榮　彬（四川省成都市石室中學(xué)）

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“多邊形的內(nèi)角和與外角和”教學(xué)設(shè)計(jì)

榮彬（四川省成都市石室中學(xué)）

摘要：以三角形的內(nèi)角和與外角和的推導(dǎo)和應(yīng)用一課為例，通過采用“問題驅(qū)動(dòng)”的方式，運(yùn)用問題逐步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)、觀察、類比等，組織學(xué)生自主探究，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力．

關(guān)鍵詞：課程理念；數(shù)學(xué)思想；探究意識(shí)

內(nèi)容和內(nèi)容分析

1．教學(xué)內(nèi)容

北師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第六章第四節(jié)“多邊形的內(nèi)角和與外角和”的第一課時(shí)，主要內(nèi)容為多邊形內(nèi)角和定理的推導(dǎo)和應(yīng)用．

2．教學(xué)內(nèi)容分析

“多邊形的內(nèi)角和與外角和”是在學(xué)習(xí)了三角形內(nèi)角和定理、平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)后進(jìn)一步研究多邊形內(nèi)角和的探究課．本節(jié)課內(nèi)容既是三角形內(nèi)角和的自然延伸，又是進(jìn)一步探究多邊形問題的基礎(chǔ)．通過添加輔助線將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決不僅是探索內(nèi)角和的關(guān)鍵，而且也是今后解決四邊形及多邊形問題的通法，是初中學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維發(fā)生、發(fā)展的重要環(huán)節(jié)．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，不僅可以發(fā)展學(xué)生探索和歸納能力，而且有助于幫助學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．同時(shí)，多邊形內(nèi)角和的探索需要學(xué)生猜想、實(shí)驗(yàn)、證明、探索，對(duì)學(xué)生掌握觀察、比較、類比、轉(zhuǎn)化、歸納等方法有重要作用，有助于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和探索精神．

教學(xué)目標(biāo)

（1）經(jīng)歷“定理”的探究過程，掌握“定理”內(nèi)容，能用于解決相關(guān)數(shù)學(xué)和實(shí)際問題.

（2）了解數(shù)學(xué)問題中“從特殊到一般”的研究方法，培養(yǎng)思維水平的嚴(yán)謹(jǐn)性和全面性.

（3）體會(huì)轉(zhuǎn)化、類比、化歸的數(shù)學(xué)思想．

教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生通過對(duì)三角形內(nèi)角和定理和平行四邊形性質(zhì)的學(xué)習(xí)，初步具備了一定的分析與歸納的能力，但是學(xué)生對(duì)新的數(shù)學(xué)問題的探究有一定困難.尤其是為什么要轉(zhuǎn)化，怎么把新問題轉(zhuǎn)化為已知問題來解決是現(xiàn)階段學(xué)生學(xué)習(xí)的“攔路虎”，學(xué)生從七年級(jí)入學(xué)開始實(shí)行小組合作學(xué)習(xí)，有很多講演的機(jī)會(huì)，能夠較好地表達(dá)自己的觀點(diǎn)，渴望應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)解決問題，但邏輯推理能力和用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行探索和歸納的能力還有待進(jìn)一步提高．而這節(jié)課探究性較強(qiáng)，學(xué)生探究問題和添加輔助線的經(jīng)驗(yàn)還不夠豐富.本節(jié)課學(xué)生的學(xué)習(xí)還可能存在以下困難.

（1）探究四邊形的內(nèi)角和時(shí)，在探究三角形內(nèi)角和的啟發(fā)下，可能想得到度量法、拼圖法，卻想不到添加輔助線的方法.

（2）學(xué)生在探究五邊形、六邊形、七邊形的內(nèi)角和時(shí)，可能出現(xiàn)從不同的點(diǎn)出發(fā)去分割圖形，卻求不出它的內(nèi)角和.

（3）學(xué)生可能采用不同的方法分別探究出了五邊形、六邊形、七邊形的內(nèi)角和，卻找不到規(guī)律，而歸納、猜想不出n邊形的內(nèi)角和如何表示．

教學(xué)重點(diǎn)：多邊形內(nèi)角和定理及其證明過程.

教學(xué)難點(diǎn)：理解多邊形內(nèi)角和問題的解決為什么要轉(zhuǎn)化，如何轉(zhuǎn)化的思維發(fā)生、發(fā)展過程．

教學(xué)支持條件分析

八年級(jí)學(xué)生已學(xué)習(xí)過多邊形和圓的初步認(rèn)識(shí)、平行線的性質(zhì)與判定等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)平面圖形的邊、角、對(duì)角線有初步的了解，并能用這些知識(shí)解決相關(guān)問題．在七年級(jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)了三角形的基本性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，對(duì)三角形的內(nèi)角和為180°有較深的理解．在本章學(xué)習(xí)了平行四邊形相關(guān)性質(zhì)后，知道長方形、梯形等特殊四邊形的內(nèi)角和為360°，但對(duì)任意四邊形的內(nèi)角和是多少不能嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣f明．八年級(jí)的學(xué)生已初步學(xué)會(huì)了簡單的邏輯推理方法，掌握了一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，能在教師的引導(dǎo)下獨(dú)立地解決一些基本問題．因此，在教學(xué)中注重運(yùn)用開放性問題引導(dǎo)、鼓勵(lì)學(xué)生大膽闡述自己的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流能力，理解從特殊到一般的數(shù)學(xué)方法和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．

課堂注重由特殊到一般、從具體到抽象的教學(xué)策略．一方面，通過學(xué)生自主思考和互動(dòng)研討，把問題的研究從特殊引向一般，充分經(jīng)歷探究多邊形內(nèi)角和定理的全過程，突出教學(xué)重點(diǎn)．另一方面，在定理的推導(dǎo)過程中，注意分析如三角形、特殊四邊形等已有模型的特征，通過已有模型的研究、轉(zhuǎn)化和類比，突破教學(xué)難點(diǎn)．課堂采用自主探究教學(xué)方法，選擇開放性問題，啟發(fā)學(xué)生盡可能從不同方面思考問題、解決問題，揭示思維水平的深刻性；引導(dǎo)學(xué)生積極參與合作學(xué)習(xí)、探究發(fā)現(xiàn)、實(shí)踐與體驗(yàn)．

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1．創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

師：同學(xué)們，就像一份快樂，如果兩個(gè)人分享就會(huì)得到更多的快樂一樣，有的事物去掉一部分，剩下的部分反而有可能變得更大、更多，你們相信嗎？也許大家覺得不可思議，可是，今天我們要學(xué)習(xí)的多邊形的內(nèi)角和就是一個(gè)典型的例子．

學(xué)生活動(dòng)：思考、反饋，結(jié)合生活實(shí)際大膽地說出自己的疑惑與想法．

【設(shè)計(jì)意圖】通過一個(gè)富含哲理的問題，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，充分調(diào)動(dòng)其好奇心和求知欲，為本節(jié)課后續(xù)的深入學(xué)習(xí)埋下伏筆．

2．實(shí)踐探索，去偽存真

師：每個(gè)組的資料盒里都準(zhǔn)備了一些長方形的卡紙，請(qǐng)取出一張，任意剪掉一個(gè)角，可以有幾種不同的剪法，剪出可能的圖形，并思考以下問題：剪出的圖形內(nèi)角和是多少？你是怎么計(jì)算的？結(jié)果比原來的長方形內(nèi)角和增加了，還是減少了？剪好的小組請(qǐng)派代表將圖形貼在黑板上，準(zhǔn)備交流對(duì)以上問題的思考．

學(xué)生活動(dòng)：用剪刀剪出可能的圖形，思考剪出圖形的內(nèi)角和，把計(jì)算原理整理在學(xué)案相應(yīng)位置上，大膽地討論、展示自己的剪裁作品，從多方面入手，求出所剪圖形的內(nèi)角和，感受多邊形內(nèi)角和隨邊數(shù)變化而變化的事實(shí)．

【設(shè)計(jì)意圖】以一個(gè)開放性的數(shù)學(xué)問題直接進(jìn)入這節(jié)課的主題，讓一個(gè)看似很容易的問題引起學(xué)生的認(rèn)知沖突和探究興趣，讓學(xué)生在自覺或不自覺的狀態(tài)下把眼光集中在多邊形的內(nèi)角和上．通過對(duì)長方形的剪裁，認(rèn)識(shí)到多邊形內(nèi)角和會(huì)隨多邊形邊數(shù)的變化而變化，建立特殊四邊形與三角形、五邊形的聯(lián)系，為對(duì)多邊形進(jìn)行類比研究打下基礎(chǔ)．

3．轉(zhuǎn)化探究，初步解惑

師：對(duì)于正方形、長方形、平行四邊形、梯形等特殊的四邊形，我們已經(jīng)能求得其內(nèi)角和為360°，但畢竟它們都是特殊的四邊形，那么對(duì)于任意的四邊形能否通過轉(zhuǎn)化求出內(nèi)角和？請(qǐng)每位同學(xué)都任意畫一個(gè)四邊形，嘗試用轉(zhuǎn)化的方法從不同的角度思考求出它的內(nèi)角和，做好交流準(zhǔn)備．

學(xué)生活動(dòng)：在卡紙上畫任意四邊形，類比三角形內(nèi)角和的研究方法，對(duì)任意四邊形的內(nèi)角和進(jìn)行多角度思考，尋找不同的解決問題的辦法．

【設(shè)計(jì)意圖】通過畫任意四邊形求內(nèi)角和，把研究的對(duì)象從特殊引向一般，引導(dǎo)學(xué)生把握其內(nèi)在的規(guī)律，滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

4．類比探究，概括公式

師：同學(xué)們通過不同角度的思考，充分證明了四邊形內(nèi)角和為360°，那么五邊形、六邊形、七邊形，……，甚至n邊形的內(nèi)角和又是多少度呢？請(qǐng)大家運(yùn)用自己學(xué)到的知識(shí)，在學(xué)案相應(yīng)位置寫出你的結(jié)論．

教師參與小組探究，傾聽學(xué)生討論，組織小組代表匯報(bào)探究成果（鼓勵(lì)學(xué)生說出不同分割方法，以便全班共享），總結(jié)數(shù)學(xué)思想和方法．

學(xué)生活動(dòng)：以四邊形內(nèi)角和的研究方法做類比，尋找多邊形內(nèi)角和隨邊的變化而變化的規(guī)律，從不同的角度推導(dǎo)、表示、認(rèn)識(shí)、理解多邊形的內(nèi)角和公式．

【設(shè)計(jì)意圖】以任意四邊形內(nèi)角和的研究方法做類比，繼續(xù)深化學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的理解，尋找多邊形內(nèi)角和隨邊的變化而變化的規(guī)律，從不同的角度理解多邊形的內(nèi)角和公式．以此進(jìn)一步鍛煉學(xué)生分析和解決問題的能力，達(dá)成掌握多邊形的內(nèi)角和定理，體會(huì)類比、化歸的數(shù)學(xué)思想的教學(xué)目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)本節(jié)課重、難點(diǎn)的第二次突破．這樣不僅掌握了公式，而且還總

結(jié)出了類似數(shù)學(xué)問題的研究方法，進(jìn)而完成新知識(shí)的建構(gòu)與內(nèi)化.

5．隨堂練習(xí)，鞏固提升

練習(xí)：（1）試求二十邊形的內(nèi)角和．

（2）已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都是156°，試求它的邊數(shù)．

（3）把一張五邊形的紙片剪掉一個(gè)角后，得到的多邊形內(nèi)角和的度數(shù)是多少？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生嘗試練習(xí)，用本節(jié)課學(xué)到的多邊形內(nèi)角和公式解決已知多邊形邊數(shù)求內(nèi)角和、已知內(nèi)角和求邊數(shù)等問題．

【設(shè)計(jì)意圖】三道練習(xí)題，層層遞進(jìn).第（1）小題直接鞏固公式，第（2）小題深化邊角關(guān)系，第（3）小題則注重知識(shí)、方法的靈活應(yīng)用，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想；通過練習(xí)強(qiáng)化對(duì)多邊形內(nèi)角和定理的掌握，進(jìn)一步優(yōu)化學(xué)生思維，提高能力．

6．歸納總結(jié)，內(nèi)化吸收

學(xué)完這節(jié)課的知識(shí)、方法后，請(qǐng)學(xué)生分享各自的收獲和學(xué)習(xí)體會(huì)，分享后對(duì)學(xué)生的總結(jié)進(jìn)行提煉、歸納，滲透德育思想．

學(xué)生活動(dòng)：（1）掌握多邊形內(nèi)角和公式（n－2）· 180°；（2）體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想；（3）掌握由特殊到一般的研究方法；（4）從不同的角度思考同一個(gè)問題會(huì)有不同的收獲．

【設(shè)計(jì)意圖】回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)及應(yīng)用到的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法．學(xué)生小結(jié)，教師補(bǔ)充、提煉，使這節(jié)課所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化，并從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，滲透德育思想．

7.作業(yè)跟進(jìn)，融會(huì)貫通

（1）用四塊大小形狀完全相同的四邊形可拼成一塊無空隙的紙板，試用本節(jié)課的知識(shí)說明理由．

（2）請(qǐng)?zhí)骄?，除了四邊形以外，哪些正多邊形紙板還可以拼成無空隙的紙板？

【設(shè)計(jì)意圖】課后設(shè)計(jì)開放性問題，是課堂活動(dòng)的延展，面向全體學(xué)生，不同學(xué)生能根據(jù)自己的理解獲得屬于自己的答案，適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的需要，是人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展的較好體現(xiàn)．學(xué)生通過完成開放性的探究性作業(yè)，進(jìn)一步思考多邊形內(nèi)角和在實(shí)際生活中的應(yīng)用價(jià)值．

參考文獻(xiàn)：

［1］林松杰，袁丹.關(guān)注課堂練習(xí)，提高教學(xué)效率［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2011（5）：5-8.

［2］范良火.華人如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)（中文版）［M］.南京：江蘇教育出版社，2005.

收稿日期：2015—11—27

作者簡介：榮彬（1983—），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)教育與中學(xué)教學(xué)研究.