☉江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校 丁志國(guó)

并列問題遞進(jìn)解：難題思路獲取的“暗示”
——以兩道?？季C合題為例

☉江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校 丁志國(guó)

中考綜合題通常下設(shè)2～3問，從目前“流行”的命題趨勢(shì)來看，以并列式問題為多，即各個(gè)小問之間互相獨(dú)立，條件不能交叉混用，但是有些優(yōu)秀的試題雖然各個(gè)小問之間的條件不能混淆，它們背后的解法思路卻體現(xiàn)著并列式問題與遞進(jìn)式求解，也就是當(dāng)后一問較難試題的思路受阻時(shí)，要善于退回上一問，思考上一問解法的啟示，或上一問解題成果的擴(kuò)大，這時(shí)往往“柳暗花明”，獲得思路的貫通.本文就最近解題教學(xué)期間收集到的一些優(yōu)秀模考題，講解這種解答策略，并跟進(jìn)教學(xué)思考，供研討.

一、考題及思路突破

考題1：已知拋物線C：y=（x+2）［t（x+1）-（x+3）］，其中-7≤t≤-2，且無論t取任何符合條件的實(shí)數(shù)，點(diǎn)A、P都在拋物線C上.

（1）當(dāng)t=-5時(shí)，求拋物線C的對(duì)稱軸；

（2）當(dāng)-60≤n≤-30時(shí)，判斷點(diǎn)（1，n）是否在拋物線C上，并說明理由；

（3）如圖1，若點(diǎn)A在x軸上，過點(diǎn)A作線段AP的垂線交y軸于點(diǎn)B，交拋物線C于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為時(shí)，求S△PAD的最小值.

圖1

圖2

思路講解：（1）把t=-5代入拋物線C的解析式中，整理得y=-6x2-20x-16，結(jié)合對(duì)稱軸方程，即得對(duì)稱軸為直線

（2）若（1，n）在拋物線上，將點(diǎn)（1，n）代入解析式，得n=6t-12.結(jié)合題干條件-7≤t≤-2，可以分析出-54≤n≤-24.比對(duì)另一個(gè)n的取值范圍-60≤n≤-30，只有在它們的公共部分“-54≤n≤-30”，點(diǎn)（1，n）在拋物線C上；而當(dāng)-60≤n＜-54時(shí)，點(diǎn)（1，n）不在拋物線C上.這里解答時(shí)要注意分類討論.

（3）這道較難題的起點(diǎn)在于確認(rèn)點(diǎn)A、P的坐標(biāo)，信息在題干中，一直沒有使用（前兩問并沒有涉及這個(gè)信息，閑置一段時(shí)間后，容易忽略）.由點(diǎn)A在x軸上，拋物線C的解析式“y=（x+2）［t（x+1）-（x+3）］”的特點(diǎn)，容易看出可能是x+2=0，此時(shí)對(duì)應(yīng)著A（-2，0），另一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)稍難，讓我們把目光投向解析式中的“［t（x+1）-（x+3）］”，要使這個(gè)式子的值與t無關(guān)，則x=-1，即此時(shí)P（-1，-2）.

如圖2，過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，可得PN=AO=2，∠PNA=∠AOB=90°.由PA⊥AB，得∠PAN+∠BAO=90°.又∠ABO+∠BAO=90°，所以∠PAN=∠ABO.于是△PAN≌△ABO.可得BO=1，再由勾股定理得

過點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，可得∠DMA=∠BOA=90°.又∠DAM=∠BAO，所以△DAM∽△BAO，得比例式.所以（注意，這里也可以根據(jù)銳角三角函數(shù)快速得出）所以由A（-2，0）、B（0，1），解讀出直線AB的解析式為1.當(dāng)時(shí)，x=2m-1（.這里點(diǎn)D的坐標(biāo)，也可以根據(jù)AM、MO的長(zhǎng)演算得出）把點(diǎn)代入拋物線C的解析式，得

另解思考：確認(rèn)點(diǎn)A、P、B的坐標(biāo)之后，可寫出直線AB的解析式為將其與拋物線C的解析式聯(lián)立，得

回顧反思：這道試題第（1）問是送分題，但是第（2）問就需要較為扎實(shí)的運(yùn)算、變形能力，且運(yùn)算到n的取值范圍之后需要與另一個(gè)范圍比對(duì)、確認(rèn)公共部分，并分類討論獲得解集.重要的是，第（2）問的解題思路將啟示第（3）問中關(guān)于m取值范圍的確定，成為解題過程中一個(gè)關(guān)鍵步驟.這種解題策略，我們可稱之為“并列式問題與遞進(jìn)式求解”.以下我們?cè)龠x取一道體現(xiàn)類似解答策略的幾何考題，進(jìn)一步講解.

考題2：在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn).

（1）如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，將△ABC沿著AD折疊，點(diǎn)C落在AB邊上.請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)D（不寫作法，保留作圖痕跡）.

圖3

圖4

（2）如圖4，將△ABC沿著過點(diǎn)D的直線折疊，點(diǎn)C落在AB邊上的E處.

①若DE⊥AB，垂足為E，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)D（不寫作法，保留作圖痕跡）；

②若AB=4 ■ 2，BC=6，∠B=45°，求CD的取值范圍.

思路講解：第（1）問屬于基本作圖，理解題意后知道應(yīng)該作出∠A的角平分線.

圖5

圖6

第（2）①問需要分析出考查意圖，可利用草圖分析，確認(rèn)應(yīng)該“轉(zhuǎn)向”第（1）問的基本圖形，構(gòu)造出一個(gè)直角三角形A′BC，再作出∠BA′C的角平分線交BC于點(diǎn)D.

對(duì)于第（3）②問，先構(gòu)思圖7.

圖7

圖8

作出AC的垂直平分線交BC于D點(diǎn)，結(jié)合已知線段的長(zhǎng)及∠B是45°，可以確認(rèn)CD=5，這也就是CD的最大值，此時(shí)C點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)落在點(diǎn)A處；最小值比較復(fù)雜，一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是想象成點(diǎn)C與B互為對(duì)稱點(diǎn)，從而得到CD=3；這時(shí)如果“到此為止”，缺少對(duì)圖6的這種情形進(jìn)行分析，則解答并不完善.讓我們把目光投向上一問中的圖6，可以確定，比較一下與3的大小，可知故6 ■ 2-6≤CD≤5.

二、關(guān)于綜合題的教學(xué)思考

1.深刻理解綜合題系列小問的關(guān)系，善于明辨“關(guān)聯(lián)”.

綜合題下設(shè)的系列小問通常都為并列式關(guān)系，但多數(shù)設(shè)計(jì)優(yōu)秀的并列問題之間都存在著一定意義上的關(guān)聯(lián).教師備課時(shí)，不僅追求解題思路的貫通、答案的獲取，還需要思考這些小問之間的關(guān)系有哪些，比如它們之間是否體現(xiàn)了從特殊到一般的成果擴(kuò)大思想；是否屬于一般中探究特例的由大到小的研究風(fēng)格；上一問的解題策略是否對(duì)后一問獲得思路具有啟示、暗示作用；等等.教者想清辨明，則可以在后續(xù)備課時(shí)融入教學(xué)環(huán)節(jié)中.

2.解題教學(xué)時(shí)針對(duì)“上一問”互動(dòng)講評(píng)，即時(shí)鏈接“同類”.

綜合題解題教學(xué)時(shí)，對(duì)上一問較為基礎(chǔ)的習(xí)題有些初任教師常?！拜p輕滑過”，缺少對(duì)這些基礎(chǔ)問題的細(xì)致解讀、對(duì)話追問，沒有讓學(xué)生在這樣的教學(xué)對(duì)話過程中對(duì)這些基礎(chǔ)問題背后的思想方法、設(shè)元意圖、成果擴(kuò)大提高認(rèn)識(shí)、深刻理解，于是匆忙進(jìn)入較難題的探究時(shí)，往往準(zhǔn)備不足，解題思路或念頭的出現(xiàn)較為奇巧、生硬，學(xué)生感覺思路“若從天上來”，不自然，對(duì)數(shù)學(xué)難題破解的策略感悟不深.我們認(rèn)為，針對(duì)上一問的互動(dòng)講評(píng)要深入到命題者的意圖探究，并適當(dāng)成果擴(kuò)大，讓學(xué)生在這些追問對(duì)話中對(duì)前面的基礎(chǔ)問題達(dá)到深刻理解的程度，為迎難而上、挑戰(zhàn)難題作足準(zhǔn)備、鋪平墊穩(wěn).

3.解題教學(xué)之后加強(qiáng)反思與變式跟進(jìn)，注重解后“回顧”.

近年來，《中學(xué)數(shù)學(xué)（下）》不少優(yōu)秀解題教學(xué)課例都十分注意解后反思和變式跟進(jìn)，這對(duì)我們的解題教學(xué)有很強(qiáng)的引領(lǐng)作用，筆者也深受教益，在日常教學(xué)中也注意變式跟進(jìn)，有效反饋學(xué)生聽課效果.作為本文的最后，我們也針對(duì)考題1，給出“變式再練”：

變式再練：如圖1，已知拋物線C：y=（x+2）［t（x+1）-（x+3）］，其中-7≤t≤-2，且無論t取任何符合條件的實(shí)數(shù)，點(diǎn)A、P都在拋物線C上.

（1）若點(diǎn)（1，a）在拋物線C上，求a的取值范圍；

（2）點(diǎn)A在x軸上，過點(diǎn)A作線段AP的垂線交y軸于點(diǎn)B，交拋物線C于點(diǎn)D.

①求AP的長(zhǎng)；

②求D點(diǎn)的坐標(biāo)（用含t的式子表示）；

③分析S△PAD的最值（包括最大值與最小值）.

1.劉東升.并列式問題與遞進(jìn)式求解——由一則解題教學(xué)案例說起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2012（8）.

2.嚴(yán)君華.特例引路以退為進(jìn)，逆向思考深化理解——以一道幾何難題的思路突破為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（2）.

3.季紅妹.解題教學(xué)的追求：關(guān)聯(lián)同類，感悟結(jié)構(gòu)——從一道“網(wǎng)傳錯(cuò)誤解答”說起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（2）.

4.付小飛.明辨并列與遞進(jìn)，引導(dǎo)分離和聚焦——2016年江蘇蘇州中考第28題解析與教學(xué)思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（7）.