的心中生根發(fā)芽!
啟示
數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在“前言”部分提及:數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分。作為人類文化的數(shù)學(xué),應(yīng)該充分挖掘數(shù)學(xué)在產(chǎn)生、發(fā)展、豐富、壯大的過程中人們所經(jīng)歷的曲折過程、突破常規(guī)的超越、偉大的創(chuàng)造等精髓。讓學(xué)生像過去的人們、像數(shù)學(xué)家那樣去經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)展過程,會讓學(xué)生更多地體會到數(shù)學(xué)的“溫情”、傳奇、美妙與偉大,這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才會印象深刻,令人難忘。
當(dāng)然,數(shù)學(xué)文化具有豐富的內(nèi)涵和多樣的姿態(tài),用張齊華老師的話說,就是“探索過程中的執(zhí)著與堅韌,論證過程中的務(wù)實與謹(jǐn)嚴(yán),數(shù)學(xué)規(guī)則推導(dǎo)過程中的理智與自律,數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程中的開拓與超越,甚至于耐心、責(zé)任感、敬業(yè)品質(zhì)、民主精神等都具有獨特的‘教化功能,正是這些,見證著數(shù)學(xué)更為深沉的文化力量,使數(shù)學(xué)可以超越知識本身,找尋到更為樸素、更為豐富,也更為動人的內(nèi)涵”。
有人說,文化的內(nèi)核是“化人”。用文化的養(yǎng)分滋養(yǎng)數(shù)學(xué)課堂,文化熏陶終究會轉(zhuǎn)化為文化自覺,讓每一個孩子既成為文化的守護(hù)者,還成為文化的創(chuàng)造者。
(責(zé)編 金 鈴)
小學(xué)教學(xué)參考(數(shù)學(xué))2015年12期