雷佳賓（烏魯木齊職業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)教育部，新疆烏魯木齊830002）

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Lingo軟件在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

雷佳賓
（烏魯木齊職業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)教育部，新疆烏魯木齊830002）

摘要：本文針對近幾年的三道全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（大專組）的賽題為例，利用Lingo軟件（14.0版）的建模語言對所求的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題進(jìn)行描述，展示其模型求解，優(yōu)化分析等強(qiáng)大的功能。

關(guān)鍵詞：Lingo；數(shù)學(xué)規(guī)劃；數(shù)學(xué)建模

Abstract:Taking the three mathematical problems in national college students mathematics modeling contest (College Group) in recent years as examples, this paper describes the mathematical programming problems by using Lingo software (14 Edition) modeling language, to show its powerful functions of solving the problem and the optimization analysis.

Keywords:Lingo; mathematical programming; mathematical modeling

數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling）是研究現(xiàn)實(shí)世界中特定的對象，為達(dá)到既定目的，對實(shí)際問題作出合理的假設(shè)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，采取現(xiàn)有的數(shù)學(xué)方法及工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果的過程[1]。全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（Contemporary Unde

rgraduate Mathematical Contest in Modeling）是一項(xiàng)面向國內(nèi)外的高校學(xué)生的基礎(chǔ)性學(xué)科競賽，創(chuàng)辦于1992年，每年一屆，由中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會主辦?，F(xiàn)在已成為國內(nèi)高校規(guī)模最大的學(xué)科競賽，2015年有來自1326所院校共85000多名學(xué)生報(bào)名參加了競賽。

Lingo軟件是Linus Schrage教授（芝加哥大學(xué)）開發(fā)的一款用于求解最優(yōu)化問題的程序包[3]。目前Lingo最新的產(chǎn)品已經(jīng)有Lingo14.0版本?？v觀近幾年來的數(shù)學(xué)建模競賽題目,都是一些帶有大量數(shù)據(jù)的實(shí)際問題，需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行分類分層統(tǒng)計(jì)，數(shù)學(xué)規(guī)劃及最優(yōu)化處理，往往建立的數(shù)學(xué)模型的計(jì)算較為復(fù)雜，而matlab、mathmatica等專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件很難在短時(shí)間里讓非專業(yè)的學(xué)生掌握應(yīng)用。Lingo軟件的最大特點(diǎn)就是：程序語法簡單，計(jì)算結(jié)果的精度高、修改較為容易，便于模型的建立和求解。本文以2010年C題（輸油管的布置問題）中的最短路徑及最小費(fèi)用管線布置方案、2011年D題（天然腸衣搭配問題）中的提高生產(chǎn)效率和原料使用率最優(yōu)搭配方案、2015年D題（眾籌筑屋規(guī)劃方案設(shè)計(jì)）中以滿足最好的眾籌意愿的規(guī)劃設(shè)計(jì)等問題為例，較好地應(yīng)用Lingo建立模型求解，展示其求解數(shù)學(xué)模型及優(yōu)化運(yùn)算的強(qiáng)大功能。

一、2010年“高教社杯”全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽C題

問題產(chǎn)生的背景是在鐵路線上的同側(cè)有兩家煉油廠，需要建立運(yùn)送管線，達(dá)到規(guī)劃設(shè)計(jì)所花費(fèi)用最少，使管道運(yùn)行的經(jīng)濟(jì)效益最高的目標(biāo)。

問題二進(jìn)行具體的設(shè)計(jì)（具體數(shù)據(jù)見原題），根據(jù)三個(gè)公司的不同資質(zhì)，我們查閱了大量的資料，選擇了權(quán)重系數(shù)為0.7：0.15：0.15，即：21×0.7+24×0.15+20×0.15=21.3。以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AC所在的直線為x軸，以CD所在的直線（即鐵路線）為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系。（圖略）

從而得到目標(biāo)函數(shù)S=（|AP|+|PE|+|PF|）×7.2+|BE|×（7.2+21.3）

即：

二、2011年“高教社杯”全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽D題

賽題的背景是應(yīng)腸衣加工企業(yè)的需求，希望能夠開發(fā)一套較為智能的計(jì)算軟件程序，讓企業(yè)的操作員原材料的尺寸輸入計(jì)算機(jī)，經(jīng)過軟件智能計(jì)算直接得出滿足要求的原材料下料方案。最終的目的是達(dá)到原材料的充分運(yùn)用，形成的成品的捆數(shù)越多，最短長度的越少其方案就越好，并在30分鐘內(nèi)產(chǎn)生方案。條件是總長度允許誤差范圍為[-0.5，0.5]，總根數(shù)允許誤差范圍為[-1，0]；剩余原料可以降級使用。采取的總體方案是：首先根據(jù)成品中第一種規(guī)格越多越好的要求，得到最優(yōu)解；然后把第一步剩余的原材料納入第二種規(guī)格，得到最優(yōu)解；最后把第二步多余的原材料在納入第三種規(guī)格，求最優(yōu)解。

決策目標(biāo)：總捆數(shù)maxZ1=x1+x2+x3用不同的搭配方式捆綁出各種規(guī)格最大成品數(shù)分別：X1max；X2max；X3max其中符號說明：

x1：指規(guī)格（3-6.5）的成品（單位：捆）。

x2：指規(guī)格（7-13.5）的成品（單位：捆）。

x3：指規(guī)格（14-∞）的成品（單位：捆），∞表示沒有上限，但實(shí)際長度小于26米。

r1i：指規(guī)格（3-6.5）中每檔利用根數(shù)，i=1，……，8（單位：根）。

r2i：指規(guī)格（7-13.5）中每檔利用根數(shù)，i=1，……，14（單位：根）。

r3i：指規(guī)格（14-∞）中每檔利用根數(shù)，i=1，……，20（單位：根）。

M1:指規(guī)格（3-6.5）從（7-13.5）規(guī)格中降級使用后的根數(shù)（單位：捆）。

M2:指規(guī)格（7-13.5）從（14-∞）規(guī)格中降級使用后的根數(shù)（單位：捆）。

下面分別在三種情況下求解；約束條件：為滿足廠方要求，由表1和表2分別得三種規(guī)格的約束條件。將第一種規(guī)格的構(gòu)成的整數(shù)非線性規(guī)劃模型（加上整數(shù)約束）輸入Lingo如下：max=x1;

即在滿足規(guī)格及要求的情況下，3m的用了36根，3.5m的用了59根，由最優(yōu)解可得各檔用去的根數(shù)。這種規(guī)格的成品共捆成14捆，再捆數(shù)最多的情況下，最優(yōu)解時(shí)使用的原料最多，原料的利用率也達(dá)到最值。

然后按照類似的步驟，分別對另外兩種規(guī)格的進(jìn)行整數(shù)非線性規(guī)劃進(jìn)行求解，然后再用余料分析代入Lingo模型中計(jì)算（原料出現(xiàn)剩余可以降級使用的問題）。通過計(jì)算的結(jié)果可得余料降級使用所得到成品數(shù)比余料為降級使用所得到成品數(shù)多，因此采用余料降級使用的方案好。本例中利用整數(shù)非線性規(guī)劃模型可以利用Lingo直接求解出來，而且約束條件和目標(biāo)函數(shù)都很好列出，并且通俗易懂。

三、2015年“高教社杯”全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽D題

眾籌筑屋是屬于“互聯(lián)網(wǎng)+房地產(chǎn)”時(shí)代的新型的房地產(chǎn)形式。題中的問題二通過對參籌者進(jìn)行抽樣調(diào)查，為了盡量滿足參籌者的購買意愿設(shè)計(jì)建設(shè)規(guī)劃方案。問題三要求投資回報(bào)率達(dá)到25％以上的眾籌項(xiàng)目才會被成功執(zhí)行。即是說在問題二的基礎(chǔ)上既要照顧到參籌者的意愿，還有保證項(xiàng)目的商業(yè)價(jià)值。其中題目中數(shù)據(jù)國家規(guī)定的最大容積率為2.28，土地的總面積為102077.6，根據(jù)地形限制和申請規(guī)則，城建部門規(guī)定的11種房型最低套數(shù)約束和最高套數(shù)約束等詳細(xì)數(shù)據(jù)參見原題。

按照題目要求，利用Lingo程序較好地解決好了這兩個(gè)問題：問題二中的滿意度的最大滿意率，然后約束每種房型的最大最小值，國家最大容積率的規(guī)定等，編寫以下Lingo程序運(yùn)行即可得到答案：

問題三是在問題二的基礎(chǔ)上進(jìn)一步優(yōu)化項(xiàng)目的規(guī)劃，增加投資回報(bào)率的條件，首先計(jì)算出每種房型的投資回報(bào)率后，增加一條回報(bào)率大于0.25的約束條件，即得出最優(yōu)的規(guī)劃方案。增加Lingo程序如下。

(x1*0.28 +x2*0.13 +x3*0.15 +x4*0.17 +x5*0.17 +x6*0.19 + x7*0.22+x8*0.12-x9*0.17-x10*0.14-x11*0.02)/(x1+x2+x3+x4+ x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11)＞=0.25;

表1　參籌登記網(wǎng)民對各種房型的滿意比例

四、結(jié)束語

根據(jù)這幾年的帶隊(duì)參賽經(jīng)驗(yàn)，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽特別是大專組（高職組）的C題和D題，都是需要用數(shù)學(xué)規(guī)劃來解決問題：如生產(chǎn)計(jì)劃的制定、原材料的搭配方案、人力資源的配置，最優(yōu)方案的設(shè)計(jì)等問題，都是建立最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，然后用Lingo軟件求解實(shí)現(xiàn)。而數(shù)學(xué)建模競賽的賽題都是來自工程技術(shù)和管理科學(xué)等方面經(jīng)過適當(dāng)簡化加工的實(shí)際問題，所以在經(jīng)濟(jì)社會生產(chǎn)實(shí)踐等領(lǐng)域，Lingo軟件也有很廣泛的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

[1]姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學(xué)模型（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]袁新生，廖大慶.用Lingo6.0求解大型數(shù)學(xué)規(guī)劃[J].工科數(shù)學(xué), 2001（5）.

[3]金晶晶.Lingo軟件在數(shù)學(xué)建模競賽中的應(yīng)用[J].十堰職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2010（4）.

作者簡介：雷佳賓（1981-），男，四川南充人，烏魯木齊職業(yè)大學(xué)講師，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究。

中圖分類號：G642

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：2096-000X（2016）08-0242-03