孫翔宇

[摘要]數(shù)學(xué)素養(yǎng)概念的提出順應(yīng)了時(shí)代發(fā)展的需要，也經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的歷史過(guò)程。本文通過(guò)介紹學(xué)校數(shù)學(xué)教育發(fā)展的四個(gè)階段，包括算術(shù)普及、中等數(shù)學(xué)普及、數(shù)學(xué)建模普及，到如今數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成與發(fā)展，闡明了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是學(xué)校數(shù)學(xué)課程改革的基本方向。

[關(guān)鍵詞]學(xué)校教育；數(shù)學(xué)教育；教育發(fā)展；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

[中圖分類號(hào)] G40-01

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A

[文章編號(hào)]1005-5843（2017）09-0114-04

[DOI]1013980/jcnkixdjykx201709023

數(shù)學(xué)素養(yǎng)概念的提出順應(yīng)了時(shí)代發(fā)展的需要，也有其自身的發(fā)展脈絡(luò)，是一個(gè)漫長(zhǎng)的歷史過(guò)程，先后經(jīng)歷了算術(shù)普及、中等數(shù)學(xué)普及、數(shù)學(xué)建模普及等階段，才有了如今數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成與發(fā)展。

一、圖算學(xué)傳統(tǒng)與以算數(shù)為主的數(shù)學(xué)教育

現(xiàn)代學(xué)校的數(shù)學(xué)課程起源于“圖算學(xué)家”（Maestri dabbaco）和“圖算書”（trattati或者libri dabbaco）?！皥D算書”是13世紀(jì)出現(xiàn)的用意大利語(yǔ)編寫的教學(xué)手冊(cè)，主要介紹商業(yè)數(shù)學(xué)、會(huì)計(jì)和幾何學(xué)的相關(guān)知識(shí)。歐洲文藝復(fù)興時(shí)期，國(guó)際貿(mào)易的急劇增長(zhǎng)產(chǎn)生了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要，教授商業(yè)數(shù)學(xué)、會(huì)計(jì)和寫作的地方學(xué)校逐漸增多，這些學(xué)校的學(xué)生往往是商人的兒子或承擔(dān)重要職責(zé)的學(xué)徒。根據(jù)圖算學(xué)的傳統(tǒng)，學(xué)生要在10歲以后才能開(kāi)始進(jìn)入計(jì)算學(xué)校學(xué)習(xí)。在接下來(lái)的幾年時(shí)間里，學(xué)生將使用專用的課本，這些課本按標(biāo)準(zhǔn)順序整齊地羅列了題目，學(xué)生通過(guò)記憶運(yùn)算法則、例子和練習(xí)題來(lái)解決一些與阿拉伯?dāng)?shù)字有關(guān)的問(wèn)題，如四則運(yùn)算和一些與比例相關(guān)的問(wèn)題等。

對(duì)傳統(tǒng)的圖算學(xué)提出挑戰(zhàn)的是19世紀(jì)瑞士的教育學(xué)家裴斯泰洛齊（Johann Heinrich Pestalozzi）。他指出，10歲以下兒童不能學(xué)算術(shù)的傳統(tǒng)是不合理的。在數(shù)量關(guān)系變得越發(fā)重要的世界里，直到10歲才能學(xué)習(xí)算術(shù)的做法導(dǎo)致很多成年人無(wú)法有尊嚴(yán)地活著。他認(rèn)為，只要能夠給孩子提供情感安全的學(xué)習(xí)環(huán)境，所有的孩子都可以學(xué)習(xí)算術(shù)。在該環(huán)境中，教學(xué)遵循從感官開(kāi)始的概念化過(guò)程，并強(qiáng)調(diào)感官學(xué)習(xí)。裴斯泰洛齊的思想極大地影響了美國(guó)的數(shù)學(xué)教育，在他之后，越來(lái)越多的教育學(xué)者開(kāi)始接受他的觀點(diǎn)，認(rèn)為所有兒童都應(yīng)以一種更有意義的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

19世紀(jì)下半葉，小學(xué)普及計(jì)劃開(kāi)始在一些國(guó)家（如澳大利亞、美國(guó)、英國(guó)和某些西歐國(guó)家）實(shí)施。這些國(guó)家引入立法規(guī)定，特定年齡的兒童將強(qiáng)制進(jìn)入小學(xué)學(xué)習(xí)。 這些小學(xué)詳細(xì)規(guī)定了學(xué)校課程，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)的“讀寫能力”（literacies），分別為3RS：閱讀（reading）、寫作（riting）和算術(shù)（rithmetic）。算術(shù)逐漸成為美國(guó)小學(xué)里占用時(shí)間最多的課程。盡管受到了裴斯泰洛齊思想的影響，但算術(shù)教學(xué)依然依賴教科書和紙筆測(cè)驗(yàn)，許多學(xué)生和教師都不堪重負(fù)。abbaco算術(shù)課程也被直接從英國(guó)引入到殖民地，如新南威爾士州、魁北克、馬來(lái)亞和印度等地。1861年以后，英國(guó)開(kāi)始建立標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)學(xué)課程，同年級(jí)的學(xué)生被要求教同樣的“標(biāo)準(zhǔn)”教材，但教學(xué)大綱、進(jìn)口教材和計(jì)算方法往往脫離學(xué)生的需求。

與這一現(xiàn)狀相伴，出現(xiàn)了關(guān)于數(shù)學(xué)課程的討論。Burnham等人提出，數(shù)學(xué)教育要返回“前裴斯泰洛齊時(shí)代”，年幼的孩子不適宜完成需要通過(guò)比較、分析和抽象才能完成的數(shù)學(xué)任務(wù)；也有學(xué)者提出，一些孩子對(duì)算術(shù)“不感興趣”或者不太可能在未來(lái)的生活中應(yīng)用算數(shù)知識(shí)。報(bào)告指出，做太多的算術(shù)題目會(huì)對(duì)學(xué)生的心理健康產(chǎn)生影響。因此，在20世紀(jì)初，專門學(xué)習(xí)算術(shù)課程的時(shí)間減少了。盡管要求變革，但是殘留的Abbaco課程——四則運(yùn)算、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分比和算術(shù)在商業(yè)領(lǐng)域的簡(jiǎn)單應(yīng)用仍然流行。

二、20世紀(jì)的課程變革與基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育

20世紀(jì)初，在澳大利亞、法國(guó)和德國(guó)等少數(shù)國(guó)家，一小部分學(xué)生會(huì)在小學(xué)高級(jí)班和中學(xué)學(xué)習(xí)算數(shù)以外的其他數(shù)學(xué)課程，大部分學(xué)生在小學(xué)之后就不再學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)了。世界上只有一小部分人會(huì)正式研究代數(shù)或幾何，少于1%的人會(huì)進(jìn)行微積分的學(xué)習(xí)和研究。在許多國(guó)家，數(shù)學(xué)課程是為那些社會(huì)背景好、生活條件優(yōu)越的精英階層服務(wù)的，嚴(yán)謹(jǐn)而傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程也被大多數(shù)人所接受。但在之后的一段時(shí)間，中學(xué)和技術(shù)學(xué)校的數(shù)量迅速增多，應(yīng)該教授什么樣的數(shù)學(xué)這一問(wèn)題再次被討論。

20世紀(jì)早期，美國(guó)數(shù)學(xué)界對(duì)于數(shù)學(xué)教育問(wèn)題有以下四種不同的觀點(diǎn)：一是人文主義者維護(hù)傳統(tǒng)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)課程，但承認(rèn)并不是每個(gè)人都能有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)；二是發(fā)展主義者認(rèn)為，課程實(shí)施的重點(diǎn)應(yīng)該放在學(xué)習(xí)者身上，其他因素都是次要的；三是社會(huì)效率教育者認(rèn)為，學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)的人應(yīng)該是那些在未來(lái)就業(yè)中顯然需要用到數(shù)學(xué)的人；四是社會(huì)美德主義者希望所有學(xué)習(xí)者都有平等的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)，但不認(rèn)為每個(gè)人都需要學(xué)習(xí)至同一水平。整個(gè)20世紀(jì)，所有兒童都可以適時(shí)地接受相同的數(shù)學(xué)課程的觀點(diǎn)時(shí)常被提出。Zoltan Paul Dienes提出，過(guò)去許多學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有困難是因?yàn)檎n程設(shè)置不合理或教學(xué)不善，如果教師能夠接受良好的訓(xùn)練，進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)教學(xué)，那么數(shù)學(xué)將被全部學(xué)習(xí)者所理解。

在1910～1955年的“進(jìn)步時(shí)代”，美國(guó)許多小學(xué)數(shù)學(xué)教科書的特色是與數(shù)學(xué)課程相似的定量素養(yǎng)（quantitative literacy），許多帶有精美插圖的故事展現(xiàn)了日常生活的情境，伴之與故事相關(guān)的定量問(wèn)題。

20世紀(jì)40年代以來(lái)，原子能、電子計(jì)算機(jī)等科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展，人們看到了科學(xué)技術(shù)同國(guó)力強(qiáng)弱的密切關(guān)系，社會(huì)再次對(duì)科技教育、數(shù)學(xué)教育進(jìn)行審視，對(duì)科學(xué)的基礎(chǔ)——數(shù)學(xué)教育提出了現(xiàn)代化要求。同時(shí)，在布爾巴基學(xué)派和瑞士著名兒童心理學(xué)家皮亞杰對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究、美國(guó)教育心理學(xué)家布魯納對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知能力發(fā)展進(jìn)行研究的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生了“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”。在新數(shù)運(yùn)動(dòng)時(shí)期，許多數(shù)學(xué)家相當(dāng)樂(lè)觀，他們認(rèn)為學(xué)校的數(shù)學(xué)課程可以與高等數(shù)學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展相一致。 如，美國(guó)學(xué)校的數(shù)學(xué)研究小組（SMSG）編寫了適用于從幼兒園到9年級(jí)所有學(xué)生的課本。他們通過(guò)放慢學(xué)習(xí)速度的方式來(lái)使接受能力慢的兒童也學(xué)習(xí)相同的知識(shí)，結(jié)果是SMSG嘗試讓所有學(xué)生學(xué)習(xí)相同的數(shù)學(xué)并不完全成功，數(shù)學(xué)課程可能不符合所有學(xué)生的需要和興趣，許多教師也沒(méi)有做好充足的準(zhǔn)備。

20世紀(jì)70年代的“返回基礎(chǔ)”運(yùn)動(dòng)中，教師又開(kāi)始將注意力集中于非情境問(wèn)題，以得到正確的答案為目的。20世紀(jì)末開(kāi)始的“國(guó)際數(shù)學(xué)和科學(xué)趨勢(shì)研究”（The Trend of International Mathematics and Science Study， 簡(jiǎn)稱TIMSS）是由“國(guó)際教育成就評(píng)估協(xié)會(huì)”（IEA）主持、美國(guó)波士頓學(xué)院TIMSS國(guó)際研究中心設(shè)計(jì)和實(shí)施的一項(xiàng)教育研究，在實(shí)施之初就被譽(yù)為國(guó)際上規(guī)模最大、最為嚴(yán)密、最具綜合性的國(guó)際比較教育研究項(xiàng)目。TIMSS所采用的紙筆測(cè)驗(yàn)工具包含了一系列核心的數(shù)學(xué)問(wèn)題，大多數(shù)問(wèn)題與標(biāo)準(zhǔn)算術(shù)和數(shù)學(xué)的其他基本形式相關(guān)。TIMSS的測(cè)試?yán)砟罴捌湓谑澜绺鲊?guó)中引起的重視表明，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育的重要性已經(jīng)成為國(guó)際數(shù)學(xué)教育界的共識(shí)。

三、信息技術(shù)的發(fā)展與數(shù)學(xué)建模

大多數(shù)當(dāng)代數(shù)學(xué)教育家認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育的內(nèi)涵應(yīng)該超越基本的算術(shù)知識(shí)和基本技能，將重要的數(shù)學(xué)建模包括進(jìn)去。早在19世紀(jì)，法國(guó)和德國(guó)就有一部分人嘗試使學(xué)校的數(shù)學(xué)課程更“實(shí)用”，另一些人則試圖使數(shù)學(xué)更“純粹”。而在整個(gè)20世紀(jì)，世界各地都進(jìn)行了許多嘗試來(lái)給予學(xué)校數(shù)學(xué)更強(qiáng)的實(shí)踐導(dǎo)向。作為隨著信息通訊技術(shù)發(fā)展的結(jié)果，近幾十年來(lái)數(shù)學(xué)已經(jīng)被看作是“規(guī)劃、優(yōu)化、指導(dǎo)和交流社會(huì)事務(wù)”最有力的手段之一。ICT與數(shù)學(xué)相結(jié)合具有實(shí)踐和理論的力量，這意味著可以最大限度地提高數(shù)學(xué)的教育力量和實(shí)用性。

20世紀(jì)初，以John Perry為代表的數(shù)學(xué)家就提出，所有的兒童都可以接受專業(yè)的應(yīng)用數(shù)學(xué)課程。Perry組建了以問(wèn)題解決為基礎(chǔ)進(jìn)行教學(xué)的“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)、物理科學(xué)、工程、建筑和手工作業(yè)之間的聯(lián)系。盡管他的理念遭到了David Eugene Smith等保守派數(shù)學(xué)家的反對(duì)，但在一定時(shí)期，學(xué)校的數(shù)學(xué)課程開(kāi)始傾向于應(yīng)用數(shù)學(xué)方向，更多的學(xué)生開(kāi)始熟悉真實(shí)世界中的問(wèn)題解決之道。1969～1978年間，英國(guó)推行了“數(shù)學(xué)應(yīng)用計(jì)劃”（Mathematics Applicable Project），這一計(jì)劃的思想基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)應(yīng)該充分發(fā)揮其模擬現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)用性，考試要求學(xué)生使用建模來(lái)探索現(xiàn)實(shí)世界的情境，在遇到困難時(shí)可以得到一些提示。

20世紀(jì)70年代，在弗雷登塔爾等數(shù)學(xué)教育家的影響下，現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育思想（Realistic Mathematics Education，簡(jiǎn)稱REM）開(kāi)始形成。弗雷登塔爾認(rèn)為，僅僅掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的含義是不夠的，應(yīng)該將數(shù)學(xué)視為一種活動(dòng)。REM的基本思想在于，數(shù)學(xué)是一種人類活動(dòng)，這種活動(dòng)始終是具有建構(gòu)性的。它強(qiáng)調(diào)教學(xué)要從學(xué)生的現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，教學(xué)方法要考慮到互動(dòng)性，強(qiáng)調(diào)要給學(xué)生提供可以自己想象的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境等。此后，在Henry Pollak和John Mason等數(shù)學(xué)教育家的推動(dòng)下，數(shù)學(xué)建模成為了國(guó)際課程理論的基礎(chǔ)之一。

四、新時(shí)代的挑戰(zhàn)與數(shù)學(xué)素養(yǎng)

從國(guó)際形式來(lái)看，核心素養(yǎng)的提出是順應(yīng)時(shí)代發(fā)展和社會(huì)變革的必然結(jié)果。在全球化進(jìn)程中，經(jīng)濟(jì)日益增長(zhǎng)，人力資本的作用不斷增大，國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)加劇。在此背景下，人們對(duì)教育提出了更高的要求，如培養(yǎng)學(xué)生的能力，以應(yīng)對(duì)快速更新的知識(shí)和技能；培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和跨學(xué)科的視角；培養(yǎng)學(xué)生的信息技術(shù)和通信技術(shù)（ICT）等。

在許多國(guó)家，課程開(kāi)始不僅僅停留于掌握不同學(xué)科的知識(shí)，更注重學(xué)生的態(tài)度、行為和能力。經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織（OECD）積極關(guān)注素養(yǎng)界定與調(diào)查研究，于1997～2005年實(shí)施了大規(guī)模的跨國(guó)研究項(xiàng)目“素養(yǎng)的界定與遴選：理論框架與概念基礎(chǔ)”（DeSeCo），在全面地分析和總結(jié)OECD已開(kāi)展的有關(guān)素養(yǎng)項(xiàng)目的基礎(chǔ)上，確定個(gè)人成功的生活和健全的社會(huì)所需要的素養(yǎng)，DeSeCo也成為有關(guān)核心素養(yǎng)最具代表性的項(xiàng)目之一。此外，美國(guó)、英國(guó)、法國(guó)和澳大利亞等國(guó)也都進(jìn)行了核心素養(yǎng)的相關(guān)研究，如美國(guó)的“21世紀(jì)技能地圖”、英國(guó)的“key skills”、法國(guó)的“socle （foundation or core） of competence”等。由此可見(jiàn)，為了迎接21世紀(jì)的挑戰(zhàn)，對(duì)于核心素養(yǎng)開(kāi)展研究已經(jīng)成為了國(guó)際共識(shí)。

與核心素養(yǎng)相對(duì)，數(shù)學(xué)學(xué)科也有其獨(dú)特的素養(yǎng)?！皵?shù)學(xué)素養(yǎng)”一詞在英文文獻(xiàn)中的對(duì)應(yīng)詞有“numeracy”“mathematical literacy”“quantitative literacy”，這些詞語(yǔ)的含義和使用范圍有所不同，如一些人將“numeracy”視為處理生活、工作和學(xué)習(xí)所需的基本數(shù)學(xué)技能；另一些人認(rèn)為“numeracy”不僅是能力，也包括運(yùn)用數(shù)學(xué)來(lái)滿足生活工作和學(xué)習(xí)需要的自信和傾向。對(duì)于“mathematical literacy”的早期定義具有兩個(gè)特征：有效地運(yùn)用知識(shí)和發(fā)展個(gè)人能力。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，“mathematical literacy”意味著對(duì)現(xiàn)實(shí)世界問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，更好地應(yīng)對(duì)生活中的挑戰(zhàn)。從這些詞義中可以看出，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的概念已經(jīng)逐漸超出純粹的算術(shù)技能，不僅擁有其他基本數(shù)學(xué)技能，還包括情感特征，如態(tài)度、信心等。

鑒于TIMSS紙筆測(cè)試工具被廣泛視為測(cè)試基本技能，由OECD進(jìn)行的國(guó)際學(xué)生評(píng)估計(jì)劃（PISA）開(kāi)發(fā)的工具被認(rèn)為更注重學(xué)生的數(shù)學(xué)“素養(yǎng)”。PISA旨在衡量學(xué)生在日常情況下可以選擇和應(yīng)用數(shù)學(xué)，而不是單純的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)試。如，PISA對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的定義——“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一種在不同情境下進(jìn)行表示、使用并解釋數(shù)學(xué)的個(gè)人能力，它包括運(yùn)用數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)概念、過(guò)程、事實(shí)和工具對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行描述、解釋和預(yù)測(cè)，幫助個(gè)體認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中的作用，幫助一個(gè)有建設(shè)性的、積極參與的、懂得反思的公民做出良好的判斷和決定。”這一定義說(shuō)明了數(shù)學(xué)素養(yǎng)是一個(gè)綜合性概念，不僅強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)能力，也強(qiáng)調(diào)真實(shí)情境、問(wèn)題解決和數(shù)學(xué)態(tài)度等。

由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提出一方面是數(shù)學(xué)教育歷史積淀的結(jié)果，從最初以算術(shù)為主的數(shù)學(xué)教育到基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育的普及，到數(shù)學(xué)建模的發(fā)展，才有了如今數(shù)學(xué)素養(yǎng)概念的提出與發(fā)展；另一方面，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提出順應(yīng)了時(shí)代發(fā)展的需要，在全球化進(jìn)程不斷加快、人力資本的作用不斷增大的今天，數(shù)學(xué)素養(yǎng)已成為有建設(shè)性的公民的必備素養(yǎng)。

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Four Development Stages of School Mathematics Education

SUN Xiangyu

（School of Teacher Education， East China Normal University， Shanghai 200062， China

）

Abstract： The formation of the concept of mathematical literacy conforms to the needs of the development of the times and has gone through a long historical process. This paper introduces the four stages of the development of mathematics education in schools， including arithmetic for all， basic mathematics for all， applicable mathematics and modelling for all and the development of mathematical literacy. It shows that the mathematics literacy is the inevitable result of historical development and the basic direction of curriculum reform.

Key words： school education； mathematics education； education development； mathematics literacy

（責(zé)任編輯：申寅子）