廖　翔

(廣西師范學(xué)院初等教育學(xué)院(長(zhǎng)罡校區(qū))，廣西 南寧 530023)

小學(xué)數(shù)學(xué)合情推理要素分析及優(yōu)化

廖翔

(廣西師范學(xué)院初等教育學(xué)院(長(zhǎng)罡校區(qū))，廣西 南寧 530023)

[摘要]從《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中合情推理的定義出發(fā)，分析了合情推理實(shí)現(xiàn)過程的三個(gè)主要因素：事實(shí)、歸納法和經(jīng)驗(yàn)，并從“提高事實(shí)的清晰度(情境體驗(yàn)—客觀描述—抽象概括)、提升歸納法的使用效率(知識(shí)準(zhǔn)備—材料支撐—演繹分析)、加快推理經(jīng)驗(yàn)的積累速度(回顧反思—形成模式—自我嘗試)”三方面給出了各要素的優(yōu)化途徑。

[關(guān)鍵詞]合情推理；歸納法；優(yōu)化途徑；小學(xué)；數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開推理，推理包括合情推理和演繹推理，通過合情推理可以獲得數(shù)學(xué)猜想，如果猜想能得到演繹推理的證實(shí)，就成為新的數(shù)學(xué)定理或公式。同樣，小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也離不開推理，尤其是合情推理，其本質(zhì)就是在已知的基礎(chǔ)上探索出新結(jié)論，經(jīng)歷合情推理過程,有助于新知識(shí)的意義建構(gòu)，有助于創(chuàng)新思維的提高。

一、數(shù)學(xué)合情推理要素分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果。”這一定義涵蓋了合情推理實(shí)現(xiàn)過程必不可少的三個(gè)主要因素：事實(shí)、歸納法和經(jīng)驗(yàn)。

1.事實(shí)——合情推理的基礎(chǔ)

事實(shí)乃是對(duì)呈現(xiàn)于感官之前的事物或現(xiàn)象的某種實(shí)際情況(某物具有的某種性質(zhì)或某些事物具有某種關(guān)系)的一種斷定或陳述。[1]要獲得事實(shí)，首先是感知具體事物或事件，然后發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)藏的性質(zhì)和關(guān)系，最后能夠用語言表述出來?？梢?，事實(shí)是個(gè)人通過感官和思維加以確認(rèn)的真命題。羅素說過：“任何一個(gè)誠(chéng)實(shí)的推理者都是根據(jù)信以為真的命題進(jìn)行推理的?！睕]有事實(shí)，合情推理就無從進(jìn)行。數(shù)學(xué)課堂的合情推理，必以數(shù)學(xué)事實(shí)為基礎(chǔ)展開。數(shù)學(xué)事實(shí)就是用數(shù)學(xué)語言(包括文字、數(shù)學(xué)符號(hào)、圖表)表述的有關(guān)數(shù)(量)、形特征或規(guī)律的事實(shí)。那么，小學(xué)生的數(shù)學(xué)事實(shí)從何而來呢？由于小學(xué)生還處于以具體形象思維為主向抽象思維的過渡期，不能自覺自如地運(yùn)用數(shù)學(xué)概念和符號(hào)，他們認(rèn)定的數(shù)學(xué)事實(shí)必來源于具體生動(dòng)的體驗(yàn)：一是源于可以理解生活事件，可稱之為生活類數(shù)學(xué)事實(shí)；二是源于正確的數(shù)學(xué)計(jì)算、作圖、操作活動(dòng)等，可稱之為實(shí)踐類數(shù)學(xué)事實(shí)。在此基礎(chǔ)上還需要實(shí)現(xiàn)“數(shù)(量)、形的特征—自然事實(shí)—數(shù)學(xué)事實(shí)”的兩個(gè)轉(zhuǎn)化，如“從學(xué)校回家有不同的路線選擇”是小學(xué)生體驗(yàn)過的生活事件，他們能直觀地看出路線的長(zhǎng)短，說出路線的數(shù)量關(guān)系：“兩條路合起來比另一條路長(zhǎng)”。這是用自然語言表述的自然事實(shí)，經(jīng)過抽象及數(shù)學(xué)概念“和、邊、大于”的運(yùn)用才能轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)事實(shí)即“這一個(gè)三角形的兩邊之和大于第三邊”。較之于自然事實(shí)，數(shù)學(xué)事實(shí)明確而精細(xì)，其中包含的數(shù)學(xué)符號(hào)和概念有利于后續(xù)推理活動(dòng)的判別、比較、計(jì)算、分析。教師引導(dǎo)合情推理首先要保證小學(xué)生頭腦中數(shù)學(xué)事實(shí)的清晰度。

2.歸納法——合情推理的工具

歸納的本質(zhì)就是“從個(gè)別到一般”，在小學(xué)數(shù)學(xué)的合情推理中，歸納法又可以細(xì)分為枚舉歸納、類比和統(tǒng)計(jì)推斷。枚舉歸納法和統(tǒng)計(jì)推斷都是找到有限個(gè)同類事物的共有事實(shí)，然后推廣：如發(fā)現(xiàn)5個(gè)三角形都有任意兩邊之和大于第三邊的事實(shí)，從而推出所有三角形的任意兩邊之和大于第三邊，這是枚舉歸納法；又如從放有紅球和白球的盒子里隨意拿出一個(gè)(拿出放回?fù)u勻)，這樣的實(shí)驗(yàn)重復(fù)20次，計(jì)數(shù)比較后發(fā)現(xiàn)拿出的紅球次數(shù)比白球的次數(shù)多，重復(fù)30次、40次，都是拿出的紅球次數(shù)比白球的次數(shù)多，從而推斷出無論拿多少次，都是拿出的紅球次數(shù)比白球的次數(shù)多(即任意拿一次，得到紅球的可能性大)。這是統(tǒng)計(jì)推斷。從以上實(shí)例我們可以看出枚舉法的同類事物是個(gè)體(如上例中的每一個(gè)三角形)，可以直接從個(gè)體當(dāng)中找到共有事實(shí)。而統(tǒng)計(jì)推斷的同類事物是一組(如上例中的20次試驗(yàn)、30次試驗(yàn)、40次試驗(yàn)是三個(gè)同類事物)，需通過統(tǒng)計(jì)才能形成數(shù)據(jù)分布特征即這些同類事物的共有事實(shí)。由于統(tǒng)計(jì)推斷要推廣的事實(shí)是隨機(jī)數(shù)據(jù)分布特征，所以要保證數(shù)據(jù)的獨(dú)立性、隨機(jī)性和數(shù)量，這其實(shí)就是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的樣本和樣本容量的選擇。枚舉法和統(tǒng)計(jì)推斷都是基于同類事物的歸納推理，而類比法則是基于兩類相似事物的歸納推理：已知兩類相近事物共有有限個(gè)事實(shí)，從而推出這兩類事物還具有其他的共有事實(shí)。可見類比推理從“個(gè)別到一般”后還未結(jié)束，是“先從個(gè)別到一般再到個(gè)別”的推理。以上三種歸納法，枚舉歸納所得結(jié)論最為直接，而統(tǒng)計(jì)推斷需要進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，類比需要尋找相近事物，推理步驟相對(duì)曲折。

盡管小學(xué)生在日常生活中常用歸納法，但他們?cè)跀?shù)學(xué)合情推理中卻難以自覺自如地使用這一工具，原因之一在于數(shù)學(xué)歸納是建立在數(shù)學(xué)概念和框架下的推理，“有限個(gè)、同類事物、共有事實(shí)、任意”等推理過程中必須明確的關(guān)鍵點(diǎn)都離不開小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、運(yùn)算、統(tǒng)計(jì)方法等等的理解，他們還需“審慎地考慮各個(gè)特殊的事實(shí),并運(yùn)用比較、分析、綜合、抽象、概括以及探求因果關(guān)系等一系列的邏輯方法”[2]，因而，教師在引導(dǎo)歸納法的運(yùn)用時(shí)必須關(guān)注小學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和抽象邏輯思維發(fā)展水平。

3.經(jīng)驗(yàn)——合情推理的依據(jù)

經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生于實(shí)踐，又對(duì)后續(xù)的實(shí)踐起到指引方向的作用。正如“坐在蘋果樹下被蘋果砸中是常有的事，卻只有牛頓從中發(fā)現(xiàn)了萬有引力”一樣，一個(gè)擁有探索活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的人，能依據(jù)以往的實(shí)踐路線展開思考，從而順利地發(fā)現(xiàn)。小學(xué)生的數(shù)學(xué)合情推理，需要依據(jù)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是感悟了歸納推理和演繹推理過程后積淀形成的數(shù)學(xué)思維模式。[3]在合情推理過程中，歸納這一工具的使用離不開“演繹”的幫助：對(duì)實(shí)際材料進(jìn)行歸納需要演繹的指導(dǎo)，歸納獲得的猜想需要演繹加以證實(shí)。二者相輔相成，無法分割。盡管每一次合情推理都是一次新的歸納與演繹協(xié)同作用的過程，但除掉具體的細(xì)節(jié)，它們都遵循一定的思維模式，如果有所感悟，這種思維模式便在頭腦中逐漸固化，就成為經(jīng)驗(yàn)。一旦遇到類似問題，會(huì)下意識(shí)地回憶，依據(jù)經(jīng)驗(yàn)展開思考。經(jīng)驗(yàn)不能單純地通過聽講獲得，必須親身經(jīng)歷和感受，逐漸領(lǐng)悟，當(dāng)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累到能被大腦迅速調(diào)取，形成直觀判斷便達(dá)到了最高層次：數(shù)學(xué)的直覺。積累經(jīng)驗(yàn)最終形成數(shù)學(xué)直覺是合情推理教學(xué)的長(zhǎng)期任務(wù)。

二、數(shù)學(xué)合情推理要素優(yōu)化

1.提高事實(shí)的清晰度：情境體驗(yàn)—客觀描述—抽象概括

事實(shí)最初來源于感官，生活和學(xué)習(xí)活動(dòng)中的事件刺激感官在大腦中留有表象，一旦被思維確認(rèn)，就形成事實(shí)。表象給思維提供了材料，真切的體驗(yàn)則使思維進(jìn)入最佳狀態(tài)。課堂上，教師不光要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，激活學(xué)生頭腦中的表象，還應(yīng)設(shè)計(jì)能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生情感體驗(yàn)的問題，使學(xué)生有感而發(fā)，有話可講。如創(chuàng)設(shè)購(gòu)物情境：商品價(jià)格都是以“元”為單位的小數(shù)。問題1：“你的手中只有零散的角票，你會(huì)怎么想？該怎么算錢呢？”問題2：“你能把價(jià)格的小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)計(jì)算嗎？”兩者相比，前者讓學(xué)生解決“自己”的問題，每個(gè)學(xué)生都可以遵從內(nèi)心的傾向和體驗(yàn)說出想法。這種帶有情感色彩的表象更容易成為思維捕捉的對(duì)象。在此基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)數(shù)、計(jì)算、測(cè)量、比較等手段獲得事物的客觀性質(zhì)(關(guān)系)，對(duì)表象進(jìn)行加工處理。這一階段應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生積極表述，他們的語言盡管零散、含糊，但這種外顯思維形式意味著大腦對(duì)客觀事實(shí)的不斷確認(rèn)。教師整理學(xué)生的描述，就形成了學(xué)生認(rèn)可的自然事實(shí)。如：當(dāng)學(xué)生直觀感受到轉(zhuǎn)彎的路線比直的路線長(zhǎng)的時(shí)候，教師引導(dǎo)學(xué)生量一量每條路線長(zhǎng)度，再計(jì)算比較，這樣學(xué)生就可以用客觀的數(shù)據(jù)來描述路線的長(zhǎng)度關(guān)系。測(cè)量的同時(shí)，學(xué)生也有了路線抽象成線段的心向，教師再引導(dǎo)學(xué)生想一想線路圖中蘊(yùn)藏著怎樣的數(shù)學(xué)圖形，很快就可以進(jìn)入“抽象概括”階段。數(shù)學(xué)事實(shí)的獲取就是將自然事實(shí)轉(zhuǎn)化成含有數(shù)學(xué)符號(hào)、名稱、圖表的高度概括的語言陳述。由于小學(xué)生的語言組織能力較弱且對(duì)一些數(shù)學(xué)用語掌握不牢，當(dāng)學(xué)生難以獨(dú)立抽象概括時(shí)，教師就要在肯定學(xué)生客觀描述的基礎(chǔ)上進(jìn)行示范、講解、強(qiáng)化。如在學(xué)生描述：“這一三角形的三個(gè)角加起來是180°”的基礎(chǔ)上，明確指出：“你們說的三個(gè)角都在三角形里邊，這些角稱為內(nèi)角，三個(gè)內(nèi)角加起來就是內(nèi)角和?！边€可以通過“指一指三角形的內(nèi)角在哪？怎么求內(nèi)角和？”等問題強(qiáng)化“內(nèi)角和”這一抽象概念。如此，學(xué)生就能獲得清晰的數(shù)學(xué)事實(shí)。

2.提升歸納法的使用效率：知識(shí)準(zhǔn)備—材料支撐—演繹分析

歸納法本身不難理解，學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中常會(huì)下意識(shí)地使用歸納法，如錯(cuò)誤計(jì)算3.15+2.3=3.38，其實(shí)是“整數(shù)相加末位對(duì)齊”類比得出“小數(shù)相加末位對(duì)齊”的運(yùn)用。在教學(xué)中，我們要鼓勵(lì)猜想，更要教會(huì)猜想，只有正確地使用歸納法才能獲得可靠性強(qiáng)的猜想使其成為“科學(xué)發(fā)現(xiàn)的金鑰匙”。如何才能得出可靠性強(qiáng)的猜想呢？首先要保證合情推理的基礎(chǔ)即數(shù)學(xué)事實(shí)能反映出事物內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系；其次要求推理的前提條件即有限個(gè)同類事物覆蓋面廣，具有較好的代表性；最后需對(duì)猜想進(jìn)行檢驗(yàn)修正。小學(xué)階段并不要求做嚴(yán)格的證明，但可以通過列舉反例推翻最初的猜想、解釋說明提高猜想的可信度，以上三點(diǎn)都離不開對(duì)原有知識(shí)做演繹分析。上例“整數(shù)相加末位對(duì)齊”是表面特征，如果學(xué)生能回憶起“相同單位的數(shù)才能相加減”這一知識(shí)點(diǎn)并分析出“整數(shù)相加數(shù)位對(duì)齊”這一本質(zhì)特征，還能選取不同的小數(shù)(小數(shù)部分位數(shù)不同)嘗試計(jì)算檢驗(yàn)，那么就能順利類比出“小數(shù)相加點(diǎn)對(duì)齊”并正確計(jì)算?？梢娫谡n堂上提升歸納法的使用效率首先就要幫助學(xué)生復(fù)習(xí)舊知識(shí)，要注意的是復(fù)習(xí)不是對(duì)舊知識(shí)的簡(jiǎn)單回憶，而是讓學(xué)生運(yùn)用舊知識(shí)練一練、做一做、說一說，使得學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)舊知識(shí)的實(shí)際意義，為后續(xù)的推理活動(dòng)指引方向。如“計(jì)算3元5角與2元6分的和，讓學(xué)生說說算的時(shí)候注意什么”使得學(xué)生切實(shí)回憶并認(rèn)同“相同單位的數(shù)才能相加減”。由于小學(xué)生的抽象邏輯思維較低，要順利演繹分析，就需要具體材料(數(shù)據(jù)、算式、圖形、圖表、學(xué)具)的支撐。教師提供的材料應(yīng)利于學(xué)生理解概念，同時(shí)讓學(xué)生帶著問題去操作材料，使學(xué)生在思考問題的過程中理清各操作步驟的相互關(guān)系及過程和結(jié)果的因果聯(lián)系，當(dāng)學(xué)生能夠正確回答問題并闡述理由，就說明他們積累了一定的分析、判斷經(jīng)驗(yàn)，這時(shí)教師可以幫助他們整理經(jīng)驗(yàn)，要求他們脫離具體，運(yùn)用抽象概念、公式定理推導(dǎo)結(jié)論，即開始嘗試演繹分析。學(xué)生通常會(huì)出現(xiàn)前提條件不充分、結(jié)論和條件倒置的情況，教師應(yīng)及時(shí)糾正并示范以保證演繹過程的條理性和完整性。

3.加快推理經(jīng)驗(yàn)的積累速度：回顧反思—形成模式—自我嘗試

小學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)合情推理的思維步驟大體有：自然事實(shí)向數(shù)學(xué)事實(shí)轉(zhuǎn)化；尋找多個(gè)特例明確數(shù)學(xué)事實(shí)；運(yùn)用歸納法獲得猜想；修正和檢驗(yàn)猜想。當(dāng)頭腦中各個(gè)步驟之間產(chǎn)生了實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，前后連貫，就形成了模式。經(jīng)驗(yàn)積累就是對(duì)模式的記憶和認(rèn)可過程，經(jīng)驗(yàn)只有積累到一定程度，才能指導(dǎo)行動(dòng)，形成直覺后，才能自動(dòng)化。合情推理的教學(xué)，一方面要引導(dǎo)學(xué)生得出可靠性強(qiáng)的猜想，從而形成新知識(shí)；另一方面要幫助學(xué)生積累推理經(jīng)驗(yàn)，逐步加強(qiáng)合情推理的自覺性。經(jīng)驗(yàn)積累是一個(gè)長(zhǎng)期的過程，初期的教學(xué)重在引領(lǐng)學(xué)生感悟合情推理的模式，教師可按以上四個(gè)步驟設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，在各環(huán)節(jié)，若學(xué)生在演繹分析中遇到困難需及時(shí)啟發(fā)示范，保證其思維的流暢。結(jié)束后讓學(xué)生說說新知識(shí)是怎么得來的，幫助他們回顧推理步驟，留下印象。學(xué)生按照老師設(shè)定的路徑前進(jìn)時(shí)，可以順利得出結(jié)果，但無法理解各步驟的意義和價(jià)值，也就難以自覺地模仿。中期，就要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)經(jīng)歷過的推理步驟進(jìn)行反思，通過提問：“我們是怎么發(fā)現(xiàn)這個(gè)特點(diǎn)(規(guī)律)的？為什么例子(實(shí)驗(yàn))需要這么多？多個(gè)(某數(shù)學(xué)對(duì)象)有這樣的特點(diǎn)(規(guī)律)，所有的(任意的)都這樣嗎？你為什么覺得這個(gè)結(jié)論是正確的？”把教師設(shè)定的活動(dòng)轉(zhuǎn)化為學(xué)生自己的行為，使其明確各步驟的必要性和前后關(guān)系，多次這樣的訓(xùn)練，學(xué)生就會(huì)逐漸認(rèn)可從而形成合情推理模式。后期，可以在探究性問題的指引下，放手讓學(xué)生嘗試合情推理。教師應(yīng)當(dāng)創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生從自然事實(shí)中獲得初步的猜想，并引導(dǎo)學(xué)生回憶以往的推理過程，然后說說自己的方法。如“長(zhǎng)方體體積公式”是小學(xué)高年級(jí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，不妨讓學(xué)生自主探究，學(xué)生可從集裝箱標(biāo)注有長(zhǎng)、寬、高數(shù)值的情境圖中獲得初步的猜想：長(zhǎng)方體體積和長(zhǎng)、寬、高有關(guān)，進(jìn)一步思考就得到本節(jié)課的探究性問題：已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，如何求體積？教師可用PPT展示以往長(zhǎng)方形面積公式推導(dǎo)過程，并提供邊長(zhǎng)為1 cm的小正方體若干個(gè)，為學(xué)生的后續(xù)活動(dòng)指明方向。只有經(jīng)歷自我嘗試，學(xué)生才能真正體驗(yàn)到合情推理的效用，從而自覺使用。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 張繼成.事實(shí)、命題與證據(jù)[J].中國(guó)社會(huì)科學(xué)，2001(5)：136-145.

[2] 編者語.何謂”合情推理”(續(xù))[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(小學(xué)版)，2011(11)：17-21.

[3] 郭玉峰，史寧中.“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”研究：內(nèi)涵與維度劃分[J].教育學(xué)報(bào)，2012(10)：24-28.

[責(zé)任編輯：陳學(xué)濤]

[收稿日期]2015-11-23

[基金項(xiàng)目]廣西師范學(xué)院教師前期基礎(chǔ)研究立項(xiàng)項(xiàng)目。

[作者簡(jiǎn)介]廖翔(1976-)，女，廣西柳州人，碩士，講師。

[中圖分類號(hào)]G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[文章編號(hào)]1002-1477(2016)05-0064-03

數(shù)學(xué)研討[DOI]10.16165/j.cnki.22-1096/g4.2016.05.017